Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://num-anal.srcc.msu.su/lib_na/cat/ag_htm_p/agj0r_p.htm
Дата изменения: Thu Dec 3 11:29:52 2015
Дата индексирования: Sun Apr 10 02:45:30 2016
Кодировка: Windows-1251
БЧА НИВЦ МГУ. AGJ0R_P. Обобщенная проблема собственных значений для матриц специального вида
Текст подпрограммы и версий
agj0r_p.zip  		Тексты тестовых примеров
tagj0r_p.zip 

Подпрограмма:  AGJ0R (модуль AGJ0R_p)

Назначение

Вычисление всех собственных значений и собственных вектоpов в обобщенной проблеме AX = λBX,  где A - матрица Якоби, а B - диагональная положительная матрица.

Математическое описание

Обобщенная проблема Ax = λBx с якобиевой матрицей А и диагональной положительной матрицей B последовательностью преобразований сводится к стандартной задаче Qz = λz. Здесь Q - симметричная трехдиагональная матрица, собственные значения которой совпадают с собственными значениями исходной обобщенной проблемы, а собственные векторы  z  связаны с собственными векторами  x  обобщенной проблемы соотношением x = Cz, где матрица C определяется последовательностью выполненных преобразований.

Для решения стандартной проблемы применяется неявный QL - алгоритм со сдвигом. Собственные векторы  z  нормированы таким образом, что  zTz = E,  где E - единичная матрица.

Дж.Х. Уилкинсон, Алгебраическая проблема собственных значений, "Hаука", M., 1970.

Использование 

procedure AGJ0R(var A :Array of Real; var B :Array of Real;
                var V :Array of Real; var EV :Array of Real;
                var RAB :Array of Real; N :Integer;
                var IERR :Integer);


   Параметры
A - вещественный двумерный массив размера N на 3, содержащий якобиеву матрицу A в компактной форме записи для ленточных матриц;
B - вещественный вектоp длины N, содержащий элементы диагональной матрицы B;
V - вещественный двумерный массив размера N на N, в столбцах которого содержатся вычисленные оpтонормированные собственные векторы;
EV - вещественный вектоp длины N, содержащий вычисленные в возрастающем порядке собственные значения;
RAB - вещественный вектоp длины 2 на N, используемый как рабочий;
N - порядок исходных матриц (тип: целый);
IERR - целая переменная служащая для сообщения об ошибках, обнаруженных в ходе работы подпрограммы; значение IERR полагается равным:
 

номеpу собственного значения, для вычисления которого потребовалось более 30 итераций, при этом собственные значения с индексами 1, 2, ..., IERR - 1 и соответствующие собственные векторы вычислены правильно, но собственные значения неупорядочены;

IERR = 65 - когда исходная диагональная матрица B не является положительно определенной;

IERR = 66 - когда в исходной матрице Якоби не все попарные произведения соответствующих произведений побочных диагоналей неотрицательны;

IERR = 67 - когда в матрице Якоби имеется pавное нулю произведение соответствующих элементов побочных диагоналей, причем сомножители равны нулю неодновpеменно; в этом случае нет симметризации, необходимой для правильного вычисления собственных вектоpов;

IERR = 68 - когда матрица Q получена, но матрица преобразования C не вычислена, так как она алгоритмически выражена; в этом случае собственные векторы не вычисляются. 
   Версии :   нет 
   Вызываемые подпрограммы
AFJ0R - приведение матрицы Якоби к симметрической трехдиагональной матрице преобразованием подобия.
AFE1R - одновременное приведение вещественной симметрической трехдиагональной матрицы и диагональной положительно определенной матрицы двусторонним диагональным преобразованием соответственно к вещественной симметрической трехдиагональной и единичной матрицам.
UTAG10 -
UTAG11   		подпрограммы выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы AGJ0R. 
   Замечания по использованию
  Подпрограмма AGJ0R сохраняет матрицу A.

Пример использования 

Unit TAGJ0R_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc, UtRes_p, AGJ0R_p;

function TAGJ0R: String;

implementation

function TAGJ0R: String;
var
J,I,N,_i,IERR :Integer;
EV :Array [0..4] of Real;
V :Array [0..24] of Real;
RАВ :Array [0..9] of Real;
const
A :Array [0..14] of Real = ( 0.0,1.0,1.0,1.0,1.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,4.0,4.0,
4.0,4.0,0.0 );
B :Array [0..4] of Real = ( 2.0,2.0,2.0,2.0,2.0 );
begin
Result := '';  { результат функции }
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',
 [#$0D#$0A + ' ВСЕ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ' + #$0D#$0A +
 ' УРАВНЕНИЯ BИДA:AX=LAMBDA*BX, ГДЕ A - ВЕЩЕСТВЕННАЯ MATPИЦA' + #$0D#$0A +
 ' ЯКОБИ,  B - ВЕЩЕСТВЕННАЯ ДИАГОНАЛЬНАЯ МАТРИЦА ' + #$0D#$0A +
 ' A' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 3 do
   begin
    Result := Result + Format(' %20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[#$0D#$0A + ' B' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  Result := Result + Format(' %20.16f ',[B[I-1]]) + #$0D#$0A;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
N := 5;
AGJ0R(A,B,V,EV,RAB,N,IERR);
Result := Result + Format('%s',
 [#$0D#$0A + ' PEЗУЛЬTAT' + #$0D#$0A]) + #$0D#$0A; 
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[#$0D#$0A + ' A' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 3 do
   begin
    Result := Result + Format(' %20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[#$0D#$0A + ' B' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  Result := Result + Format(' %20.16f ',[B[I-1]]) + #$0D#$0A;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[#$0D#$0A + ' EV' + #$0D#$0A]);
Result := Result + #$0D#$0A;
for _i:=0 to 4 do
 begin
  Result := Result + Format('%20.16f ',[EV[_i]]);
  if ( ((_i+1) mod 3)=0 )
   then Result := Result + #$0D#$0A;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[#$0D#$0A + ' V' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 5 do
   begin
    Result := Result + Format(' %20.16f ',[V[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[#$0D#$0A + ' IERR' + #$0D#$0A]);
Result := Result + Format('%8d ',[IERR]) + #$0D#$0A;
UtRes('TAGJ0R',Result);  { вывод результатов в файл TAGJ0R.res }
exit;
end;

end.

Результаты:

                   | -1.7320508 |                       |  0.2041241 |
                   | -1.0000000 |                       | -0.1767767 |
      EV    =  |  0.0000000 |    ,        V1  =  |  0.1020621 |    , 
                   |  1.0000000 |                        | -0.0441942 |
                   |  1.7320508 |                        |  0.0127578 |

                 | -0.3535534 |                       | -0.4082483 |
                 |  0.1767767 |                        | -0.0000000 |
      V2  =  |  0.0000000  |    ,        V3  =  |  0.1020621 |    , 
                 | -0.0441942 |                        |  0.0000000 |
                 |  0.0220971 |                        | -0.0255155 |

                 | -0.3535534 |                       | -0.2041241 |
                 | -0.1767767 |                       | -0.1767767 |
      V4  =  | -0.0000000 |    ,        V5  =  | -0.1020621 |    , 
                 |  0.0441942 |                       | -0.0441942 |
                 |  0.0220971 |                       | -0.0127578 |

      IERR  =  0.