Для студентов 3 курса (314 группа), читается в 5 семестре.
Лекции – 36 часов.
Экзамен в 5 семестре.
За курс отвечает кафедра нелинейных динамических систем и процессов управления.
Автор программы: доцент Фурсов А.С. 

Аннотация 

В курсе излагаются математические основы современной теории управления, включающие следующие разделы: общие методы исследования устойчивости линейных дифференциальных систем, устойчивость полиномов, преобразование Лапласа, Z-преобразование решетчатых функций, элементы теории дискретных систем, некоторые сведения из дифференциальной геометрии. Рассматривается применение указанного математического аппарата для построения и анализа математических моделей теории управления.

 

 

Задачи по курсу, осень 2015:

Условия сдачи: ссылка
Правила сдачи: ссылка
Онлайн-таблица с результатами: ссылка

 

Содержание курса 

Лекции, 5 семестр 

1. Методы исследования устойчивости линейных дифференциальных систем
Устойчивость решений нелинейных систем. Два метода исследования устойчивости нулевого решения нелинейных систем (по первому приближению, методом функций Ляпунова). Устойчивость линейных систем. Общая формула решения системы линейных дифференциальных уравнений. Условия устойчивости линейных однородных систем. Лемма Гронуолла-Беллмана. Устойчивость линейных систем с почти постоянной матрицей. Неравенство Важевского. Достаточное условие асимптотической устойчивости линейной однородной нестационарной системы. Случай Лаппо-Данилевского. Приводимые системы. Теорема Еругина о приводимости линейной дифференциальной системы. Приводимость к системе с нулевой матрицей. Линейные системы с периодической матрицей. Теорема Флоке. Приводимость систем с периодической матрицей. Условия устойчивости периодической системы. Характеристические показатели решений линейных нестационарных систем. Достаточное условие устойчивости. Примеры описания объектов управления с помощью систем дифференциальных уравнений.

 

2. Методы исследования устойчивости полиномов. Робастная устойчивость семейств полиномов

Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Гурвица. Критерий Рауса. Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента. Критерий Михайлова. Критерий Найквиста.  Построение областей устойчивости. Метод D-разбиения. Граничная устойчивость. Робастная устойчивость. Устойчивость семейства полиномов. Принцип исключения нуля. Интервальные семейства полиномов. Полиномы Харитонова. Теорема Харитонова. Годограф Цыпкина-Поляка. Графический критерий. Вычисление радиуса устойчивости интервального семейства полиномов. Применение методов исследования устойчивости полиномов в различных задачах теории управления.  

 

 

 

3. Преобразование Лапласа и его свойства. Построение математических моделей линейных систем управления

Преобразование Лапласа и его свойства. Решение линейных стационарных дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа. Построение математических моделей линейных систем управления с использованием преобразования Лапласа. Примеры.

 

 

4. Z-преобразование решетчатых функций и его свойства. Построение математических моделей дискретных систем

Z-преобразование решетчатых функций и его свойства. Модифицированное Z-преобразование. Квантование непрерывных сигналов. ZET-преобразование. Построение математических моделей линейных дискретных систем управления с использованием  Z-преобразования. Примеры.

           

5. Элементы теории дискретных систем

Линейные разностные уравнения. Общее решение. Переходная матрица состояния линейной дискретной системы. Вычисление переходной матрицы. Общее решение линейной дискретной системы. Определение устойчивости. Алгебраические критерии устойчивости. Необходимое условие устойчивости. Исследование устойчивости, основанное на преобразовании единичного круга в левую полуплоскость. Критерий Джури. Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента.

 

 6. Некоторые сведения из дифференциальной геометрии

Производные и скобки Ли. Диффеоморфизмы и преобразование нелинейных систем. Теорема Фробениуса.

Основная  литература 

• Емельянов С.В., Коровин С.К., Фомичев В.В., Фурсов А.С. Задачи и теоремы по теории линейной обратной связи. – М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова, 2004.
• Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967.
• Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 1. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
• Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 2. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
• Иванов В.А., Ющенко А.С. Теория дискретных систем автоматического управления. – М.: Наука, 1983.

Дополнительная литература

• Андреев Ю.И. Управление конечномерными линейными объектами. – М.: Наука, 1976.
• Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. – М.: Наука, 1979.
• Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. – М.: Наука, 2002.
• Постников М.М. Устойчивые полиномы. – М.: Наука, 1981.