Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://num-anal.srcc.msu.su/meth_mat/prac_alg/arfil/symtex1.txt Дата изменения: Tue Dec 17 12:59:03 2002 Дата индексирования: Mon Oct 1 23:19:43 2012 Кодировка: Windows-1251

\documentstyle{article}
\frenchspacing
%\pagestyle{empty}
%\topmargin=-0.265 true cm
\topmargin=-2.265 true cm
\textwidth=16.5 true cm
\oddsidemargin=-0.02 true cm
\evensidemargin=-0.02 true cm
\textheight=23.5 true cm
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.33}
\chardef\no=194
\def\epsilon{\ze}
%----------------------------------------------------------------------
\def\subtitle#1{\begin{center}
\bf
#1
\end{center}
\nopagebreak
}
%----------------------------------------------------------------------
\def\trmatr#1#2#3{\left(\matrix{
#1 & #2 & {} & {} & {} & {} & {} & {}\vspace{1 ex}\cr
#3 & #1 & #2 & {} & {} & {} & {} & {}\vspace{1 ex}\cr
{} & #3 & #1 & #2 & {} & {} & {} & {}\vspace{1 ex}\cr
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\vspace{1 ex}\cr
{} & {} & {} & {} & {} & #3 & #1 & #2\vspace{1 ex}\cr
{} & {} & {} & {} & {} & {} & #3 & #1\vspace{1 ex}\cr
}\right)}
\def\ztrmatr#1#2#3{\left(\matrix{
#1 & #2 & {} & {} & {} & {} \cr
#3 & #1 & #2 & {} & {} & {} \cr
{} & #3 & #1 & #2 & {} & {} \cr
{} & {} &\ddots&\ddots&\ddots& {} \cr
{} & {} & {} & #3 & #1 & #2 \cr
{} & {} & {} & {} & #3 & #1 \cr
}\right)}
\def\dettr#1#2#3{\left|\matrix{
#1 & #2 & {} & {} & {} & {} & {} & {}\vspace{1 ex}\cr
#3 & #1 & #2 & {} & {} & {} & {} & {}\vspace{1 ex}\cr
{} & #3 & #1 & #2 & {} & {} & {} & {}\vspace{1 ex}\cr
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\vspace{1 ex}\cr
{} & {} & {} & {} & {} & #3 & #1 & #2\vspace{1 ex}\cr
{} & {} & {} & {} & {} & {} & #3 & #1\vspace{1 ex}\cr
}\right|}
\def\zdettr#1#2#3#4#5#6{\left|\matrix{
#4 & #5 & {} & {} & {} & {} \cr
#6 & #1 & #2 & {} & {} & {} \cr
{} & #3 & #1 & #2 & {} & {} \cr
{} & {} &\ddots&\ddots&\ddots& {} \cr
{} & {} & {} & #3 & #1 & #2 \cr
{} & {} & {} & {} & #3 & #1 \cr
}\right|}
%----------------------------------------------
\font\frm=msbm10 at 11 pt
\font\gotic=eufm10 at 11pt
%\font\gotic=eufb10 at 12pt
\def\abs#1{\left|#1\right|}
\def\l{\bigl}
\def\r{\bigr}
\def\({\left(}
\def\){\right)}
\def\[{\left[}
\def\zP{\Phi}
\def\]{\right]}
\def\ze{\varepsilon}
\def\zvt{\vartheta}
\def\zp{\varphi}
\def\phi{\varphi}
\def\za{\alpha}
\def\zb{\beta}
\def\zt{\theta}
\def\zL{\Lambda}
\def\zD{\Delta}
\def\zd{\delta}
\def\zn{\nabla}
\def\zl{\lambda}
\def\zbu{\bar u}
\def\zbv{\bar v}
\def\rb{\bar\zb}
\def\rg{\bar\zg}
\def\rz{\bar z}
\def\rrt{\bar t}
\def\rr{\bar r}
\def\rrm{\bar m}
\def\rk{\bar k}
\def\rt{\bar\zt}
\def\ru{\bar u}
\def\zr{\rho}
\def\zo{\omega}
\def\zO{\Omega}
\def\zs{\sigma}
\def\zS{\Sigma}
\def\zk{\kappa}
%___________________________________________________________
\def\bzO{{\bf\zO}}
%_________________________________________________________________
\def\bzt{\mbox{$\boldmath \zt$}}
\def\btau{\mbox{$\boldmath \tau$}}
\def\bzs{\mbox{$\boldmath \zs$}}
\def\bx{\mbox{{$\boldmath x$}}}
\def\bq{\mbox{{$\boldmath q$}}}
\def\by{\mbox{$\boldmath y$}}
\def\ba{\mbox{$\boldmath a$}}
\def\bb{\mbox{$\boldmath b$}}
\def\bc{\mbox{$\boldmath c$}}
\def\bi{\mbox{$\boldmath i$}}
\def\bu{\mbox{$\boldmath u$}}
\def\bU{\mbox{$\boldmath U$}}
\def\bv{\mbox{$\boldmath v$}}
\def\bV{\mbox{$\boldmath V$}}
\def\be{\mbox{{$\boldmath e$}}}
\def\br{\mbox{$\boldmath r$}}
\def\bR{\mbox{$\boldmath R$}}
\def\bn{\mbox{$\boldmath n$}}
\def\bF{\mbox{$\boldmath F$}}
\def\bP{\mbox{$\boldmath P$}}
\def\bA{\mbox{$\boldmath A$}}
\def\bk{\mbox{$\boldmath k$}}
\def\bK{\mbox{$\boldmath K$}}
\def\bM{\mbox{$\boldmath M$}}
\def\bC{\mbox{$\boldmath C$}}
\def\bN{\mbox{$\boldmath N$}}
\def\bB{\mbox{$\boldmath B$}}
\def\bet{\mbox{$\boldmath \eta$}}
%_________________________________________________________________
\def\zep{\epsilon}
\def\zg{\gamma}
\def\zG{\Gamma}
\def\zdiag{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\def\diag{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\def\off{\mathop{\rm off}\nolimits}
\def\zLm{\Lambda^{-1}}
\def\zdet{\mathop{\rm det}\nolimits}
\def\det{\mathop{\rm det}\nolimits}
%_________________________________________________________________
\def\cA{{\cal A}}
\def\cB{{\cal B}}
\def\cF{{\cal F}}
\def\cK{{\cal K}}
\def\cV{{\cal V}}
\def\cW{{\cal W}}
\def\cP{{\cal P}}
\def\cE{{\cal E}}
\def\cO{{\cal O}}
\def\cL{{\cal L}}
\def\cM{{\cal M}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\cG{{\cal G}}
\def\cg{{\cal g}}
%__________________________________________________________________
\def\hu{\hat u}
\def\hv{\hat v}
%-------------------------------------------------------------------
\def\yp{{\bar p}}
\def\yq{{\bar q}}
\def\yz{{\bar z}}
\def\yf{{\bar f}}
\def\yg{{\bar g}}
\def\yr{{\bar r}}
\def\yn{{\bar n}}
\def\yh{{\bar h}}
%-------------------------------------------------------------------
\def\zsym{\mathop{\rm sym}\nolimits}
\def\zdeg{\mathop{\rm deg}\nolimits}
\def\zgrad{\mathop{\rm grad}\nolimits}
\def\zsym{\mathop{\rm sym}\nolimits}
\def\zdiv{\mathop{\rm div}\nolimits}
\def\zrot{\mathop{\rm rot}\nolimits}
\def\zskw{\mathop{\rm skw}\nolimits}
\def\zcoax{\mathop{\rm coax}\nolimits}
\def\zdn{\mathop{\rm dn}\nolimits}
\def\zcn{\mathop{\rm cn}\nolimits}
\def\zasn{\mathop{\rm asn}\nolimits}
\def\zsn{\mathop{\rm sn}\nolimits}
\def\zch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tan}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm cot}\nolimits}
\def\zsbi{\mathop{\rm sbi}\nolimits}
\def\ztr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\zRe{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\zIm{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\zmin{\mathop{\rm min}\nolimits}
\def\zsign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\zconst{\mathop{\rm const}\nolimits}
\def\zker{\mathop{\rm ker}\nolimits}
\def\zrot{\mathop{\rm rot}\nolimits}
\def\zdim{\mathop{\rm dim}\nolimits}
\def\zmod{\mathop{\rm mod}\nolimits}
\def\zsup{\mathop{\rm sup}\nolimits}
\def\zad{\mathop{\rm ad}\nolimits}
\def\zint{\mathop{\rm int}\nolimits}
\def\zarctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\cond{\mathop{\rm cond}\nolimits}
\def\zcond{\mathop{\rm cond}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\cth{\mathop{\rm cth}\nolimits}
%-----------------------------------------
\def\dsize{\displaystyle}
\def\dfrac{\dsize\frac}
\def\zsys#1#2{\par\noindent\qquad\qquad$\dsize#1$\hfill#2}
\def\pdd#1#2{\dfrac{\partial^2#1}{\partial #2^2}}
\def\pd#1#2{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\od#1#2{\dfrac{d#1}{d#2}}
\def\odd#1#2{\dfrac{d^2#1}{d#2^2}}
\def\zsq{\sqrt{1-s^2}}
\def\zh{\hat{F}_k}
\def\zxx{{\bf\scriptsize x}}
\def\tsize{\textstyle}
\def\ssize{\scriptstyle}
\def\zdot{\hbox{\hspace*{0.1em}\vbox{\hbox{$\cdot$}\vspace*{0.3ex}}}}
\def\zdotw{\hbox{\hspace*{0.1em}\vbox{\hbox{$\cdot\cdot$}\vspace*{0.3ex}}}}
\def\zdott{\hbox{\hspace*{0.5em}\vbox{\hbox{$\ssize 2$}\vspace*{-0.3ex}}}}
\def\zdotm{\hbox{\hspace*{-0.8em}\vbox{\hbox{$\cdot$}\vspace*{0.3ex}}}}
\def\yk#1{#1=1,\,2,\,\dots\,\,}
\def\ys{\subset}
\def\zi{\int\limits}
\def\dzi{\dsize\int\limits}
\def\su{\sum\limits}
\def\dsu{\dsize\sum\limits}
\def\p{\partial}
\def\norm#1{\left\|#1\right\|}
\def\tx{{\tilde{\bx}}}
\def\tb{{\tilde{\bb}}}
\def\tA{{\tilde{A}}}
\def\ta{{\tilde{a}}}
\def\tzl{{\tilde{\zl}}}
\def\da{{\zd A}}
\def\de{{\zd E}}
\def\db{{\zd\bb}}
%----------------------------------------------------------------------
\def\zq{\stackrel{\approx}{Q}}
\def\gtrsim{\;\vbox{\hbox{$\stackrel{>}{\sim}$}\vspace*{-0.9ex}}\;}
%----------------------------------------------------------------------
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\zk{\varkappa}
\def\l{\big}
\def\r{\big}
%----------------------------------------------------------------------
\def\gu{\mbox{\gotic U}}
\def\gw{\mbox{\gotic W}}
\def\gi{\mbox{\gotic I}}
\def\fR{\mbox{\frm R}}
%----------------------------------------------------------------------
\begin{document}

\subtitle{О.\,Б.~Арушанян}

\subtitle{СИММЕТРИЧНЫЕ ЯКОБИЕВЫ МАТРИЦЫ С ОДИНАКОВЫМИ ДИАГОНАЛЬНЫМИ
ЭЛЕМЕНТАМИ}

Предлагается набор тестов, составленных для симметричных
якобиевых матриц~[1] порядка~$n$ с одинаковыми диагональными элементами,
имеющих вид~($c\ne 0$)
$$
A_n=\ztrmatr{d}{c}{c}.
\eqno(1)
$$

Вычисление рассматриваемых здесь характеристик матрицы (1) проводится с
использованием стандартных приемов решения разностных уравнений. Это важно в
методическом отношении, поскольку подчеркивается глубокая взаимосвязь
численных методов линейной алгебры и разностных методов решения задач
математической физики~[2]. Результаты, полученные в общем виде,
иллюстрируются примером одного типа матриц, который часто встречается в
практических расчетах.

\begin{center}
{\bf 1.~Вычисление определителя}
\end{center}

Получим рекуррентное соотношение для определителя матрицы (1). Для этого
разложим определитель по первой строке:
$$
\det\(A_n\)=d\det\(A_{n-1}\)+(-1)^3c\zdettr{d}{c}{c}{c}{c}{}.
$$
Разложив последний определитель по первому столбцу, получим искомое
рекуррентное соотношение:
$$
\det\(A_n\)=d\det\(A_{n-1}\)-c^2\det\(A_{n-2}\).
$$
Положим $n=n+2$. Тогда для вычисления $\det\(A_{n}\)$ имеем разностное
уравнение
$$
\det\(A_{n+2}\)-d\det\(A_{n+1}\)+c^2\det\(A_{n}\)=0
$$
с начальными условиями
$$
\det\(A_{1}\)=d,\quad \det\(A_{2}\)=d^2-c^2.
$$

Характеристическое уравнение
$$
q^2-dq+c^2=0
$$
имеет корни
$$
q_{1,2}=\dfrac{d\,\pm\,\sqrt{d^2-4c^2}}2.
$$

Рассмотрим два возможных случая.

1) Пусть $q_1=q_2$, т.е. $|d|=2\,|c|$. Тогда общее решение выписанного
разностного уравнения имеет вид
$$
\det\(A_{n}\)=a\,q_1^n+b\,n\,q_1^n=q_1^n(a+bn).
$$
Из начальных условий найдем, что $a=b=1$. Таким образом, для рассматриваемого
случая $q_1=\dfrac d2$ и определитель матрицы~(1) вычисляется по формуле
$$
\det\(A_{n}\)=\(\dfrac d2\)^n(1+n).
\eqno(2)
$$
Отсюда видно, что в соответствии с критерием Сильвестра матрица (1) при
$|d|=2\,|c|$ положительно определена, если $d>0$, и отрицательно определена,
если $d<0$.

2) Пусть теперь $q_1\ne q_2$, т.е. $|d|\ne 2\,|c|$. Тогда общее решение
разностного уравнения имеет вид
$$
\det\(A_{n}\)=\za\,q_1^n+\zb\,q_2^n.
$$
Для определения $\za$ и $\zb$ выпишем из начальных условий линейную систему
из двух уравнений
$$
\begin{array}{l}
\det\(A_{1}\)=d=\za\,q_1+\zb\,q_2,\vspace{1 ex}\\
\det\(A_{2}\)=d^2-c^2=\za\,q_1^2+\zb\,q_2^2,
\end{array}
$$
решением которой являются
$$
\begin{array}{l}
\za=\dfrac{d^2-c^2-dq_2}{q_1^2-q_1q_2}=\dfrac{q_1^2}{q_1^2-q_1q_2}=
\dfrac{q_1}{q_1-q_2},\vspace{1 ex}\\
\zb=\dfrac{d^2-c^2-dq_1}{q_2^2-q_1q_2}=\dfrac{q_2^2}{q_2^2-q_1q_2}=
\dfrac{q_2}{q_2-q_1}.
\end{array}
$$
Следовательно,
$$
\det\(A_n\)=\dfrac{q_1^{n+1}-q_2^{n+1}}{q_1-q_2}.
\eqno(3)
$$
Поскольку $q_1-q_2=\sqrt{d^2-4c^2}$, то
$$
\det\(A_n\)=\dfrac{\(d+\sqrt{d^2-4c^2}\)^{n+1}-\(d-\sqrt{d^2-4c^2}\)^{n+1}}
{2^{n+1}\sqrt{d^2-4c^2}}.
$$

Если $d^2>4c^2$, то из последней записи следует, что по критерию Сильвестра
матрица (1)
положительно определена, если $d>0$, и отрицательно определена, если $d<0$.

Если $d=0$, то
$$
\det\(A_n\)=\dfrac{\(\sqrt{-4c^2}\)^{n+1}-\(-\sqrt{d^2-4c^2}\)^{n+1}}
{2^{n+1}\sqrt{-4c^2}}=\bi^n|c|^n\(\dfrac{1-(-1)^{n+1}}2\).
$$
Следовательно, при $d=0$ матрица (1) вырождена для нечетных $n$ и не
вырождена для четных $n$.

Если $d^2<4c^2$, то выражение (3) можно записать по-другому. Преобразуем
корни характеристического уравнения следующим образом:
$$
q_{1,2}=\dfrac{d\,\pm\,\sqrt{d^2-4c^2}}2=
\dfrac{d\,\pm\,2|c|\sqrt{(d/2c)^2-1}}2=
\dfrac d2\,\pm\,|c|\sqrt{\(\dfrac{d}{2c}\)^2-1}
=c\,\dfrac d{2c}\,\pm\,\bi|c|\sqrt{1-\(\dfrac{d}{2c}\)^2}.
$$
Поскольку $|d/2c|<1$, то обозначим $\cos\zp=\dfrac d{2c}$; тем самым, эти
корни могут быть записаны в нормальной тригонометрической форме в виде
$$
\begin{array}{l}
q_{1,2}=c\,(\cos\zp\,\pm\,\bi\sin\zp),\quad {\rm если}\quad c>0,\vspace{1 ex}\\
q_{1,2}=c\,(\cos\zp\,\mp\,\bi\sin\zp),\quad {\rm если}\quad c<0.
\end{array}
$$
С точностью до обозначения корней эти две записи совпадают. Выберем для
определенности запись, соответствующую случаю~$c>0$. Тогда выражение~(3)
примет вид:
$$
\begin{array}{rcl}
\det\(A_n\)&=&\dfrac{c^{n+1}(\cos\zp+\bi\sin\zp)^{n+1}-
c^{n+1}(\cos\zp-\bi\sin\zp)^{n+1}}{2c\bi\sin\zp}=
\dfrac{2c^{n+1}\bi\sin\(n+1\)\zp}{2c\bi\sin\zp}= \vspace{1 ex}\\
&=&\dfrac{c^n\sin\(n+1\)\zp}{\sin\zp}
=c^n\,\dfrac{\sin\((n+1)\arccos\,(d/(2c)\)}{\sin\(\arccos\,(d/(2c)\)}=
c^n\,U_n(d/(2c)),
\end{array}
$$
где $U_n(d/(2c))$~--- многочлен Чебышева второго рода.

\begin{center}
{\bf 2.~Вычисление обратной матрицы}
\end{center}

Вычисление обратной матрицы эквивалентно решению матричного уравнения
$$
A_n\,X=E,
$$
где $E$~--- единичная матрица порядка $n$. Столбцы
$\bx^{(j)}=\(x_1^{(j)},x_2^{(j)},\ldots,x_n^{(j)}\)^T$
($j=1,2,\ldots,n$) обратной матрицы~$X$ удовлетворяют разностным уравнениям
($k=1,2,\ldots,n$)
$$
c\,x_{k-1}^{(j)}+d\,x_{k}^{(j)}+c\,x_{k+1}^{(j)}=\zd_k^j=
\cases{0, & {\rm при}~~$k 1, & {\rm при}~~$k=j$,\vspace{1 ex}\cr
0, & {\rm при}~~$k>j$\cr}
$$
с краевыми условиями $x_{0}^{(j)}=0$ и $x_{n+1}^{(j)}=0$.
Характеристическое уравнение
$$
c\,q^2+dq+c=0
$$
выписанной разностной задачи имеет корни
$$
q_{1,2}=\dfrac{-d\,\pm\,\sqrt{d^2-4c^2}}{2c}.
$$

Рассмотрим два возможных случая.


1) Пусть $q_1=q_2$, т.е. $|d|=2\,|c|$. Тогда $j$-й столбец обратной матрицы
запишется в виде
$$
\begin{array}{ll}
x_{k}^{(j)}=C_1'\,q_1^k+C_2'\,k\,q_1^k=\(C_1'+C_2'\,k\)q_1^k,&~~k\le j,
\vspace{1 ex}\\
x_{k}^{(j)}=C_1''\,q_1^k+C_2''\,k\,q_1^k=\(C_1''+C_2''\,k\)q_1^k,&~~k\ge j,
\end{array}
$$
где $C_1'$, $C_2'$, $C_1''$, $C_2''$~--- константы, подлежащие определению.
Из краевых условий следует, что $C_1'=0$ и $C_1''=-\(n+1\)C_2''$; поэтому
выражения для элементов $j$-го столбца примут вид
$$
\begin{array}{ll}
x_{k}^{(j)}=k\,q_1^k\,C_2',&~~k\le j,
\vspace{1 ex}\\
x_{k}^{(j)}=\(k-n-1\)q_1^k\,C_2'',&~~k\ge j.
\end{array}
$$
При $k=j$ оба выражения должны совпасть, т.е.
$j\,q_1^j\,C_2'=\(j-n-1\)q_1^j\,C_2''$. Отсюда получим первое соотношение,
связывающее константы~$C_2'$ и~$C_2''$:
$$
C_2'=\dfrac{j-n-1}j\,C_2''.
$$

Теперь подставим эти выражения в среднее уравнение
$$
c\,x_{j-1}^{(j)}+d\,x_{j}^{(j)}+c\,x_{j+1}^{(j)}=1
$$
и получим второе соотношение, связывающее константы~$C_2'$ и~$C_2''$:
$$
c\(j-1\)q_1^{j-1}\,C_2'+d\,j\,q_1^{j}\,C_2'+c\(j-n\)q_1^{j+1}\,C_2''=1.
$$
Из этих двух соотношений следует, что
$$
C_2'=\dfrac{j-n-1}{c\,q_1^{j-1}\(j\,q_1^2-j+n+1\)},\quad %\vspace{1 ex}\\
C_2''=\dfrac{j}{c\,q_1^{j-1}\(j\,q_1^2-j+n+1\)}.
$$

Таким образом, в рассмотренном случае столбцы обратной матрицы задаются
следующими выражениями ($j=1,2,\ldots,n$, $k=1,2,\ldots,n$):
$$
\begin{array}{ll}
x_{k}^{(j)}=\dfrac{\(j-n-1\)k\,q_1^{k-j+1}}{c\(j\,q_1^2-j+n+1\)},&~~k\le j,
\vspace{1 ex}\\
x_{k}^{(j)}=\dfrac{\(k-n-1\)j\,q_1^{k-j+1}}{c\(j\,q_1^2-j+n+1\)},&~~k\ge j.
\end{array}
\eqno(4)
$$

2) Пусть $q_1\ne q_2$, т.е. $|d|\ne2\,|c|$. Тогда $j$-й столбец обратной
матрицы запишется в виде
$$
\begin{array}{ll}
x_{k}^{(j)}=C_1'\,q_1^k+C_2'\,q_2^k,&~~k\le j,
\vspace{1 ex}\\
x_{k}^{(j)}=C_1''\,q_1^k+C_2''\,q_2^k,&~~k\ge j,
\end{array}
$$
где $C_1'$, $C_2'$, $C_1''$, $C_2''$~--- константы, подлежащие определению.
Потребуем, чтобы эти выражения совпали при $k=j$:
$$
C_1'\,q_1^j+C_2'\,q_2^j=C_1''\,q_1^j+C_2''\,q_2^j.
$$
Отсюда получим первое соотношение, связывающее искомые константы:
$$
\(C_1'-C_1''\)q_1^j=\(C_2''-C_2'\)q_2^j.
$$
Подставив эти выражения в среднее уравнение
$$
c\,x_{j-1}^{(j)}+d\,x_{j}^{(j)}+c\,x_{j+1}^{(j)}=1,
$$
получим второе соотношение, связывающее искомые константы:
$$
c\(C_1''-C_1'\)q_1^{j+1}+c\(C_2''-C_2'\)q_2^{j+1}=1.
$$
Из этих соотношений получим
$$
C_1''=C_1'+\dfrac 1{c\,q_1^j\(q_1-q_2\)},\quad
C_2''=C_2'-\dfrac 1{c\,q_2^j\(q_1-q_2\)},
$$
откуда
$$
\begin{array}{ll}
x_k^{(j)}=C_1'\,q_1^k+C_2'\,q_2^k,&~~k\le j,\vspace{1 ex}\\
x_k^{(j)}=\(C_1'+\dfrac 1{c\,q_1^j\(q_1-q_2\)}\)q_1^k+
\(C_2'-\dfrac 1{c\,q_2^j\(q_1-q_2\)}\)q_2^k,&~~k\ge j.
\end{array}
$$

Из первого краевого условия следует, что $C_1'+C_2'=0$, т.е. $C_2'=-C_1'$.
Из второго краевого условия получим второе соотношение, связывающее
константы~$C_1'$ и~$C_2'$:
$$
\(C_1'+\dfrac 1{c\,q_1^j\(q_1-q_2\)}\)q_1^{n+1}+
\(C_2'-\dfrac 1{c\,q_2^j\(q_1-q_2\)}\)q_2^{n+1}=0.
$$
Из этих соотношений следует, что
$$
C_1'=-\dfrac{q_1^{n+1-j}-q_2^{n+1-j}}
{c\,(q_1-q_2)\(q_1^{n+1}-q_2^{n+1}\)}.
$$

Таким образом, в случае разных корней характеристического уравнения столбцы
обратной матрицы задаются следующими выражениями
($j=1,2,\ldots,n$, $k=1,2,\ldots,n$):
$$
\begin{array}{ll}
x_{k}^{(j)}=C_1'\(q_1^k-q_2^k\),&~~k\le j,
\vspace{1 ex}\\
x_{k}^{(j)}=C_1'\(q_1^k-q_2^k\)+\dfrac{q_1^{k-j}-q_2^{k-j}}{c\,(q_1-q_2)},
&~~k\ge j.
\end{array}
\eqno(5)
$$

Рассмотрим отдельно случай, когда $d^2<4c^2$, т.е. корни характеристического
уравнения комплексные и имеют вид
$$
q_{1,2}=\cos\zp\,\pm\,\sin\zp,\quad \cos\zp=-\,\dfrac d{2c}.
$$
После несложных преобразований с использованием формулы Муавра
получим из~(5), что в этом случае столбцы
обратной матрицы задаются следующими выражениями
($j=1,2,\ldots,n$, $k=1,2,\ldots,n$):
$$
\begin{array}{ll}
x_k^{(j)}=-\dfrac{\sin\(n+1-j\)\zp\sin k\zp}{c\sin\zp\sin\(n+1\)\zp},
&~~k\le j, \vspace{1 ex}\\
x_k^{(j)}=-\dfrac{\sin\(n+1-j\)\zp\sin k\zp}{c\sin\zp\sin\(n+1\)\zp}+
\dfrac{\sin\(k-j\)\zp}{\sin\zp},
&~~k\ge j.
\end{array}
$$

Если $d=0$, то $q_{1,2}=\pm\,\bi$. Тогда из последних выражений следует, что
матрица~(1) вырождена при нечетных~$n$.

\begin{center}
{\bf 3.~Вычисление собственных значений}
\end{center}

Вычислим собственные значения $\zl$ матрицы (1). Аналогично п.~1
%характеристического многочлена $A_n(\zl)=\det\(A_n-\zl E\)$, где
заключаем, что угловые
миноры $A_k(\zl)$ матрицы $A_n-\zl E$ связаны рекуррентным соотношением
($E$~--- единичная матрица порядка~$n$)
$$
\begin{array}{l}
A_k(\zl)=(d-\zl)\,A_{k-1}(\zl)-c^2A_{k-2}(\zl),\quad k=1,2,\ldots,n,
\vspace{1 ex}\\
A_{-1}(\zl)=0,\quad A_{0}(\zl)=1,
\end{array}
$$
из которого получим разностное уравнение
$$
A_k(\zl)-(d-\zl)\,A_{k-1}(\zl)+c^2A_{k-2}(\zl)=0
$$
с начальными условиями
$$
A_{1}(\zl)=d-\zl,\quad A_{2}(\zl)=(d-\zl)^2-c^2.
$$

Корни характеристического уравнения
$$
q^2-\(d-\zl\)q+c^2=0
$$
запишем в виде
$$
q_{1,2}=c\(\dfrac{d-\zl}{2c}\)\,\pm\,\bi|c|\sqrt{1-\(\dfrac{d-\zl}{2c}\)^2}.
$$
Из теоремы о кругах Гершгорина следует, что $|d-\zl|\leq 2\,|c|$, т.е.
$\abs{\dfrac{d-\zl}{2c}}\leq 1$. Поэтому мы можем обозначить
$\dfrac{d-\zl}{2c}=\cos\zp$ и, как это было сделано в п.~1, представить
корни~$q_{1,2}$ в тригонометрической форме
$$
q_{1,2}=c\(\cos\zp\,\pm\,\bi\sin\zp\).
$$
Тогда
$$
\begin{array}{rcl}
A_k(\zl)&=&\za c^k(\cos\zp+\bi\sin\zp)^k+\zb c^k(\cos\zp-\bi\sin\zp)^k=
\(\za+\zb\)c^k\cos k\zp+\bi\(\za-\zb\)c^k\sin k\zp=\vspace{1 ex}\\
&=&\za'c^k\cos k\zp+\zb'c^k\sin k\zp.
\end{array}
$$

Начальные условия представим в виде
$$
\begin{array}{l}
A_1(\zl)=d-\zl=\dfrac{d-\zl}{2c}\,2c=2c\cos\zp, \vspace{1 ex}\\
A_2(\zl)=(d-\zl)^2-c^2=c^2\(4\(\dfrac{d-\zl}{2c}\)^2-1\)=
c^2\(4\cos^2\zp-1\).
\end{array}
$$
Для определения $\za'$ и $\zb'$ имеем систему из двух линейных уравнений
$$
\begin{array}{l}
A_1(\zl)=\za'c\cos\zp+\zb'c\sin\zp=2c\cos\zp, \vspace{1 ex}\\
A_2(\zl)=\za'c^2\cos 2\zp+\zb'c^2\sin 2\zp=c^2\(4\cos^2\zp-1\),
\end{array}
$$
решая которую получим
$$
\za'=1,\quad \zb'=\dfrac{\cos\zp}{\sin\zp}.
$$

Заметим, что $\cos\zp\ne \pm\,1$ и, следовательно, $\sin\zp\ne 0$.
Действительно,
пусть $\cos\zp=1$. Тогда $\dfrac{d-\zl}{2c}=1$ и $\zl=d-2c$. Однако при
этом~$\zl$ выполнено $A_n(\zl)\ne 0$, поскольку
$$
\begin{array}{rcl}
A_n(\zl)&=&\zdettr{d-\zl}{c}{c}{d-\zl}{c}{c}=\zdettr{2c}{c}{c}{2c}{c}{c}=
\vspace{1 ex}\\
&=&c^n\zdettr{2}{1}{1}{2}{1}{1}\ne 0
\end{array}
$$
в силу (2). Аналогично рассматривается случай $\cos\zp=1$.

Итак, для вычисления $A_k(\zl)$ имеем соотношение
$$
\begin{array}{rcl}
A_k(\zl)&=&c^k\cos k\zp+c^k\,\dfrac{\cos\zp}{\sin\zp}\,\sin k\zp=
c^k\,\dfrac{\cos k\zp\sin\zp+\cos\zp\sin k\zp}{\sin k\zp}= \vspace{1 ex}\\
&=&c^k\,\dfrac{\sin\(k+1\)\zp}{\sin\zp}.
\end{array}
$$
Из уравнения $A_n(\zl)=0$ следует, что $\sin\(n+1\)\zp=0$, т.е.
$\zp=\dfrac{\pi}{n+1}\,k$, $k=1,2,\ldots,n$, причем $k\ne 0$ и $k\ne n+1$,
поскольку в противном случае окажется, что $\sin\zp=0$. Из
$\dfrac{d-\zl_k}{2c}=\cos\dfrac{\pi}{n+1}\,k$ получим выражение для
собственных значений матрицы~(1):
$$
\zl_k=d-2c\,\cos\dfrac{\pi}{n+1}\,k,\quad k=1,2,\ldots,n.
\eqno(6)
$$

Представим теперь выражение (6) для спектра матрицы (1) в форме
$$
\begin{array}{rcl}
\zl_k&=& d-2c\,\cos\dfrac{\pi}{n+1}\,k=
2c\(\dfrac d{2c}-\cos\dfrac{\pi}{n+1}\,k\)=
2c\(\dfrac d{2c}-1+1-\cos\dfrac{\pi}{n+1}\,k\)= \vspace{1 ex}\\
&=& 2c\(\dfrac d{2c}-1+2\sin^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}\,k\)=
d-2c+4c\sin^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}\,k
\end{array}
\eqno(7)
$$
и покажем, что ее собственные значения могут быть выражены также
следующей формулой:
$$
\zl_k=d+2c\,\cos\dfrac{\pi}{n+1}\,k,\quad k=1,2,\ldots,n.
\eqno(8)
$$
Действительно, аналогичными выкладками формула (8) преобразуется к виду
$$
\begin{array}{rcl}
\zl_k&=&d-2c+4c\cos^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}\,k=
d-2c+4c\sin^2\(\dfrac \pi2-\dfrac{\pi}{2(n+1)}\,k\)= \vspace{1 ex}\\
&=& d-2c+4c\sin^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}\,(n+1-k).
\end{array}
$$
Легко заметить, что в последнем равенстве и в (7) аргументы у синуса
пробегают одни и те же точки единичной окружности, но в противоположных
направлениях. Следовательно, спектр матрицы~(1) может быть выражен как
формулой~(6), так и формулой~(8). К такому же заключению можно придти,
если преобразовать представление~(7) следующим образом:
$$
\begin{array}{rcl}
\zl_k&=&d-2c+4c\sin^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}\,k=
d-2c+4c\cos^2\(\dfrac \pi2-\dfrac{\pi}{2(n+1)}\,k\)= \vspace{1 ex}\\
&=& d+2c-4c\sin^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}\,(n+1-k).
\end{array}
\eqno(9)
$$

Таким образом, из полученных здесь формул следует, что

---~все собственные значения матрицы~(1) лежат в интервале
$(d-2c,d+2c)$ и сгущаются к его границам;

---~матрица (1) положительно определена, если $d>0$ и $d\geq 2\,|c|$;

---~спектры симметричных якобиевых матриц с побочными диагоналями,
равными~$c$ и $-c$, совпадают при одинаковых значениях~$d$.

Для того чтобы расположить собственные значения матрицы (1) в интервале
$(d-2c,d+2c)$ слева направо (т.е. в порядке возрастания), в формуле~(6)
значения~$k$ следует менять от~$1$ до~$n$ при $c>0$ и от~$n$ до~$1$ при
$c<0$.

\begin{center}
{\bf 4.~Вычисление собственных векторов}
\end{center}

Для того чтобы вычислить собственные векторы матрицы (1), необходимо для
каждого ее собственного значения~$\zl_k$ найти ненулевое решение однородной
линейной системы $\(A_n-\zl_k\,E\)\bx^{(k)}=0$. Если для~$\zl_k$ выбрать
представление~(6), то эта система эквивалентна системе линейных уравнений
$$
c\,x_{j-1}^{(k)}+2c\cos\dfrac{\pi k}{n+1}\,x_{j}^{(k)}+c\,x_{j+1}^{(k)}=0,
\quad j=1,2,\ldots,n,
$$
где $x_0^{(k)}=0$ и $x_{n+1}^{(k)}=0$. После сокращения на $c$, будем ее
рассматривать как разностную краевую задачу. Легко проверить, что
$q_{1,2}=-\(\cos\dfrac{\pi k}{n+1}\,\pm\,\bi\sin\dfrac{\pi k}{n+1}\)$
являются корнями характеристического уравнения. Тогда общее решение этой
разностной задачи представляется в виде
$x_{j}^{(k)}=(-1)^jC_1\cos\dfrac{j\pi k}{n+1}+
(-1)^jC_2\sin\dfrac{j\pi k}{n+1}$.
Из первого краевого условия следует, что $C_1=0$. Отсюда заключаем, что
$$
x_{j}^{(k)}=(-1)^jC_2\sin\dfrac{j\pi k}{n+1},\quad j=1,2,\ldots,n,
\quad k=1,2,\ldots,n
\eqno(10)
$$
являются компонентами собственного вектора, соответствующего собственному
значению~$\zl_k$ (заметим, что второе краевое условие удовлетворяется при
любом~$C_2$). В качестве одного из возможных способов нормировки собственных
векторов можно взять в~(10) условие $C_2=1$.

Пронормируем теперь полученные собственные векторы так, чтобы первая
компонента каждого вектора равнялась~$1$. Тогда из~(10) следует, что для
$k=1,2,\ldots,n$
$$
\begin{array}{l}
x_{1}^{(k)}=1, \vspace{1 ex}\\
x_{j}^{(k)}=(-1)^{j+1}\dfrac{\sin\dfrac{j\pi k}{n+1}}
{\sin\dfrac{\pi k}{n+1}},\quad j=2,3,\ldots,n.
\end{array}
\eqno(11)
$$
Заметим, что формула (11) определяет собственные векторы $\bx^{(k)}$,
упорядоченные таким образом, что они соответствуют собственным
значениям~$\zl_k$, расположенным в порядке возрастания.

И наконец, получим из (10) систему нормированных собственных векторов
(евклидова норма каждого такого вектора равна~1). Это означает,
надо подобрать константу~$C_2$ из условия
$$
C_2^2\(\sin^2\dfrac{\pi k}{n+1}+\sin^2\dfrac{2\pi k}{n+1}+\cdots+
\sin^2\dfrac{n\pi k}{n+1}\)=
C_2^2\dsu_{j=1}^n\sin^2\dfrac{j\pi k}{n+1}=1.
$$
Выразив каждое слагаемое через косинус двойного аргумента
$\sin^2\dfrac{j\pi k}{n+1}=\dfrac 12\(1-\cos\dfrac{2j\pi k}{n+1}\)$, перепишем
это условие нормировки в виде
$$
C_2^2\(\dfrac n2-\dfrac 12\,\dsu_{j=1}^n\cos\dfrac{2j\pi k}{n+1}\)=1.
$$
Покажем, что последняя сумма равна $-1$.

Действительно, положив для упрощения
выкладок $\za=\dfrac{2\pi k}{n+1}$, представим ее в форме
$$
\dsu_{j=1}^n\cos\dfrac{2j\pi k}{n+1}=
\dsu_{j=1}^n\cos\(\dfrac{2\pi k}{n+1}+\(j-1\)\dfrac{2\pi k}{n+1}\)=
\dsu_{j=1}^n\cos\(\za+(j-1)\,\za\).
$$
Применяя затем последовательно формулу
$2\sin b\cos a=\sin\(a+b\)-\sin\(a-b\)$, получим совокупность равенств
$$
\begin{array}{l}
2\sin\dfrac{\za}2\cos\za=\sin\(\za+\dfrac 12\,\za\)-\sin\(\za-\dfrac 12\,\za\),
\vspace{1 ex}\\
2\sin\dfrac{\za}2\cos\(\za+\za\)=
\sin\(\za+\dfrac 32\,\za\)-\sin\(\za+\dfrac 12\,\za\),
\vspace{1 ex}\\
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots
\vspace{1 ex}\\
2\sin\dfrac{\za}2\cos\(\za+\(n-2\)\za\)=
\sin\(\za+\dfrac{2n-3}2\,\za\)-\sin\(\za+\dfrac{2n-5}2\,\za\),
\vspace{1 ex}\\
2\sin\dfrac{\za}2\cos\(\za+\(n-1\)\za\)=
\sin\(\za+\dfrac{2n-1}2\,\za\)-\sin\(\za+\dfrac{2n-3}2\,\za\).
\end{array}
$$
Сложив почленно эти равенства, получим
$$
\begin{array}{rcl}
2\sin\dfrac{\za}2\dsu_{j=1}^n\cos\(\za+(j-1)\,\za\)&=&
\sin\(\za+\dfrac{2n-1}2\,\za\)-\sin\(\za-\dfrac 12\,\za\)=
\sin\(\(n+1\)\za-\dfrac{\za}2\)-\sin\(\dfrac{\za}2\)=\vspace{1 ex}\\
&=&\sin\(2\pi k-\dfrac{\pi k}{n+1}\)-\sin\(\dfrac{\pi k}{n+1}\)=
-2\sin\dfrac{\za}2,
\end{array}
$$
откуда
$$
\dsu_{j=1}^n\cos\dfrac{2j\pi k}{n+1}=-1.
$$
Следовательно, условие нормировки примет вид
$$
C_2^2\(\dfrac n2-\dfrac 12\,\dsu_{j=1}^n\cos\dfrac{2j\pi k}{n+1}\)=
C_2^2\(\dfrac n2+\dfrac 12\)=C_2^2\,\dfrac{n+1}2=1,
$$
поэтому для всех $k=1,2,\ldots,n$ (т.е. для любого собственного вектора) имеем
$$
C_2=\sqrt{\dfrac 2{n+1}}.
$$

Таким образом, систему нормированных собственных векторов матрицы (1)
образуют векторы
$$
x_{j}^{(k)}=\sqrt{\dfrac 2{n+1}}\,
{\sin\dfrac{j\pi k}{n+1}},
\quad j=1,2,\ldots,n,\quad k=1,2,\ldots,n.
$$
Заметим, что эти векторы являются столбцами ортогональной матрицы.
Следовательно, матрица~(1) хорошо обусловлена по отношению к проблеме
собственных значений. Это подтверждает известный факт, что всякая
симметричная матрица обладает таким свойством.

\begin{center}
{\bf 5.~Пример}
\end{center}

В качестве примера возьмем матрицы
$$
\begin{array}{l}
A_n^{(1)}=\(\matrix{ 2 & -1 & {} & {} \cr
-1 & 2 & -1 & {} \cr
{} &\ddots & \ddots & \ddots \cr} \),\quad
A_n^{(2)}=\(\matrix{ 2 & 1 & {} & {} \cr
1 & 2 & 1 & {} \cr
{} &\ddots & \ddots & \ddots \cr} \),\vspace{1 ex}\\
A_n^{(3)}=\(\matrix{ -2 & 1 & {} & {} \cr
1 & -2 & 1 & {} \cr
{} &\ddots & \ddots & \ddots \cr} \),\quad
A_n^{(4)}=\(\matrix{ -2 & -1 & {} & {} \cr
-1 & -2 & -1 & {} \cr
{} &\ddots & \ddots & \ddots \cr} \)
\end{array}
$$
и вычислим их характеристики, рассмотренные выше для матриц вида (1).

1) Для вычисления определителей используем формулу (2):
$$
\begin{array}{l}
\zdet\(A_n^{(1)}\)=\zdet\(A_n^{(2)}\)=1+n, \vspace{1 ex}\\
\zdet\(A_n^{(3)}\)=\zdet\(A_n^{(4)}\)=(-1)^n\(1+n\).
\end{array}
$$
Отсюда видно, что матрицы $A_n^{(1)}$, $A_n^{(2)}$ и $A_n^{(3)}$, $A_n^{(4)}$
являются положительно и отрицательно определенными соответственно.

2) Перед вычислением обратных матриц заметим, что корни характеристических
уравнений, соответствующих матрицам~$A_n^{(1)}$ и~$A_n^{(2)}$, имеют вид
$$
q_{1,2}^{(1)}=1 \quad {\rm и}\quad q_{1,2}^{(2)}=-1.
$$
Тогда из формулы (4) следует, что столбцы обратных матриц
${A_n^{(1)}}^{-1}$ и~${A_n^{(2)}}^{-1}$ определяются соответственно
выражениями ($j=1,2,\ldots,n$, $k=1,2,\ldots,n$)
$$
\begin{array}{rcl}
x_k^{(j)}=\dfrac{\(n+1-j\)k}{n+1},\quad&
x_k^{(j)}=(-1)^{k-j+2}\,\dfrac{\(n+1-j\)k}{n+1},\quad& k\le j,
\vspace{1 ex}\\
x_k^{(j)}=\dfrac{\(n+1-k\)j}{n+1},\quad&
x_k^{(j)}=(-1)^{k-j+2}\,\dfrac{\(n+1-k\)j}{n+1},\quad& k\ge j.
\end{array}
$$

Приведем вид обратных матриц ${A_n^{(1)}}^{-1}$ и~${A_n^{(2)}}^{-1}$ для
$n=2,3,4,5$.
\par\noindent Случай $n=2$:
$$
{A_n^{(1)}}^{-1}=\dfrac 13\(\matrix{2&1\cr1&2\cr}\),\quad
{A_n^{(2)}}^{-1}=\dfrac 13\(\matrix{{~\;}2&-1\cr-1&{~\;}2\cr}\).
$$
\par\noindent Случай $n=3$:
$$
{A_n^{(1)}}^{-1}=\dfrac 14\(\matrix{3&2&1\cr2&4&2\cr1&2&3\cr}\),\quad
{A_n^{(2)}}^{-1}=
\dfrac 14\(\matrix{{~\;}3&-2&{~\;}1\cr-2&{~\;}4&-2\cr{~\;}1&-2&{~\;}3\cr}\).
$$
\par\noindent Случай $n=4$:
$$
{A_n^{(1)}}^{-1}=\dfrac 15\(\matrix{4&3&2&1\cr3&6&4&2\cr2&4&6&3\cr
1&2&3&4\cr}\),\quad
{A_n^{(2)}}^{-1}=
\dfrac 15\(\matrix{{~\;}4&-3&{~\;}2&-1\cr-3&{~\;}6&-4&{~\;}2\cr
{~\;}2&-4&{~\;}6&-3\cr-1&{~\;}2&-3&{~\;}4\cr}\).
$$
\par\noindent Случай $n=5$:
$$
{A_n^{(1)}}^{-1}=\dfrac 16\(\matrix{5&4&3&2&1\cr4&8&6&4&2\cr3&6&9&6&3\cr
2&4&6&8&4\cr1&2&3&4&5\cr}\),\quad
{A_n^{(2)}}^{-1}=
\dfrac 16\(\matrix{{~\;}5&-4&{~\;}3&-2&{~\;}1\cr
-4&{~\;}8&-6&{~\;}4&-2\cr{~\;}3&-6&{~\;}9&-6&{~\;}3\cr
-2&{~\;}4&-6&{~\;}8&-4\cr{~\;}1&-2&{~\;}3&-4&{~\;}5\cr}\).
$$
Заметим, что
$$
{A_n^{(3)}}^{-1}=-{A_n^{(1)}}^{-1}\quad {\rm и}\quad
{A_n^{(4)}}^{-1}=-{A_n^{(2)}}^{-1}.
$$

Получим теперь числа обусловленности указанных матриц по $\infty$-норме.
Для этого достаточно вычислить только $\zcond_\infty{A_n^{(1)}}$, поскольку
числа обусловленности этих матриц совпадают.

Преобразуем сумму элементов $j$-го столбца матрицы ${A_n^{(1)}}^{-1}$
следующим образом:
$$
\begin{array}{l}
\dsu_{k=1}^j\dfrac{\(n+1-j\)k}{n+1}+\dsu_{k=j+1}^n\dfrac{\(n+1-k\)j}{n+1}=
\dfrac 1{n+1}\biggl(\(n+1-j\)\dsu_{k=1}^jk+j\,\dsu_{k=j+1}^n\(n+1-k\)\biggr)=
\vspace{1 ex}\\
\qquad =\dfrac 1{n+1}\(\(n+1-j\)\dfrac{j\(j+1\)}2+j\(n+1\)\(n-j\)-
j\,\dfrac{\(n-j\)(j+1+n)}2\)=\dfrac{j\(n+1-j\)}2.
\end{array}
$$
Из этой записи заключаем, что максимум суммы достигается при
$j=\dfrac n2$ или $j=\dfrac n2+1$, если~$n$ четно, и при
$j=\dfrac{n+1}2$, если~$n$ нечетно. Следовательно,
$$
\norm{{A_n^{(1)}}^{-1}}_\infty=\cases{
\dfrac{n\(n+2\)}8,&~если~$n$~четно,\vspace{1 ex}\cr
\dfrac{(n+1)^2}8,&~если~$n$~нечетно.\cr}
$$
Поскольку $\norm{{A_n^{(1)}}}_\infty=4$, то получаем, что
$$
\zcond_\infty A_n^{(1)}=\cases{
\dfrac{n\(n+2\)}2,&~если~$n$~четно,\vspace{1 ex}\cr
\dfrac{(n+1)^2}2,&~если~$n$~нечетно.\cr}
$$

3) Обратимся теперь к вычислению собственных значений. Из (7) и (9)
следует, что спектры матриц~$A_n^{(1)}$ и~$A_n^{(2)}$ образуют совпадающие
множества
$$
\left\{4\sin^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}\(n+1-k\),~~k=n,n-1,\ldots,1\right\}\quad
{\rm и}\quad \left\{4\sin^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}\,k,~~k=1,2,\ldots,n\right\},
$$
а матриц~$A_n^{(3)}$ и~$A_n^{(4)}$~--- также совпадающие множества
$$
\left\{-4\sin^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}\(n+1-k\),~~k=n,n-1,\ldots,1\right\}\quad
{\rm и}\quad \left\{-4\sin^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}\,k,~~k=1,2,\ldots,n\right\}.
$$
Отсюда видно, что спектральные числа обусловленности этих матриц совпадают.
Поэтому ограничимся случаем оценивания $\zcond_2 A_n^{(2)}$ как наиболее
простым для анализа:
$$
\zcond_2 A_n^{(2)}=\dfrac{\max\limits_k\zl_k}{\min\limits_k\zl_k}=
\dfrac{4\sin^2\dfrac{\pi n}{2(n+1)}}{4\sin^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}}\sim
\dfrac 1{\(\dfrac{\pi}{2(n+1)}\)^2}\sim\dfrac 4{\pi^2}\,n^2.
$$

Выпишем спектры матриц $A_n^{(1)}$ и~$A_n^{(2)}$ для некоторых значений $n$
(спектры матриц~$A_n^{(3)}$ и~$A_n^{(4)}$ расположены симметрично им
относительно нуля):
$$
\begin{array}{l}\dsize
n=2:~~\{1,\,3\},\quad
n=3:~~\left\{2-\sqrt{2},\,2,\,2+\sqrt{2}\right\},\vspace{1 ex}\\\dsize
n=4:~~\left\{\dfrac{3-\sqrt{5}}2,\,\dfrac{5-\sqrt{5}}2,\,\dfrac{3+\sqrt{5}}2,
\,\dfrac{5+\sqrt{5}}2\right\},\quad\dsize
n=5:~~\left\{2-\sqrt{3},\,1,\,2,\,3,\,2+\sqrt{3}\right\}.
\end{array}
$$

4) Теперь выпишем собственные векторы матриц $A_n^{(1)}$ и~$A_n^{(2)}$,
полученные по формуле~(11) для $n=2,3,4,5$.
\par\noindent Случай $n=2$:
$$
\zl_1=1:~~\{1,\,-1\},\quad \zl_2=3:~~\{1,\,1\}.
$$
\par\noindent Случай $n=3$:
$$
\zl_1=2-\sqrt{2}:~~\left\{1,\,-\sqrt{2},1\right\},\quad
\zl_2=2:~~\{1,\,0,\,-1\},\quad
\zl_3=2+\sqrt{2}:~~\left\{1,\,\sqrt{2},\,1\right\}.
$$
\par\noindent Случай $n=4$:
$$
\begin{array}{ll}
\zl_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}2:~~\left\{1,-\dfrac{1+\sqrt{5}}2,
\dfrac{1+\sqrt{5}}2,-1\right\},&~~
\zl_2=\dfrac{5-\sqrt{5}}2:~~\left\{1,-\dfrac{1-\sqrt{5}}2,
-\dfrac{1-\sqrt{5}}2,1\right\},
\vspace{1 ex}\\
\zl_3=\dfrac{3+\sqrt{5}}2:~~\left\{1,\dfrac{1-\sqrt{5}}2,
-\dfrac{1-\sqrt{5}}2,-1\right\},&~~
\zl_4=\dfrac{5+\sqrt{5}}2:~~\left\{1,\dfrac{1+\sqrt{5}}2,
\dfrac{1+\sqrt{5}}2,1\right\}.
\end{array}
$$
\par\noindent Случай $n=5$:
$$
\begin{array}{ll}\dsize
\zl_1=2-\sqrt{3}:~~\left\{1,-\sqrt{3},\,2,-\sqrt{3},\,1\right\},&~~
\zl_2=1:~~\{1,\,-1,\,0,\,1,\,-1\}, \vspace{1 ex}\\\dsize
\zl_3=2:~~\{1,\,0,\,-1,\,0,\,1\},
&~~\zl_4=3:~~\{1,\,1,\,0,\,-1,\,-1\}, \vspace{1 ex}\\\dsize
\zl_5=2+\sqrt{3}:~~\left\{1,\,\sqrt{3},\,2,\,\sqrt{3},\,1\right\}.&{}
\end{array}
$$

Собственные векторы матриц $A_n^{(3)}$ и~$A_n^{(4)}$, нормированнные
по формуле~(11), совпадают с указанными с точностью до знака.

\begin{center}
\bf Литература
\end{center}

\begin{description}

\item{1.}\hspace*{0.7 em}Воеводин~В.В., Кузнецов~Ю.А. Матрицы и
вычисления. М.: Наука, 1984.
\item{2.}\hspace*{0.7 em}Бахвалов~Н.С., Жидков~Н.П., Кобельков~Г.М.
Численные методы. М.: Наука, 1987.

\end{description}
\end{document}