1. Линейная проблема собственных значений.
Основные понятия.

Приведем некоторые сведения из линейной алгебры [ 1, 2 ].

Линейная проблема собственных значений состоит в определении тех значений  λ, при которых система  n однородных линейных уравнений с  n неизвестными

(1)                                        A x  =  λ x 

имеет нетривиальное решение. Такие значения  λ называются собственными значениями матрицы  A, а соответствующие нетривиальные решения системы (1) - собственными векторами матрицы  A, соответствующими собственному значению  λ.

Совокупность всех собственных значений называется спектром матрицы.

Число  λ является собственным значением матрицы  A тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет характеристическому уравнению

(2)                                        det (λ I - A)  =  0 

Кратность собственного значения как корня характеристического уравнения (2) называется алгебраической кратностью собственного значения. Любая матрица порядка  n в поле комплексных чисел имеет  n собственных значений, если каждое из них считать столько раз, какова его алгебраическая кратность.

Множество собственных векторов матрицы  A, соответствующих одному и тому же собственному значению  λ, при добавлении к нему нулевого вектора образует линейное подпространство, которое называется собственным подпространством матрицы  A, соответствующим собственному значению  λ. Максимальное число линейно независимых собственных векторов, соответствующих данному собственному значению, называется геометрической кратностью собственного значения.

Геометрическая кратность любого собственного значения не превосходит его алгебраической кратности.

Если вещественная матрица имеет комплексное собственное значение, то и  λ будет являться собственным значением этой матрицы, где черта означает комплексное сопряжение. Если  v - собственный вектор, соответствующий комплексному собственному значению  λ вещественной матрицы, то вектор, координаты которого комплексно сопряжены с соответствующими координатами вектора  v, является собственным вектором этой матрицы, соответствующим собственному значению  λ.

Матрица  A с элементами  a_i j называется правой или верхней (левой или нижней) треугольной, если  a_i j = 0 при  i > j ( j > i ).

Матрица  A с элементами  a_i j называется правой или верхней (левой или нижней) почти треугольной, если  a_i j = 0 при  i > j + 1 ( j > i + 1). Другое название такой матрицы - верхняя (нижняя) матрица Хессенберга.

Матрица A^* называется сопряженной по отношению к матрице  A, если {A^*} _i j  =  { A } _j i.

Комплексная матрица называется эрмитовой, если она совпадает со своей сопряженной (A = A^*).

Матрица A^- 1 называется обратной к матрице  A, если AA^- 1 = A^- 1A = I, где  I - единичная матрица.

Матрица  U называется унитарной, если ее сопряженная матрица U^* совпадает с обратной U ^- 1, т.е. UU^* = U^*U = I.

Вещественная унитарная матрица  U называется ортогональной.

Вещественная эрмитова матрица называется симметричной.

Если  A - треугольная (диагональная) матрица, то ее собственные значения совпадают с ее диагональными элементами.

Любой единичный вектор (столбец единичной матрицы) является собственным вектором диагональной матрицы.

Две матрицы  A и  B называются подобными, если существует невырожденная матрица  P, для которой имеет место равенство

(3)                                           B  =  P -1 A P 

Две подобные матрицы  A и  B обладают тем замечательным свойством, что они имеют одинаковые собственные значения, а собственные векторы одной из подобных матриц легко вычисляются из собственных векторов другой, а именно

(4)                                                 X  =  PY , 

где  X - матрица собственных векторов матрицы  A,  Y - матрица собственных векторов матрицы  B, а  P - матрица преобразования подобия (3), связывающего матрицы  A и  B.

Если  x - собственный вектор матрицы  A, соответствующий собственному значению  λ, то это же верно и для вектора  y = k x при любом  k ≠ 0. Таким образом, даже если геометрическая кратность собственного значения  λ равна 1, то собственный вектор, соответствующий  λ, определен лишь с точностью до произвольного, вообще говоря, комплексного множителя. Это необходимо учитывать при тестировании подпрограмм, вычисляющих собственные векторы.