Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://num-anal.srcc.msu.su/list_wrk/ps/b1_154.ps Äàòà èçìåíåíèÿ: Tue Dec 17 12:59:11 2002 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Mon Oct 1 20:34:00 2012 Êîäèðîâêà:

#.#.########, #.#.##########, #.#.#########
########## # ########### ######
######## ### ####### ##########,
############ #########
Abstract
###### ######### ############ ##### ####### ############## ###### ##­
######## ########, ################ # ######### ######. ### #### ######­
######## ############ #### ######## ##### ######## ############## # ##­
############# ####### ##########, ########## ########## ##############
#######. ############### ########## # ########### ###### ##########.
######## ####### ######### ###### ######## # ##### ###### ############
####### ##########, # ##### ### ######### ##### # ##### ######## #######
##########.
########
######## ######### ############## ###### ########## ######## ####­
### ########## ########, ####### ###### # ####### ## ########## ##­
######## [1­4] ############### # ####
A = C \Delta A(t 0 ; t); (1)
### C --- ############## #######; t 0 --- #### ######## ##### ########
# ######### ############## ######, ########### ###### ########; t
--- ####### ###### #######. ### #### ### ####### A #############
############ ######### ######## (###########, ########, # #######
[2,4]):
#) ####### ############## #####:
A(t; t) = 1; (2)
#) ####### ############### #####:
A(t 0 ; t 2 ) = A(t 0 ; t 1 ) \Delta A(t 1 ; t 2 ): (3)
## ############# ##### ####### ##### #######, ## ########### ###­
############### ############ ######## ##########. ##### ###### ##­
######, ######### ### ####### # ##### #### ####### (###### ##### ##­
############# ######### ########## ######## # ########### ########
154

######## ##### ## ######### ##### ########### ########). ###### ###­
### ###### ######## ######## ###### ########## ######## ### #######
########## # ########### ######### ############## # ############­
###. ## ######, ####### # ######### ######## ######### ####### ###­
###### ###### ######## ############## ### ###########, ############
# ########## ######. ##### ###### ######## ###### ######### ######­
### ####### ######## ### ########## ######## ####### ##########.
#### ## #### ######## ######### ######## ####### #####.
1. ######## # ######## ######## ######
##### ########## ######### ############## ######, ###########
######## A = A(C; t 0 ; t). ## ############, ### ############### ####­
### ########## A = A(C; t 0 ; t), ############ ### ######## C – 0, ######­
####### #### ########:
1: A(C; t; t) = C;
2: A(A(C; t 0 ; t 1 ); t 1 ; t 2 ) = A(C; t 0 ; t 2 ): (4)
########, ### #### # #### #### ######## ######## ### #### A(C; t 0 ; t) =
C \Delta A(1; t 0 ; t), ## ####### ##### #######, ############# #####.
##### #########, ### #######
A = \Delta \Delta C
(\Delta \Gamma C)e \Gammaffi (t\Gammat 0 ) + C
(5)
############# ######## (4) # ##### ####### ###############, ### ####­
### ##########, ############### ######### ########## #####. ###
#### ## ########### (5) #####, ### ########### ######## ## ########
##### ################ ########## ########. ##### ####, ##### ##­
####, ### ######## ####### (5) ######### # ######### 0 ! A ! \Delta, ####
############## ####### C ##### ############# ########### 0 ! C ! \Delta.
####### ########## # ########## ########## ###### ###### ####­
####### ######## ############ ######## ## ####### ###### #######.
##### ########## ###### # ######## ###### --- ########## #######­
######## ######## C 0 , ############ ### ####, ##### # ####### t 1 ##­
######### ######## ######## ######### C 1 . #### ####### ##########
################. ###### C 0 . ##### C 1 = A(C 0 ; t 0 ; t 1 ). ##### C 0 =
A(C 0 ; t 0 ; t 0 ) = A(A(C 0 ; t 0 ; t 1 ); t 1 ; t 0 ) = A(C 1 ; t 1 ; t 0 ). ##### #######, ####­
### ############### ######## ####### ####### ####### ############­
### --- # ######, ##### ###### ######## ###### #######.
155

2. ########## ##### ########
##### # ############## ######, ########### ######## A = A(C; t 0 ; t),
############## ##### ########: # ####### ####### t 1 : : : t n ########
##### C 1 : : : C n . ###### ######, ######## C i ##### #### # ##########­
####, ### ############# ####### ########. #### ##### ######## ####­
###### ##### # ##### ###### #######. ### ###### ######### ########
###### ### #######: ####### ########## ######## ######### S(t) ---
### ######### ######## # ###### ###### ### C i
, ####### ######### ##
####### ####### t, # ####### V (t) --- ######### ##### ###### ########,
################ ## ###### ####### t. ########
t ! t 1 ) S(t) = 0;
t 1 ! t ! t 2 ) S(t) = A(C 1 ; t 1 ; t);
t 2 Ÿ t ! t 3 ) S(t) = A(A(C 1 ; t 1 ; t 2 ) + C 2 ; t 2 ; t);
t 2 Ÿ t ! t 3 ) S(t) = A(A(A(C 1 ; t 1 ; t 2 ) + C 2 ; t 2 ; t) + C 3 ; t 3 ; t);
\Delta \Delta \Delta
#########
A 1 = C 1 ;
A 2 = A(A 1 ; t 1 ; t 2 ) + C 2 ;
A 3 = A(A(A 1 ; t 1 ; t 2 ) + C 2 ; t 2 ; t 3 ) + C 3 = A(A 3 ; t 2 ; t 3 ) + C 3 ;
\Delta \Delta \Delta
A n = A(A n\Gamma1 ; t n\Gamma1 ; t n ) + C n :
(6)
# ###### #### ###########
S(t) =
8 ? ? ? ? ? ? ? ? ? !
? ? ? ? ? ? ? ? ? :
0; t ! t 1 ;
A(A 1 ; t 1 ; t); t 1 Ÿ t ! t 2 ;
A(A 2 ; t 2 ; t); t 2 Ÿ t ! t 3 ;
\Delta \Delta \Delta
A(A n ; t n ; t); t – t n :
######### ##### ###### ######## ## ###### ####### t #####
V (t) = A(A n ; t n ; t); ### A n = A(A n\Gamma1 ; t n\Gamma1 ; t n ) + C n # A 1 = C 1 : (7)
######### 1. ### #######, ### # ####### ### S(t), ####### ####­
######, #### ########### ######### ########### ############
A(C 1 + C 2 ; t 0 ; t) = A(C 1 ; t 0 ; t) + A(C 2 ; t 0 ; t): (8)
156

#############
A(A k ; t k ; t) = A(A(A k\Gamma1 ; t k\Gamma1 ; t k ) + C k ; t k ; t) =
= A(A(A k\Gamma1 ; t k\Gamma1 ; t k ); t k ; t) + A(C k ; t k ; t) =
= A(A k\Gamma1 ; t k\Gamma1 ; t) + A(C k ; t k ; t) = : : : =
k
X
i=1
A(C i ; t i ; t):
####### ### S(t) ######### ###
S(t) =
8 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? !
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? :
0; t ! t 1 ;
A(A 1 ; t 1 ; t); t 1 Ÿ t Ÿ t 2 ;
A(C 1 ; t 1 ; t) + A(C 2 ; t 2 ; t); t 2 Ÿ t ! t 3 ;
\Delta \Delta \Delta
n
X
i=1
A(C i ; t i ; t); t – t n :
##### #######, ######### ##### ###### ######## #####
V (t) =
n
X
i=1
A(C i ; t i ; t); ### 8 t:
######### 2. ### ##### ########, ########## ############ (8) ####­
### ########## (4) ########### ####### ###### (2),(3). ##### #######,
########### (8) ########### ## ### #### ####### A = A(C; t 0 ; t), ###­
############ ######## (4). ########, ####### (5) ############# ####
########, ## ### ### ## ########### ########### (8). # ##### #######
####### (5) ##### ####### #########.
3. ########### ##### ########
########### ##### ######## ##### ## ########## [t 0 ; T ] ########
M (t 0 ; t), ############## ##### ########## #### #####, ########### ##
###### [t 0 ; t]. ############## ###### ######## ########## ####### ae(t)
ae(t) = lim
\Delta!0
M (t; t + \Deltat) \Gamma M (t; t)
\Deltat
=
@M (t; !)
@!
fi fi fi fi fi !=t
:
##### # ###### ####### t = t 0 # ############## ####### ####### #####
A = A 0 . ########## ############ ######### ####### t 0 = t 1 ! t 2 ! : : : !
t n = T . ### ########## ##### \Deltat k = t k+1 \Gamma t k #####
\DeltaM k = M (t 0 ; t k + \Deltat k ) \Gamma M (t 0 ; t k ) = M (t k ; t k + \Deltat k ) \Gamma M (t k ; t k ) =
= ae(¸ k )\Deltat k + o(\Deltat k );
157

### t k ! ¸ k ! t k+1 .
M k --- ########## #####, ########### ## ##### \Deltat k . ####### #######­
#### ###### #########
A 1 = A(A 0 ; t 0 ; ¸ 1 ) + \DeltaM 1 = A(A 0 ; t 0 ; ¸ 1 ) + ae(¸ 1 )\Deltat 1 + o(\Deltat 1 );
A 2 = A(A 1 ; ¸ 1 ; ¸ 2 ) + \DeltaM 2 = A(A 1 ; ¸ 1 ; ¸ 2 ) + ae(¸ 2 )\Deltat 2 + o(\Deltat 2 );
\Delta \Delta \Delta
A n\Gamma1
= A(A n\Gamma2
; ¸ n\Gamma2
; ¸ n\Gamma1
) + \DeltaM n\Gamma1
=
= A(A n\Gamma2 ; ¸ n\Gamma2 ; ¸ n\Gamma1 ) + ae(¸ n\Gamma1 )\Deltat n\Gamma1 + o(\Deltat n\Gamma1 ):
(9)
#### ##### ######## ## ###### ####### T #####
V (T ) = lim
max i
\Deltat i
!0
A(A n\Gamma1 ; ¸ n\Gamma1 ; T ): (10)
###### ######## V (T ), ######### ########### ######### ####### [t 0 ; T ],
## #### ####### \Deltat i = \Deltat (## ############, ### ###### ##########).
######## A i # ### ## \Delta # ########### ####
A 2 = A(A(A 0 ; t 0 ; ¸ 1 ) + ae(¸ 1 )\Deltat + o(\Deltat); ¸ 1 ; ¸ 2 ) + ae(¸ 2 )\Deltat + o(\Deltat) =
= A(A; t 0 ; ¸ 2 ) + @A(A 0 ; t 0 ; ¸ 2 )
@C
ae(¸ 1 )\Deltat + ae(¸ 2 )\Deltat + o(\Deltat);
\Delta \Delta \Delta
A n\Gamma1 = A(A 0 ; t 0 ; ¸ n\Gamma1 ) +
n\Gamma2 X
i=1
n\Gamma1 Y
k=i+1
@A(A(A 0 ; t 0 ; ¸ k\Gamma1 ); ¸ k\Gamma1 ; ¸ k )
@C
ae(¸ i )\Deltat+
+ae(¸ n\Gamma1
)\Deltat + o(\Deltat):
######### ###### #######, #####
A(A(A 0 ; t 0 ; ¸ i ); ¸ i ; ¸ i+2 ) = A(A(A(A 0 ; t 0 ; ¸ i ); ¸ i ; ¸ i+1 ); ¸ i+1 ; ¸ i+2 ):
############# ### ##### ## ###### ##########, #######
@A(A(A 0 ; t 0 ; ¸ i ); ¸ i ; ¸ i+2 )
@C
=
= @A(A(A(A 0 ; t 0 ; ¸ i ); ¸ i ; ¸ i+1 ); ¸ i+1 ; ¸ i+2 )
@C
@A(A(A 0 ; t 0 ; ¸ i ); ¸ i ; ¸ i+1 )
@C
=
=
@A(A(A 0 ; t 0 ; ¸ i+1 ); ¸ i+1 ; ¸ i+2 )
@C
@A(A(A 0 ; t 0 ; ¸ i ); ¸ i ; ¸ i+1 )
@C
:
########## ####### ############## ######## ##### ########, ### ###
###### ###### ####### ########## ###########
n\Gamma1 Y
k=i+1
@A(A(A 0 ; t 0 ; ¸ k+1 ); ¸ k+1 ; ¸ k )
@C
= @A(A(A 0 ; t 0 ; ¸ i ); ¸ i ; ¸ n\Gamma1 )
@C
:
158

######
A n\Gamma1 = A(A 0 ; t 0 ; ¸ n\Gamma1 )+
+
n\Gamma2 X
i=1
@A(A(A 0 ; t 0 ; ¸ i ); ¸ i ; ¸ n\Gamma1 )
@C
ae(¸ i )\Deltat + ae(¸ n\Gamma1 )\Deltat + o(\Deltat);
V (T ) = lim
max i \Deltat i
!0
A(A n\Gamma1
; ¸ n\Gamma1
; T ) =
= A(A 0 ; t 0 ; T ) +
T
Z
t 0
@A(A(A 0 ; t 0 ; t); t; T )
@C
ae(t)dt:
(11)
### ####, ##### ######## ######### ###### ######## # ##### ######
#######, #### ############## V (T ) ## ###### ####### t V (t) = A(V (T ); T; t).
####### ########## ######## ######### ### #### ###### ###
S(t) = A(A 0 ; t 0 ; t) +
t
Z
t 0
@A(A(A 0 ; t 0 ; Ü ); Ü; t)
@C
ae(Ü ) dÜ; t 2 [t 0 ; T ]:
4. ######### ##### ########
##### ## ########## [t 0 ; T ] ##### ########### ##### ######## # ##­
############ ae(t) #, ##### ####, # ####### ####### t i (t 0 = t 1 ! t 2 !
: : : ! t n = T ) ######## ##### C 1 : : : C n . # ###### ####### t = t 0 # ####­
########## ####### ####### ##### A = A 0 . ###### #####, ####### ##­
### ########## # ############## ####### # ###### ####### T . ########
###### ########, ########### ## ####### ####### t = t 1 ############,
#####
A 1 = A(A 0 ; t 0 ; t 1 ) +
t 1
Z
t 0
@A(A(A 0 ; t 0 ; Ü ); Ü; t 1 )
@C
ae(Ü ) dÜ + C 1 :
##########, # ######### ####### ####### ####### ########## #####­
#### ########
A i = A(A i\Gamma1 ; t i\Gamma1 ; t i ) +
t i
Z
t i\Gamma1
@A(A(A i\Gamma1 ; t i\Gamma1 ; Ü ); Ü; t i )
@C
ae(Ü ) dÜ + C i :
##### #######,
V (T ) = A(A n
; t n
; T ) +
T
Z
t i
@A(A(A n ; t n ; Ü ); Ü; T )
@C
ae(Ü ) dÜ;
159

### A n ############ ########### # ###### ########## ######.
5. ###### ######### ######### ####### ########
# ########### ######### ##########
5.1. ####### ########## # ##############
#########, ######### ## #######
##### ## ##### ######### ####### ##########
A = C exp(
t
Z
t 0
ffi(t) dt); (12)
### ffi(t) --- ############# ####### #########.
########## ########## ##### ########. ##### # ####### ####### t i
######### ####### C i , i = 1; : : : ; n. ####### (12) ######### ## ######
########## , #######
V (t) =
n
X
i=1
A(C i ; t i ; t) =
n
X
i=1
C i exp(
t
Z
t i
ffi(t) dt):
### ######### ##### ###### ######## ## ###### ####### t.
#### ####### ############ ########## #####, ##### ##### ##### ###­
##### ######### ########### #######. ##### ###### #############
####### ######## ae(t) ## ####### ####### [t 0 ; T ]. # ###### t = t 0 #
############## ####### ####### ##### A = A 0 . #####
V (T ) = A(A 0 ; t 0 ; T ) +
T
Z
t 0
@A(A(A 0 ; t 0 ; t); t; T )
@C
ae(t) dt =
= A 0 exp(
T
Z
t 0
ffi(t) dt) +
T
Z
t 0
ae(t) exp(
T
Z
t
ffi(t) dt) dt:
#######, ### ### #######, ### ### ########### ######, ### # ### ##­
##########, ############# ########## ##### ####### ########. ##­
######, ########### ####### ########### # [2].
5.2. ####### ########## ### #####
# ############ ########
160

############### ####### ########## (5)
A = \Delta \Delta C
(\Delta \Gamma C)e \Gammaffi (t\Gammat 0 ) + C :
########## #####: # ####### ####### t i ######### ####### C i , i =
1; : : : ; n. ## ######## (6) ### ########### ######, ########
A 1 = C 1 ;
A 2 = C 2 + 1
1
\Delta
(1 \Gamma exp(\Gammaffi(t 2 \Gamma t 1 ))) +
1
C 1 exp(ffi(t 2 \Gamma t 1 ))
:
### ####### ##### ##########. ### #### ######### #############
############ ######## # #### ###### #####, ###### ###### #########
###### ############# #### ##### ####### #####. ##### #########
############ ######## ##### ###
A n
= a 0 + 1
a 1 +
1
a 2 + \Delta \Delta \Delta +
1
a n
;
###
a 2k\Gamma1 = 1
\Delta
(1 \Gamma exp(\Gammaffi(t n\Gammak \Gamma t n\Gammak\Gamma1 ))) exp(\Gammaffi(t n \Gamma t n\Gammak+1 ));
a 2k = C n\Gammak exp(ffi(t n \Gamma t n\Gammak )):
########### #####: ## ####### [t 0 ; T ] ###### ############# #######
######## ae(t). ########## ### ######## ######, ##### ## ####### t = t 0
# ############## ####### ## #### ####### #######, #.#. A 0 = 0. ####­
##### ############ ###### ######## #####
V (T ) = A(0; t 0 ; T ) +
T
Z
t 0
@A(A(0; t 0 ; t); t; T )
@C ae(t) dt =
T
Z
t 0
@A(0; t; T )
@C ae(t) dt;
### ###### ####### ##########
@A(0; t; T )
@C
= e ffi (T \Gammat) :
##### #######
V (T ) =
T
Z
t 0
ae(t) exp(ffi(T \Gamma t)) dt:
161

### ####### ##### ##### ######## #####, ## ######### ##### ###­
##### (11), # ###############, ############ ########### ######### ##­
##### [t 0 ; T ] # ######### ####### (9) # (10).
######
##### #######, # ###### ###### ############ ######### ###### ##­
########, ########### ###### ###### ######## ####### ##### # ######
########### ######## ########## ############. ########, ### ######
######### ############# ####### ########## # ############# ######­
###,######### ## ###### ## ##### ########, ## # ## ######## ##########
########.
##########
[1] ######## #.#., ######## #.#. ########### ## ########## ###­
#####. #.: ###, #####­ ######. 1997.
[2] ##### #. ######## # ######### ##########. ###. # ####. #####,
1996.
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[4] Boyle P.P. Options and management of financial risk. Scaumburg. 1992.
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