3.3 Ро-мезон как калибровочное поле

    В 1954 году Янг и Миллс решили попробовать получить ρ-мезон также в качестве калибровочного поля. ρ-мезоны были тогда только что открыты, и представлялось, что они могут оказаться искомыми квантами сильного взаимодействия. Подобно рассмотренному случаю с фотоном, напишем лагранжиан для свободного нуклонного поля, где нуклон есть спинор группы изотопических преобразований SU(2) с компонентами +1/2 (протон) и -1/2 (нейтрон):

Этот лагранжиан инвариантен относительно глобального калибровочного преобразования в изотопическом пространстве

_N(x) = _N(x),

где = (1, 2, 3) - три произвольные вещественные фазы. Потребуем теперь инвариантности лагранжиана относительно подобного, но локального калибровочного преобразования в изотопическом пространстве, когда является функцией x:

Но, как и в предыдущем случае, L₀ неинвариантен относительно подобного локального калибровочного преобразования:

Для того, чтобы убрать член, нарушающий калибровочную инвариантность, введем изотриплет векторных полей с калибровочным преобразованием

где U = . Взаимодействие этого изовекторного поля с нуклоном зададим лагранжианом

_N(x)_N(x),

где - константа связи или константа взаимодействия нуклонов с -мезонами. Массу этого поля мы ввести не можем, поскольку очевидным образом массовый член в лагранжиане неинвариантен относительно выбранного калибровочного преобразования для поля . Запишем окончательное выражение для лагранжиана, инвариантного относительно локальных калибровочных преобразований неабелевой группы SU(2)

где - свободное безмассовое ρ-мезонное поле. Оно инвариантно относительно калибровочных преобразований U'U = . Подробнее выпишем тензор свободного ρ-мезонного поля
= _k,  ([_i, _j] = 2i^ijk_k, i, j, k = 1, 2, 3):

или

= ( - ) - [, ]

и убедимся, что это выражение ковариантным образом преобразуется при калибровочным преобразовании над полем ρ:

Окончательно

    Важно отметить здесь особенность неабелева векторного поля - оно оказывается самодействующим, т.е. в лагранжиане в члене (-1/4)||²   появляются члены не только билинейные по полю ρ, как это получалось в случае (абелева) электромагнитного поля, но и члены 3- и 4- линейные по полю ρ вида ρ_ν ρ_μ ∂_νρ_μ  и .
    Этот формализм был обобщен на SU(3)_f, где был построен лагранжиан, описывающий барионы октета. Требование локальной калибровочной инвариантности относительно группы ароматов SU(3)_f приводит к появлению октета безмассовых векторных мезонов с квантовыми числами знакомого нам октета мезонов 1^-.
    К сожалению, на этом пути не удалось построить теории сильных взаимодействий с векторными мезонами в качестве квантов сильного поля. Но был создан формализм, позволивший решить эту задачу уже не в пространстве ароматов с группой калибровочной симметрии SU(3)_f, а в пространстве цветов с группой калибровочной симметрии SU(3)_C, где квантами поля оказались безмассовые векторные бозоны, несущие цвет - глюоны.