Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://num-anal.srcc.msu.ru/lib_na/cat/ag_htm_p/agh4r_p.htm
Дата изменения: Fri Oct 30 11:16:46 2015
Дата индексирования: Sun Apr 10 04:04:10 2016
Кодировка: Windows-1251
БЧА НИВЦ МГУ. AGH4R_P. Обобщенная проблема собственных значений для симметричных и эрмитовых матриц
Текст подпрограммы и версий
agh4r_p.zip  agh8r_p.zip  		Тексты тестовых примеров
tagh4r_p.zip  tagh8r_p.zip 

Подпрограмма:  AGH4R (модуль AGH4R_p) (версия AGH8R)

Назначение

Вычисление всех собственных значений и собственных вектоpов в обобщенной проблеме ABX = λx или BAX = λx для вещественных симметричных матриц A и B.

Математическое описание

Подпрограмма AGH4R реализует алгоритм вычисления всех собственных значений и собственных вектоpов уравнения вида АВx = λx, где A и B - вещественные симметричные матрицы, причем матрица B положительно определена.

При помощи разложения Холецкого для матрицы B:  B = LLT исходное уравнение ABx = λx приводится к стандартному виду Qy = λy,  где Q = LTAL,  y = LTx. Стандартная задача решается путем приведения симметрической матрицы Q к трехдиагональному виду и вычисления собственных значений λ и собственных вектоpов  у  QL - алгоритмом со сдвигом.

Восстановление собственных вектоpов  x  исходного уравнения АВx = λx из соответствующих вектоpов  у  стандартной задачи осуществляется посредством решения уравнения LTx = y, при этом собственные векторы  x  удовлетворяют условию xTBx = E,  где E - единичная матрица.

Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра, M., "Машиностроение", 1976.

Использование 

procedure AGH4R(var A :Array of Real; var B :Array of Real;
                var V :Array of Real; var EV :Array of Real;
                var RAB1 :Array of Real; N :Integer;
                var IERR :Integer);


   Параметры
A, B - вещественные двумерные массивы размера N на N, содержащие исходные матрицы;
V - вещественный двумерный массив размера N на N, в столбцах которого содержатся вычисленные собственные векторы, нормированные так, что VTBV = E;
EV - вещественный вектоp длины N, содержащий вычисленные собственные значения, расположенные в возрастающем порядке;
RAB - вещественный вектоp длины 2 на N, используемый как рабочий;
N - порядок исходных матриц (тип: целый);
IERR - целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженных в ходе работы подпрограммы; при этом значение IERR:
 

- pавно 7*N+1, если исходная матрица B не является положительно определенной. В этом случае факторизация Холецкого матрицы B не осуществляется;

- полагается равным номеpу собственного значения, для вычисления которого потребовалось более 30 итераций, при этом вычислены правильно, но не упорядочены, собственные значения с индексами 1, 2, ..., IERR - 1 и соответствующие собственные векторы. 
   Версии
AGH8R - вычисление всех собственных значений и собственных вектоpов в обобщенной проблеме BAx = λx для вещественных симметричных матриц A и B. 
   Вызываемые подпрограммы
UTAG10 - подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы AGH4R и AGH8R. 
   Замечания по использованию
 

Исходные матрицы A и B можно задавать в одноименных массивах лишь верхними треугольниками.

Подпрограммы AGH4R и AGH8R сохраняют строгий верхний треугольник массива A и полный верхний треугольник массива B (остальные компоненты массивов A и B используются как рабочие).

Программа AGH8R нормирует собственные векторы  x  таким образом, что xTB - 1x = E.

Пример использования 

Unit TAGH4R_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc, UtRes_p, AGH4R_p;

function TAGH4R: String;

implementation

function TAGH4R: String;
var
J,I,N,IERR :Integer;
EV :Array [0..4] of Real;
V :Array [0..24] of Real;
RAB1 :Array [0..9] of Real;
const
A :Array [0..24] of Real = ( 10.0,0.0,0.0,0.0,0.0,2.0,12.0,0.0,0.0,0.0,3.0,
1.0,11.0,0.0,0.0,1.0,2.0,1.0,9.0,0.0,1.0,1.0,-1.0,
1.0,15.0 );
B :Array [0..24] of Real = ( 12.0,0.0,0.0,0.0,0.0,1.0,14.0,0.0,0.0,0.0,-1.0,
1.0,16.0,0.0,0.0,2.0,-1.0,-1.0,12.0,0.0,1.0,1.0,
1.0,-1.0,11.0 );
begin
Result := '';  { результат функции }
Result := Result + Format('%s',
 [' ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ BEKTOPOB' + #$0D#$0A +
 ' YРАВНЕНИЯ BИДA:ABX=LAMBDA*X, ГДЕ A И B -  BEЩECTBEHHЫE' + #$0D#$0A +
 ' СИММЕТРИЧЕСКИЕ MATPИЦЫ']) + #$0D#$0A; 
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' A' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 5 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' B' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 5 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[B[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
N := 5;
AGH4R(A,B,V,EV,RAB1,N,IERR);
Result := Result + Format('%s',[' PEЗУЛЬTAT']) + #$0D#$0A; 
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' A' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 5 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' B' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 5 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[B[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' EV' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  Result := Result + Format('%20.16f ',[EV[I-1]]) + #$0D#$0A;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' V' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 5 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[V[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' IERR' + #$0D#$0A]);
Result := Result + Format('%8d ',[IERR]) + #$0D#$0A;
UtRes('TAGH4R',Result);  { вывод результатов в файл TAGH4R.res }
exit;
end;

end.

Результаты:

Собственные значения:

                 |  77.6971911949  |
                 | 112.1541932470 |
      EV  =  | 134.6864633192 |
                 | 167.4848789147 |
                 | 242.9772733171 |

Собственные векторы:

                | -0.2349114135 |                   |  0.1288556917  |
                |  0.0410915167 |                    | -0.1193865988 |
      V1  =  |  0.0383075946 |    ,    V2  =  | -0.0282771880 |    , 
                 |  0.2059003675 |                   |  0.1923580004 |
                 |  0.0734707966 |                   | -0.0097623271 |

                 | -0.0042355205  |                  | -0.0183136812 |
                 |  0.1812063856  |                   |  0.0266749519 |
      V3  =  | -0.1210383985  |   ,    V4  =  | -0.1834456078 |    , 
                |  0.06091827579 |                  | -0.0051904405 |
                | -0.1690213925  |                   |  0.2218442867 |

                 |  0.1249195279 |
                 |  0.1535463561 |
      V5  =  |  0.1145245145 |    , 
                 |  0.0657938487 |
                 |  0.1010161054 |

      IERR  =  0