БЧА НИВЦ МГУ. ZF31R_P. Решение системы уравнений общего вида

Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://num-anal.srcc.msu.ru/lib_na/cat/zf_htm_p/zf31r_p.htm
Дата изменения: Wed Nov 25 10:48:00 2015
Дата индексирования: Sun Apr 10 03:41:21 2016
Кодировка: Windows-1251

Текст подпрограммы и версий
zf31r_p.zip zf31e_p.zip

Тексты тестовых примеров
tzf31r_p.zip tzf31e_p.zip

Подпрограмма: ZF31R (модуль ZF31R_p)

Назначение

Решение системы N нелинейных уравнений с N неизвестными методом Ньютона.

Математическое описание

Пусть дана система N нелинейных уравнений с N неизвестными.

             f_i ( x₁, x₂, ..., x_N )  =  0 ,   i = 1, 2, ..., N

Для решения заданной системы подпрограмма ZF31R на k - м шаге итерационного процесса Ньютона вычисляет решение следующей линейной системы методом Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу:

                   _N
                   ∑  α_{i j} δx_j^{( k )}  =  β_i ,
                  ^{j =1}

где α_i j = ∂f_i /∂x_j - якобиан системы, и β_i = - f_i, а затем вычисляет (k + 1) - е приближение к вектору решения на основе ранее найденного k - го приближения:

            x_i^k+1  =  x_i^(k) + δx_i^(k) ,   i = 1, 2, ..., N

Итерационный процесс по k повторяется до тех пор, пока не будет выполнен один из двух критериев сходимости:

                    _N
(1)               ∑   | δx_i^(k) |  ≤  EPSX
                  ^{i =1}
                    _N
(2)               ∑   | f_i ( x₁^(k+1), x₂^(k+1), ..., x_N^(k+1))  | ≤  EPSF
                  ^{i =1}

Если же ни одно из этих двух условий не выполнено за ITMAX итераций, то ZF31R прекращает свою работу и выдает диагностическое сообщение.

Н.С.Бахвалов. Численные методы. Изд - во "Наука", 1979.

Использование

procedure ZF31R(FUN :Proc_F3A; var ROOT :Array of Real; N :Integer;
                EPSX :Real; EPSF :Real; ITMAX :Integer;
                var ALPHA :Array of Real; var BETA :Array of Real;
                var NLEAD :Array of Integer; var IERR :Integer);

   Параметры

FUN -

имя подпрограммы вычисления f_i (x₁, x₂, ..., x_N) и
∂f_i /∂x_j_{ǀ (x₁, x₂,
..., x_N)} , i=1,2,...,N, j=1,2,...,N; оформляется в виде подпрограммы с тремя формальными параметрами:

X -	вещественный вектор длины N, содержащий текущее приближение к решению исходной системы;
ALPHA -	двумерный вещественный вектор размеров N на N , в который помещаются значения элементов Якобиана системы в точке X, т.е. ∂f_i /∂x_j_{ǀ (x₁, x₂, ..., x_N)} ;
BETA -	вещественный вектор длины N, в который помещаются значения - f_i ( x₁, x₂, ..., x_N );

ROOT -	вещественный вектор длины N, содержащий вычисленное решение системы; перед началом работы подпрограммы вектор ROOT должен содержать начальное приближение к решению;
N -	заданное число уравнений системы (тип: целый);
EPSX -	первый критерий сходимости (1) (тип: вещественный);
EPSF -	второй критерий сходимости (2) (тип: вещественный);
ITMAX -	целая переменная, значение которой перед началом работы подпрограммы должно быть положено равным максимальному числу итераций, ориентировочно требуемых для обеспечения сходимости в соответствии с заданными критериями;
ALPHA -	двумерный вещественный массив размеров N на N, используемый в качестве рабочего;
BETA -	вещественный вектор длины N, используемый в качестве рабочего;
NLEAD -	целый вектор длины N, используемый в качестве рабочего;
IERR -	целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженный в ходе работы подпрограммы; при этом:

IERR=65 -	когда решение системы не может быть найдено в пределах заданного числа итераций;
IERR=66 -	когда якобиан заданной системы имеет особенность.

   Версии

ZF31E -

решение системы N нелинейных уравнений с N неизвестными методом Ньютона в режиме расширенной (Extended) точности; при этом параметры ROOT, EPSX, EPSF, ALPHA, BETA и формальные параметры подпрограммы FUN должны иметь тип Extended.

   Вызываемые подпрограммы

ASG9R - ASG9E	решение системы Ax = b или A^Tx = b методом Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу; используются в подпрограммах ZF31R и ZF31E соответственно;
UTZF10 - UTZF11	подпрограммы выдачи диагностических сообщений при работе подпрограмм ZF31R и ZF31E соответственно.

   Замечания по использованию

В подпрограммах ZF31R и ZF31E имеется глобальная запись (структура данных) _ZF31RR с элементом elm1, который полагается равным количеству итераций, выполненных при решении системы.

Пример использования

Unit TZF31R_p;
interface
uses
SysUtils, Math, LStruct, Lfunc, UtRes_p, FZF31R_p, ZF31R_p;

function TZF31R: String; 

implementation

function TZF31R: String;
var
N,ITMAX,_i,IERR :Integer;
EPSX,EPSF :Real;
ALРНА :Array [0..8] of Real;
ВЕТА :Array [0..2] of Real;
NLEAD :Array [0..2] of Integer;
const
RООТ :Array [0..2] of Real = ( 1.0,1.0,1.0 );
begin
Result := '';
N := 3;
EPSX := 1.E-5;
EPSF := 1.E-5;
IТМАХ := 30;
ZF31R(FZF31R,ROOT,N,EPSX,EPSF,ITMAX,ALPHA,BETA,NLEAD,IERR);
Result := Result + #$0D#$0A;
for _i:=0 to 2 do
 begin
  Result := Result + Format('%15.6f ',[ROOT[_i]]);
  if ( ((_i+1) mod 3)=0 )
   then Result := Result + #$0D#$0A;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%5d %5d ',[_ZF31RR.elm1,IERR]) + #$0D#$0A;
UtRes('TZF31R',Result);  //вывод результатов в файл TZF31R.res
exit;
end;

end.

Unit FZF31R_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
LStruct, Lfunc;

procedure FZF31R(X :Array of Real; var ALPHA :Array of Real;
                 var BETA :Array of Real);

implementation

procedure FZF31R(X :Array of Real; var ALPHA :Array of Real;
                var BETA :Array of Real);
begin
BETA[0] := -(X[0]+Exp(X[0]-1)+IntPower(X[1]+X[2],2)-27);
BETA[1] := -(X[0]*Exp(X[1]-2)+IntPower(X[2],2)-10);
BETA[2] := -(X[2]+Sin(X[1]-2)+IntPower(X[1],2)-7);
ALPHA[0] := 1+Exp(X[0]-1);
ALPHA[3] := 2*(X[1]+X[2]);
ALPHA[6] := 2*(X[1]+X[2]);
ALPHA[1] := Exp(X[1]-2);
ALPHA[4] := X[0]*Exp(X[1]-2);
ALPHA[7] := 2*X[2];
ALPHA[2] := 0.0;
ALPHA[5] := Cos(X[1]-2)+2*X[1];
ALPHA[8] := 1.0;
end;

end.

 Результаты:  ROOT  =  ( 1.0, 2.0, 3.0 ) 
                       ITER  =  7 ,     IERR  =  0