|
Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://num-anal.srcc.msu.su/lib_na/cat/de/de37r.htm
Дата изменения: Tue Dec 1 11:52:20 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:13:46 2016 Кодировка: Windows-1251 |
|
Текст подпрограммы и версий ( Фортран ) de37r.zip , de37d.zip |
Тексты тестовых примеров ( Фортран ) tde37r.zip , tde37d.zip |
|
Текст подпрограммы и версий ( Си ) de37r_c.zip , de37d_c.zip |
Тексты тестовых примеров ( Си ) tde37r_c.zip , tde37d_c.zip |
|
Текст подпрограммы и версий ( Паскаль ) de37r_p.zip , de37e_p.zip |
Тексты тестовых примеров ( Паскаль ) tde37r_p.zip , tde37e_p.zip |
Вычисление решения задачи Коши для жесткой линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в конце интервала интегрирования неявным методом Рунге - Кутта.
Решается задача Коши для жесткой линейной системы M обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами
Y ' (X) = A(X) * Y(X) + φ(X) ,
Y = ( y1, ..., yM ) ,
A(X) = ( ai j(X) ), i, j = 1, ..., M ,
φ(X) = ( φ1(X), ..., φM(X) ) .
с начальными условиями, заданными в точке XN:
Y (XN) = YN, YN = ( y10, ..., yM0 ) ,
трехстадийным А - устойчивым неявным методом Рунге - Кутта шестого порядка точности. Решение вычисляется в одной точке ХК, которая является концом интервала интегрирования.
Bсе компоненты решения вычисляются с контролем точности по мере погрешности, который заключается в следующем. Если некоторая компонента приближенного решения по абсолютной величине не меньше некоторой наперед заданной константы P, то контроль точности для этой компоненты ведется по относительной погрешности, иначе - по абсолютной. Абсолютная погрешность приближенного решения оценивается по правилу Рунге.
Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Ред. Дж.Холл и Дж.Уатт. "Мир", M., 1979.
Butcher J.C. Implicit Runge - Kutta processes. Math. Comp., 18, 50 - 64, 1964.
SUBROUTINE DE37R (FA, FI, M, XN, YN, XK, HMIN, EPS, P,
H, Y, RAB, IR, IERR)
Параметры
| FA - |
подпрограмма вычисления матрицы системы A (X) в
любой точке X. Первый оператор подпрограммы
должен иметь вид:
SUBROUTINE FA (A, X, M) Здесь: A - двумерный массив размера M * M, в который помещается матрица системы, вычисленная при значении аргумента X (тип параметров A, X: вещественный); |
| FI - |
подпрограмма вычисления неоднородности правой
части системы φ (X)
в любой точке X. Первый
оператор подпрограммы должен иметь вид:
SUBROUTINE FI (G, X, M) Здесь G - одномерный массив длины M, в который помещается неоднородность правой части системы, вычисленная при значении аргумента X (тип параметров G, X: вещественный); |
| M - | количество уравнений в системе (тип: целый); |
| XN, YN - | начальные значения аргумента и решения; в случае системы уравнений (т.е. M ≠ 1) YN представляет одномерный массив длины M (тип: вещественный); |
| XK - | значение аргумента, при котоpом требуется вычислить решение задачи Коши (конец интервала интегрирования); XK может быть больше, меньше или pавно XN (тип: вещественный); |
| HMIN - | минимальное значение абсолютной величины шага, котоpое разрешается использовать при интегрировании данной системы уравнений (тип: вещественный); |
| EPS - | допустимая меpа погрешности, с которой требуется вычислить все компоненты решения (тип: вещественный); |
| P - | граница перехода, используемая при оценке погрешности решения (тип: вещественный); |
| H - | вещественная переменная, содержащая начальное значение шага интегрирования; может задаваться с учетом направления интегрирования, т.е. положительным, если XN < XK, отрицательным, если XN > XK, или без всякого учета в виде абсолютной величины; |
| Y - | искомое решение задачи Коши, вычисленное подпрограммой при значении аргумента XK; для системы уравнений (когда M ≠ 1) задается одномерным массивом длины M. В случае совпадения значений параметров XN и XK значение Y полагается равным начальному значению YN (тип: вещественный); |
| RAB - | одномерный рабочий массив вещественного типа длины (10*M*M + 9*M + 1); |
| IR - | целый одномерный рабочий массив длины 3*M; |
| IERR - | целая переменная, значение которой в результате работы подпрограммы полагается равным 65, если какая-нибудь компонента решения не может быть вычислена с требуемой точностью EPS; в этом случае интегрирование системы прекращается; при желании интегрирование системы можно повторить обращением к подпрограмме с новыми значениями параметров HMIN и H. |
Версии
| DE37D - | вычисление решения задачи Коши для жесткой линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в конце интервала интегрирования неявным методом Рунге - Кутта с удвоенным числом значащих цифр. При этом параметры XN, YN, XK, HMIN, EPS, P, H, Y, RAB и параметры A, G, X в подпрограммах FA и FI должны иметь тип DOUBLE PRECISION. |
Вызываемые подпрограммы
|
DE36R - DE36D | выполнение одного шага численного интегрирования жесткой линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка неявным методом Рунге - Kутта. |
|
UTDE16 - UTDE17 | подпрограммы выдачи диагностических сообщений. |
| Подпрограммы DE36R, UTDE16 вызываются при работе подпрограммы DE37R, а подпрограммы DE36D, UTDE17 - при pаботе DE37D. |
Замечания по использованию
|
B общем случае заданая точность не гарантируется. При работе подпрограммы значения параметров M, XN, YN, XK, HMIN, EPS, P сохраняются. При работе подпрограмм FA и FI значения параметров X и M не должны изменяться. Если после работы подпрограммы нет необходимости иметь начальное значение решения YN, то параметры YN и Y при обращении к ней можно совместить. При этом следует иметь в виду, что в случае аварийного выхода из подпрограммы, т.е. со значением IERR = 65, значение параметра YN будет испорчено. Tак как при интегрировании уравнений с помощью подпрограмм DE37R и DE37D используются общие блоки с именами COM36R и COM36D, соответственно, то пользователю не рекомендуется использовать для своих целей общие блоки с указанными именами. |
y1' = - 20y1 + y2 , y1 = 2 ,
y2' = 19y1 - 2y2 , y2 = 18 , 0 ≤ x ≤ 5 .
Точное решение системы:
y1 = e - x + e - 21x ,
y2 = 19e - x - e - 21x .
SUBROUTINE FBUT (A, X, M)
DIMENSION A(2, 2)
A(1, 1) = - 20.
A(1, 2) = 1.
A(2, 1) = 19.
A(2, 2) = - 2.
RETURN
END
SUBROUTINE FBUTFI (FI, X, M)
DIMENSION FI(2)
FI(1) = 0.
FI(2) = 0.
RETURN
END
DIMENSION YN(2), Y(2), RAB(59), IR(6)
EXTERNAL FBUT, FBUTFI
M = 2
XN = 0.
YN(1) = 2.
YN(2) = 18.
XK = 5.
HMIN = 1.E - 12
EPS = 1.E - 5
P = 100.
DO 5 I = 1, 2
H = 0.01
CALL DE37R (FBUT, FBUTFI, M, XN, YN, XK, HMIN, EPS,
* P, H, Y, RAB, IR, IERR)
C BЫЧИCЛEHИE TOЧHЫX ЗHAЧEHИЙ PEШEHИЯ
Y1 = EXP(- XK) + EXP (- 21. * XK)
Y2 = 19. * EXP(- XK) - EXP(- 21. * XK)
PRINT 1, XK, Y, Y1, Y2, H
EPS = 1.E - 7
5 CONTINUE
Результаты:
после первого обращения к подпрограмме -
XK Y(1) Y(2)
5.000000000000 + 00 6.737934370626 - 03 1.280207530417 - 01
H Y1 Y2
1.280000000001 + 00 6.737946999117 - 03 1.280209929830 - 01
после второго обращения к подпрограмме -
XK Y(1) Y(2)
5.000000000000 + 00 6.737946721380 - 03 1.280209877059 - 01
H Y1 Y2
6.400000000003 - 01 6.737946999117 - 03 1.280209929830 - 01