БЧА НИВЦ МГУ. AEH4R_P. Линейная проблема собственных значений для симметричных и эрмитовых матриц

Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://num-anal.srcc.msu.su/lib_na/cat/ae_htm_p/aeh4r_p.htm
Дата изменения: Wed Dec 2 10:45:52 2015
Дата индексирования: Sun Apr 10 02:38:57 2016
Кодировка: Windows-1251

Текст подпрограммы и версий
aeh4r_p.zip , aeh4e_p.zip

Тексты тестовых примеров
taeh4r_p.zip , taeh4e_p.zip

Подпрограмма: AEH4R (модуль AEH4R_p)

Назначение

Вычисление собственных значений, принадлежащих заданному интервалу, и их номеров вещественной симметрической матрицы.

Математическое описание

Подпрограмма AEH4R реализует алгоритм вычисления собственных значений, принадлежащих заданному интервалу, и их номеров уравнения Аx = λx для вещественной симметрической матрицы А.

Ортогональными преобразованиями Р матрица А приводится к симметрической трехдиагональной матрице А₁ = Р^TАР, что позволяет воспользоваться методом бисекций для вычисления принадлежащих заданному интервалу собственных значений и их номеров задачи А₁y = λy. При этом собственные значения этой и исходной задач совпадают.

Уилкинсон, Pайнш. "Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра", М., "Машиностроение", 1976.

Использование

procedure AEH4R(N :Integer; var A :Array of Real;
                var EV :Array of Real; var RLB :Real; var RUB :Real;
                MM :Integer; var M :Integer;
                var IRAB1 :Array of Integer; var RAB1 :Array of Real;
                var IERR :Integer);

   Параметры

N -	порядок исходной матрицы (тип: целый);
A -	вещественный двумерный массив размера N на N, содержащий исходную матрицу; в подпрограмме используется только полный нижний треугольник матрицы А;
EV -	вещественный вектор длины ММ, содержащий вычисленные в возрастающем порядке собственные значения, принадлежащие заданному интервалу;
RLB - RUB	заданные нижняя и верхняя границы интервала собственных значений (тип: вещественный); если RLВ > RUВ, то собственные значения не вычисляются;
MM -	оценка сверху числа собственных значений матрицы А, принадлежащих заданному интервалу, ММ ≤ N (тип: целый); если вычисленное число М собственных значений, принадлежащих заданному интервалу, больше, чем ММ, то собственные значения не вычисляются;
M -	целая переменная, в которой запоминается вычисленное число собственных значений, принадлежащих заданному интервалу;
IRAB -	целый вектор длины ММ, содержащий индексы расположенных в возрастающем порядке М собственных значений;
RAB -	вещественный вектор длины 5 на N, используемый как рабочий;
IERR -	целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженных в ходе работы подпрограммы; при этом IЕRR=3*N+1 - если значение ММ меньше числа вычисленных собственных значений М на интервале; при этом собственные значения не вычисляются.

   Версии

AEH4E -

вычисление собственных значений, принадлежащих заданному интервалу, и их номеров симметрической матрицы, заданной с расширенной (Extended) точностью. Массивы А, ЕV, RАВ и переменные RLВ, RUВ имеют тип Extended.

   Вызываемые подпрограммы

UTAE10 -

подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограмм АЕН4R и АЕН4E.

   Замечания по использованию

Подпрограмма АЕН4R сохраняет полный верхний треугольник исходной матрицы, остальные элементы используются для запоминания ортогональных преобразований.

Пример использования

Unit TAEH4R_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc, UtRes_p, AEH4R_p;

function TAEH4R: String;

implementation

function TAEH4R: String;
var
J,I,N,MM,_i,M,IERR :Integer;
RLB,RUB :Real;
EV :Array [0..2] of Real;
IRAB1 :Array [0..2] of Integer;
RAB1 :Array [0..19] of Real;
const
A :Array [0..15] of Real = ( 1.0,0.42,0.54,0.66,0.42,1.0,0.32,0.44,0.54,0.32,
1.0,0.22,0.66,0.44,0.22,1.0 );
begin
for _i:=0 to 19 do
 RAB1[_i] := 0.0e0;  //начальное обнуление массива
for _i:=0 to 3 do
 EV[_i] := 0.0e0;  //начальное обнуление массива
Result := '';  { результат функции }
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',
 [' ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ СИММЕТРИЧЕСКОЙ MATPИЦЫ' + #$0D#$0A +
 ' A' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 4 do
 begin
  for J:=1 to 4 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*4]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
N := 4;
ММ := 3;
RLB := 0.0;
RUB := 1.0;
AEH4R(N,A,EV,RLB,RUB,MM,M,IRAB1,RAB1,IERR);
Result := Result + Format('%s',[' PEЗYЛЬTAT']) + #$0D#$0A; 
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' A' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 4 do
 begin
  for J:=1 to 4 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*4]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' EV' + #$0D#$0A]);
Result := Result + #$0D#$0A;
for _i:=0 to 2 do
 begin
  Result := Result + Format('%20.16f ',[EV[_i]]);
  if ( ((_i+1) mod 3)=0 )
   then Result := Result + #$0D#$0A;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' IERR' + #$0D#$0A]);
Result := Result + Format('%8d ',[IERR]) + #$0D#$0A;
UtRes('TAEH4R',Result);  { вывод результатов в файл TAEH4R.res }
exit;
end;

end.

Результаты:

Собственные значения в интервале (0., 1.):

                  |  0.2422607  |
       EV  =  |  0.6382838  | , 
                  |  0.7967067  |

       IERR  =  0