1.2 Группы и алгебры. Основные понятия

    Определение группы

Пусть задано множество элементов G  g₁, g₂, ... , g_n , обладающих следующими свойствами:

1. Определен закон умножения элементов g_i g_j  =  g_k, причем если g_i, g_j G, то g_i g_j = g_k G, 
   i, j, l = 1, 2, ..., n.
2. Выполняется закон ассоциативности g_i (g_j g_k) = (g_i g_j) g_k.
3. Существует единичный элемент e, eg_i = g_i, i = 1, 2, ... , n.
4. Существует обратный элемент  g _i^-1, g _i^-1g_i = e,  i = 1, 2, ... , n.

Тогда на множестве G задана группа элементов g₁, g₂, ... , g_n

    В качестве простого примера рассмотрим вращение на плоскости. Зададим множество Ф всех поворотов на углы φ

1. Закон умножения в данном случае - это сложение углов: φ₁ + φ₂ = φ₃ Ф.
2. Закон ассоциативности запишется как (φ₁ + φ₂) + φ₃ = φ₁ + (φ₂ + φ₃).
3. Единичный элемент в данном случае - поворот на угол 0 ( +2πn ).
4. Обратный элемент в данном случае -поворот на угол - φ(+2πn).

Итак, вращения вокруг оси, перпендикулярной выбранной плоскости, образуют группу.
    Рассмотрим поворот координатных осей  x, y, z, задающих декартову систему координат в 3-мерном пространстве, на угол θ₃ в плоскости x y вокруг оси z:

Пусть ε - бесконечно малый поворот. Разложим матрицу поворота R₃(ε) в ряд Тэйлора и ограничимся членами, линейными по ε:

где использовано, что R₃(0) суть единичная матрица, и введена матрица

которую назовем генератором поворота вокруг 3-ей оси (оси z). Выберем ε = η₃/n, тогда поворот на угол η₃ получится n-кратным применением оператора R₃(ε) , и в пределе

Рассмотрим повороты вокруг оси у:

где, соответственно, введен генератор поворота вокруг оси  у:

и вокруг оси x:

где введен генератор поворота вокруг оси x:

Теперь в трехмерном пространстве можно уже записать поворот декартовой 3-мерной системы координат на произвольные конечные углы, например, как

Обычно, однако, вращение в 3-мерном пространстве задают несколько иначе, а именно, посредством углов Эйлера

Генераторы A_l  l = 1, 2, 3,   удовлетворяют коммутационным соотношениям

где  ε_ijk - абсолютно антисимметричный тензор 3-го ранга. Отметим,что матрицы A_l  l = 1, 2, 3, антисимметричны, тогда как матрицы R_k-ортогональны, т.е. , где значок  T означает транспонирование. Повороты могут быть полностью заданы посредством генераторов A_l   l = 1, 2, 3, другими словами, группа 3-мерных вращений (как, впрочем, и любая непрерывная группа Ли с точностью до дискретных преобразований) вполне характеризуется заданием алгебры , т.е. заданием генераторов A_l ,   l = 1, 2, 3, их линейных комбинаций и коммутационных соотношений.

    Определение  алгебры

L - алгебра Ли над полем вещественных чисел K, если:
(i) L -линейное пространство над К (для x L определено умножение  на числа из К),
(ii) для x,y L определен коммутатор  [x, y], также принадлежащий L, причем [x, y] обладает свойствами:
[x, y] = [x, y], [x, y] = [x, y] при K и [x₁ + x₂, y] = [x₁, y] + [x₂, y],
[x, y₁ + y₂] = [x, y₁] + [x, y₂]   для всех x, y L;
[x, x] = 0  для всех x, y L;
[[x, y] z] + [[y, z] x] + [[z, x] y] = 0 (тождество Якоби).