Обязательный кафедральный курс для студентов 4 курса (408 группа), читается в 7 и 8 семестрах.
Лекции 68 часов.
Зачет в 7 семестре, экзамен в 8 семестре.
За курс отвечает кафедра нелинейных динамических систем и процессов управления.
Автор программы: профессор Смольяков Э.Р.
Лектор 2011/12 уч. года: профессор Смольяков Э.Р.

 

Аннотация

Впервые в истории разработки теории игр автором построена конструктивная общая теория любых конфликтов и игр, включающая в себя в качестве специального частного случая всю классическую теорию игр. В рамках этой новой теории стало возможным унифицированным образом находить решения любых конфликтных задач. Причем, в отличие от классической теории игр, оказалось, что любая конфликтная задача имеет решение и притом почти всегда единственное.

Радикальное отличие новой теории от классической в том, что в ней, во-первых, не возникает необходимости делить игры на классы (антагонистические, некооперативные, кооперативные, статические, динамические и тому подобные), без чего классическая теория игр не могла обойтись, поскольку для каждого класса создавались разные теории. В предлагаемой же теории все виды игр и любых конфликтов исследуются и решаются единообразно, опираясь на одну и ту же, предложенную автором, систему конфликтных равновесий.

Во-вторых, в предлагаемой теории (в противоположность всем известным теориям) любая конфликтная задача всегда имеет решение – наисильнейшее из множества существующих в ней конфликтных равновесий, причем это решение почти всегда единственно. Неединственность решения может быть следствием только какой-то явной или скрытой симметрии в задаче.

В-третьих, получаемое с помощью новой теории решение всегда обеспечивает всем участникам конфликта наибольшую выгоду и устойчивость ко всем возможным отклонениям от него любых участников и любых коалиций из них. Для сравнения, например, классическое равновесие по Нэшу, мало того, что существует лишь в очень ограниченном классе игр, нередко оказывается еще и наиболее нежелательным для всех с точки зрения размера их выигрыша в этой равновесной ситуации. Существование устойчивого и наиболее устраивающего всех участников решения в любой конфликтной задаче, его единственность (в отсутствие какой-либо симметрии в задаче) и относительная несложность нахождения делают предлагаемую новую теорию привлекательной для любых приложений.

 

Содержание курса

Лекции, 7 семестр

1. Конфликтные задачи с двумя участниками

История создания теории игр и теории конфликтных равновесий. Базовая система конфликтных равновесий для задач с двумя участниками. Методики поиска наисильнейших равновесий в произвольных матричных игровых задачах с запрещенными ситуациями. Теоремы о необходимых и достаточных условиях существования конфликтных равновесий. Иерархическая система построения последовательностей новых усиливающихся и ослабляющихся равновесий. Методы решения прикладных конфликтных задач (матричных и континуумиальных). Модели рынков и методика поиска конфликтных равновесий на них. Многозначные игровые задачи и методы их решения

2. Основы теории антагонистических равновесий и антагонистических игр

Понятия конфликтных равновесий в антагонистических системах. Слабые и сильные равновесия и типы седловых точек. Базовая система антагонистических равновесий. Построение иерархического семейства симметричных и несимметричных антагонистических равновесий и седловых точек. Процедуры поиска антагонистических равновесий. Примеры решения антагонистических игровых задач. Система равновесий для многозначных антагонистических игр. Антагонистические игры в чистых и смешанных стратегиях и конструктивные необходимые и достаточные условия существования равновесий. Антагонистические игровые задачи с различной дискриминацией участников и методики их решения. Необходимые и достаточные условия существования слабых и сильных равновесий и различных типов седловых точек. Аналитические методы поиска решений в антагонистических играх в чистых и смешанных стратегиях и методы решения практических задач.

3. Теория конфликтующих систем со многими участниками

Расширенная базовая система иерархически связанных конфликтных равновесий для задач со многими участниками. Необходимые и достаточные условия существования равновесия по Нэшу и ряда новых более общих равновесий. Методы аналитического поиска наисильнейшего равновесия в некооперативных игровых задачах. Экономические приложения теории: моделирование рынков и поиск наиболее устойчивого равновесия, устраивающего всех участников. Парето-оптимальные некооперативные равновесия. Иерархическая система равновесий для конфликтных задач с многозначными платежными функциями и методы их поиска. Система конфликтных равновесий для игровых задач с побочными интересами участников в случае несовпадающих допустимых ситуаций участников.

 

Лекции, 8 семестр

4. Кооперативные игровые задачи

Основы классической теории кооперативных игр и ее непрактичность. Сравнение классической теории игр с альтернативными теориями. Новая эффективная и конструктивная теория кооперативных игр. Основанная на теории конфликтных равновесий, не использующая неэффективное понятие «характеристической» функции. Аналитические методики поиска кооперативного решения (справедливого дележа), устраивающего всех участников, на основе теории конфликтных равновесий. Кооперативные рынки, поиск наисильнейшего равновесия на них и использование его для определения устраивающего всех участников дележа кооперативного дохода.

5. Динамические антагонистические системы

Общая постановка антагонистических игровых задач, описываемых дифференциальными уравнениями, в чистых и смешанных стратегиях с зависимыми и независимыми множествами стратегий. Необходимые и достаточные условия существования классической седловой точки и активных конфликтных равновесий в чистых и смешанных стратегиях на зависимых и независимых множествах. Понятие «согласованного» активного равновесия в динамических антагонистических системах и необходимые условия его существования. Иерархическая система симметричных и несимметричных антагонистических «согласованных" равновесий. Решения дифференциальных игр методом их сведения к паре задач оптимального управления. Решение антагонистических дифференциальных игр методом их сведения к некоторому числу статических задач с платежными функциями в виде гамильтонианов.

6. Динамические системы со многими участниками, имеющими несовпадающие интересы

Постановки дифференциальных кооперативных и некооперативных игр с любым числом участников в чистых и смешанных стратегиях с зависимыми и независимыми множествами стратегий. Базовые системы конфликтных равновесий в динамических задачах и построение на их основе бесконечной системы понятий усиливающихся равновесий. Методы поиска единственного наиболее сильного равновесия (решения) в дифференциальных некооперативных играх со многими участниками и использование этого равновесия для определения справедливого дележа в кооперативных дифференциальных играх. Поиск решения на рынках, описываемых дифференциальными уравнениями. Теория динамических равновесий для многозначных конфликтующих систем, моделируемых дифференциальными играми с двухточечными краевыми условиями и произвольными зависимыми стратегиями участников.

 

 

Литература

Основная литература

 

1. Смольяков Э.Р. Теория конфликтных равновесий. М.: Едиториал. УРСС. 2005.

2. Смольяков Э.Р. Теория динамических конфликтных задач, учитывающая посторонние интересы // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. N 11. С. 1540-1549.

3. Смольяков Э.Р. Понятия коалиционных конфликтных равновесий // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. N 11. 1539-1548.

4. Смольяков Э.Р. Конфликтные обобщенно-паретовские равновесия // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. N 12. С. 1680-1685.

5. Смольяков Э.Р. Вспомогательные сильные равновесия для динамических конфликтных задач // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43. N 11. С. 1497-1506.

6. Смольяков Э.Р. Единственный справедливый дележ в статических и динамических кооперативных играх // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43. N 12. С. 1637-1648.

 

Дополнительная литература

1. Воробьев Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные равновесия. М.: Наука, 1984.

2. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука. 1977.

3. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука. 1974.