Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://num-anal.srcc.msu.ru/lib_na/cat/ag/agh4r.htm
Дата изменения: Wed Oct 1 16:43:00 2014
Дата индексирования: Sun Apr 10 01:15:22 2016
Кодировка: Windows-1251
БЧА НИВЦ МГУ. AGH4R. Обобщенная проблема собственных значений для симметричных и эрмитовых матриц
Текст подпрограммы и версий ( Фортран )
agh4r.zip  agh8r.zip  		Тексты тестовых примеров ( Фортран )
tagh4r.zip  tagh8r.zip 
Текст подпрограммы и версий ( Си )
agh4r_c.zip  agh8r_c.zip  		Тексты тестовых примеров ( Си )
tagh4r_c.zip  tagh8r_c.zip 
Текст подпрограммы и версий ( Паскаль )
agh4r_p.zip  agh8r_p.zip  		Тексты тестовых примеров ( Паскаль )
tagh4r_p.zip  tagh8r_p.zip 

Подпрограмма:  AGH4R (версия AGH8R)

Назначение

Вычисление всех собственных значений и собственных вектоpов в обобщенной проблеме ABx = λx или BAx = λx для вещественных симметричных матриц A и B.

Математическое описание

Подпрограмма AGH4R реализует алгоритм вычисления всех собственных значений и собственных вектоpов уравнения вида АВx = λx, где A и B - вещественные симметричные матрицы, причем матрица B положительно определена.

При помощи разложения Холецкого для матрицы B:  B = LLT исходное уравнение ABx = λx приводится к стандартному виду Qy = λy,  где Q = LTAL,  y = LTx. Стандартная задача решается путем приведения симметрической матрицы Q к трехдиагональному виду и вычисления собственных значений λ и собственных вектоpов  у  QL - алгоритмом со сдвигом.

Восстановление собственных вектоpов  x  исходного уравнения АВx = λx из соответствующих вектоpов  у  стандартной задачи осуществляется посредством решения уравнения LTx = y, при этом собственные векторы  x  удовлетворяют условию xTBx = E,  где E - единичная матрица.

Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра, M., "Машиностроение", 1976.

Использование 

    SUBROUTINE  AGH4R (A, B, V, EV, RAB, N, IERR) 
   Параметры
A, B - вещественные двумерные массивы размера N на N, содержащие исходные матрицы;
V - вещественный двумерный массив размера N на N, в столбцах которого содержатся вычисленные собственные векторы, нормированные так, что VTBV = E;
EV - вещественный вектоp длины N, содержащий вычисленные собственные значения, расположенные в возрастающем порядке;
RAB - вещественный вектоp длины 2 на N, используемый как рабочий;
N - порядок исходных матриц (тип: целый);
IERR - целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженных в ходе работы подпрограммы; при этом значение IERR:
 

- pавно 7*N+1, если исходная матрица B не является положительно определенной. В этом случае факторизация Холецкого матрицы B не осуществляется;

- полагается равным номеpу собственного значения, для вычисления которого потребовалось более 30 итераций, при этом вычислены правильно, но не упорядочены, собственные значения с индексами 1, 2, ..., IERR - 1 и соответствующие собственные векторы. 
   Версии
AGH8R - вычисление всех собственных значений и собственных вектоpов в обобщенной проблеме BAx = λx для вещественных симметричных матриц A и B. 
   Вызываемые подпрограммы
UTAG10 - подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы AGH4R и AGH8R. 
   Замечания по использованию
 

Исходные матрицы A и B можно задавать в одноименных массивах лишь верхними треугольниками.

Подпрограммы AGH4R и AGH8R сохраняют строгий верхний треугольник массива A и полный верхний треугольник массива B (остальные компоненты массивов A и B используются как рабочие).

Программа AGH8R нормирует собственные векторы  x  таким образом, что xTB - 1x = E.

Пример использования 

         DIMENSION  A(5, 5), B(5, 5), V(5, 5), EV(5), RAB(10)
         DATA  A /10., 4*0., 2., 12., 3*0., 3., 1., 11., 2*0., 1., 2., 1., 9., 
        *                0., 2*1., -1., 1., 15./
         DATA  B /12., 4*0., 1., 14., 3*0., -1., 1., 16., 2*0., 2., 2*-1., 
        *                12., 0., 3*1., -1., 11./
         N = 5
         CALL  AGH4R (A, B, V, EV, RAB, N, IERR)

Результаты:

Собственные значения:

                 |  77.6971911949  |
                 | 112.1541932470 |
      EV  =  | 134.6864633192 |
                 | 167.4848789147 |
                 | 242.9772733171 |

Собственные векторы:

                | -0.2349114135 |                   |  0.1288556917  |
                |  0.0410915167 |                    | -0.1193865988 |
      V1  =  |  0.0383075946 |    ,    V2  =  | -0.0282771880 |    , 
                 |  0.2059003675 |                   |  0.1923580004 |
                 |  0.0734707966 |                   | -0.0097623271 |

                 | -0.0042355205  |                  | -0.0183136812 |
                 |  0.1812063856  |                   |  0.0266749519 |
      V3  =  | -0.1210383985  |   ,    V4  =  | -0.1834456078 |    , 
                |  0.06091827579 |                  | -0.0051904405 |
                | -0.1690213925  |                   |  0.2218442867 |

                 |  0.1249195279 |
                 |  0.1535463561 |
      V5  =  |  0.1145245145 |    , 
                 |  0.0657938487 |
                 |  0.1010161054 |

      IERR  =  0