6.1 Цвет и его появление в физике частиц

    Гипотеза цвета явилась началом создания современной теории сильных взаимодействий- квантовой хромодинамики. Мы познакомимся вначале с опытными фактами, которые натолкнули физиков на идею существования глюонов - квантов цветного поля.

1) Проблема статистики для uuu, ddd, sss состояний c J^P = 3/2⁺

    Как известно, фермионы подчиняются статистике Ферми-Дирака, вследствие чего полная волновая функция, описывающая систему с полуцелым спином, должна быть антисимметрична. Но кварки, образующие в кварковой модели резонансы Δ⁺⁺ = (uuu), Δ^- = (ddd), и частицу Ω^- = (sss), должны находиться в симметричном S-состоянии, что запрещено принципом Паули. Можно отказаться от статистики Ферми для кварков, ввести "парастатистику", и т.д. Но можно попытаться остаться при прежних фундаментальных воззрениях и принципах и формально спасти положение, придумав новое по отношению к пространству-времени и изотопическому ( или унитарному ) пространству так называемое цветное пространство. Поскольку qqq надо антисимметризовать, а простейший тензор под руками - абсолютно антисимметричный тензор 3-го ранга ε_abc, который, как мы уже знаем, преобразуется по единичному представлению группы SU(3), то свертка ε_abcq^aq^bq^c будет скаляром SU(3) по вновь введенному квантовому числу "цвет" (здесь a, b, c = 1,2,3 - цветные индексы, не имеющие никакого отношения к унитарным индексам в предыдущих формулах для барионов). Таким образом, и статистика спасена, и не появилось никому (почти никому) не нужного нового отличного от нуля квантового числа "цвет" (типа новой странности и нового изоспина) для обычных барионов, которого вовсе не требуют экспериментальные данные. Зато кварки стали цветные, их число утроилось. Ну и бог с ними, все равно они не наблюдаемы.

2) Проблема с временем жизни π⁰-мезона

    Мы уже отмечали, что простая модель распада π⁰-мезона, основанная на фейнмановской диаграмме с нуклонной петлей, дает, как ни странно, хорошее согласие с экспериментом. При этом в вероятность распада масса нуклонов петли входит в знаменатель в квадрате. По этой причине переход к модели конституентных кварков (переход от m_N = 0.940 ГэВ к m_u = 0.300 ГэВ) уменьшает ее примерно в 10 раз. Другими словами, результат кварковой модели резко расходится с опытными данными. Как спасти ситуацию? Утроить число кварковых диаграмм посредством введения цвета!! Действительно, поскольку 3² = 9, то ситуация спасена.

3) Проблема с сечением рождения адронов в e⁺e^--аннигиляции

    Рассмотрим отношение сечения рождения адронов в e⁺e^- аннигиляции к хорошо известному сечению рождения мюонов в e⁺e^--аннигиляции:

Как можно видеть из диаграмм Фейнмана в низшем порядке теории возмущений по константе ,

соответствующие процессы в пренебрежении процессом "адронизации" кварков описываются одинаковыми диаграммами. Различие заключается в разных зарядах электронов (позитронов) и кварков. В простой кварковой модели с точечными кварками отношение R дается просто суммой квадратов зарядов кварков, т.е., для интервала энергий электрон-позитронных колец вплоть до 2-3 ГэВ R = (2/3)² + (-1/3)² + (-1/3)² = 2/3. Однако, эксперимент дает в этом интервале энергий цифру примерно возле 2.0. Как понятно, многое можно списать на плохо понятный процесс "адронизации" кварков (все-таки измеряются в конце адроны, а не кварки!). Но опять-таки простейшим решением является утроение числа кварков, тогда как раз и получится нужная цифра: 3 x 2/3 = 2.
    Итак, введение трех цветов может одновременно снять несколько важных и даже принципиальных противоречий в физике частиц.
    Но динамическая теория возникает только тогда, когда появляется квант поля (глюон), передающий цвет от одного кварка к другому, и этот квант так или иначе воздействует на измерительные приборы.( Иначе все останется на уровне более или менее удачной классификации, как, например, случилось с изотопическим спином и гиперзарядом. На сегодняшний день им нельзя сопоставить квантов поля.)
    Полагают, что динамические теории тесным образом связаны с локальной градиентной инвариантностью лагранжиана, описывающего поля и их взаимодействия, относительно вполне определенных групп преобразований.

6.2 Глюон как калибровочное поле

    Подобно рассмотренным случаям с фотоном и ρ-мезоном, напишем лагранжиан для свободных полей трехцветных кварков q^a, где кварк q^a, a = 1,2,3 есть 3-спинор группы SU(3)_C в цветном пространстве:

Этот лагранжиан инвариантен относительно глобального калибровочного преобразования

q^'a(x) = q^b(x),

где ^k, k = 1,...8 - знакомые матрицы Гелл-Манна, но в цветном пространстве. Потребуем теперь инвариантности лагранжиана относительно подобного, но локального калибровочного преобразования, когда ^k является функцией x:

q^'a(x) = q^b(x),

или

q^'(x) = U(x)q(x),  U(x) = .

Но, как и в предыдущих двух случаях, L₀ неинвариантен относительно подобного локального калибровочного преобразования:

Для того, чтобы убрать член, нарушающий калибровочную инвариантность, введем безмассовое векторное поле , k = 1,...8, с калибровочным преобразованием

^k = U^kU - (1/g)U.

Взаимодействие этого поля с кварками зададим лагранжианом

L = g_a(x)(_k)q^b(x),

которому поставим в соответствие фейнмановские диаграммы вида

Запишем окончательное выражение для лагранжиана, инвариантного относительно локальных калибровочных преобразований неабелевой группы SU(3)_C в пространстве цвета:

где F, k=1,2,...8, - тензор свободного глюонного поля, преобразующийся при локальных калибровочных преобразованиях как

Оно ковариантно относительно калибровочных преобразований . Подробнее выпишем тензор свободного глюонного поля , [_i,_j] = 2i^ijk_k,    i,j,k = 1,2,...8 ):

или

и убедимся, что это выражение ковариантным образом преобразуется при калибровочном преобразовании над полем G:

Окончательно

    Особенностью неабелевого векторного поля, как мы это уже видели на примере -мезонного поля, является тот факт, что оно оказывается самодействующим, т.е., в лагранжиане  в члене присутствуют члены не только билинейные по полю G, как это происходит в случае (абелева) электромагнитного поля, но и члены 3- и 4- линейные по глюонному полю и , которым отвечают диаграммы. Соответствующие фейнмановские диаграммы имеют вид:

    Это обстоятельство оказывается решающим при построении неабелевой теории сильных взаимодействий- квантовой хромодинамики.
    Эти выражения в сущности составляют основу квантовой хромодинамики. Мы не будем здесь обсуждать вопросы, связанные с КХД, ограничившись несколькими примерами применения понятия цвета к наблюдаемым процессам.

6.3 Простые примеры проверки гипотезы о цветных кварках

    Введя цвет, мы получили возможность предсказывать отношения многих каналов распада, и тем самым убедиться в справедливости гипотезы о существовании цвета.
    Для примера рассмотрим каналы распада открытого почти сразу после J/ψ-частицы τ-лептона с массой примерно 1800 МэВ (эксп. (1777.1 +0.4-0,5)МэВ). Принимая в качестве рабочей гипотезы кварковую модель и считая кварки точечными (поскольку фундаментальными на уровне лептонов), получаем, что τ-лептон распадается с излучением тау-нейтрино либо на лептоны (два канала, с излучением пары электрон-электронное антинейтрино и пары мюон-мюонное антинейтрино), либо на кварки (с-кварк слишком массивен, вклад s-кварка подавлен углом Кабиббо, остается пара ud-кварков).

    Отсюда сразу следует, что в отсутствие цвета имеем два лептонных канала и один кварковый, и парциальная ширина распада по адронному каналу B_h должна составить 1/3 от полной ширины, а при наличии цвета имеем два лептонных канала и три кварковых, и тогда B_h ~ 3/5. Или, что то же, определенный лептонный канал распада составит примерно 33 процента в отсутствие цвета и 20 процентов при его наличии. Эксперимент дает

τ^-μ^- + _μ + ν_τ (17.37+0.09)% и
τ^-e^- + _e + ν_τ (17.81+0.07)%,

подтверждая гипотезу трех цветов.
    W-бозон распадается уже по трем лептонным каналам и двум кварковым,

это означает, что в отсутствие цвета доля его адронного канала распада B_h составила бы 40%, а при наличие цвета - 66%. Эксперимент дает B_h ~ (67.8+1.5)%, еще раз подтверждая гипотезу о трехцветных кварках.
    Z-бозон распадается уже по 6 лептонным каналам и 5 кварковым,

Это означает, что в отсутствие цвета адронные каналы распада должны составить примерно  45%, а при наличии трех цветов - примерно 71% . Эксперимент дает (69.90 + 0.15)%. Эти примеры показывают, что цветные степени свободы существуют.