1.4 Унитарная унимодулярная группа SU(2)

    Итак, познакомившись с группой 3-мерных вращений, в которой размерность минимального нетривиального (отличного от 1) представления равна 3, рассмотрим более сложную группу, в которой есть представление размерности 2. Для этого зададим совокупность 2 x 2 унитарных   унимодулярных матриц U, т.е., U⁺U = 1, det U = 1.   Такая матрица U может быть выражена в виде

_k, k = 1, 2, 3 - эрмитовы матрицы, , которые мы выбираем в виде матриц Паули

а a_k, k = 1, 2, 3 - произвольные вещественные числа. Эти матрицы образуют группу с обычным законом умножения матриц и реализуют присоединенное или тождественное представление размерности 2, натянутом на два базисных вектора.
    Замечательно, что матрицы Паули подчиняются тем же коммутационным соотношениям, что и генераторы группы вращений O(3). Попытаемся связать поэтому эти матрицы с обычным 3-мерным вектором  . Для этого каждому вектору сопоставим величину

Детерминант т.е. определяет квадрат длины вектора. Взяв совокупность унитарных унимодулярных матриц U , U⁺U = 1, detU = 1 в 2-мерном пространстве, определим

X' = U⁺XU, 

причем Мы делаем вывод, что преобразования U оставляют инвариантной длину вектора и, стало быть, соответствуют вращениям в 3-мерном пространстве, причем +U соответствуют одному и тому же вращению. Соответствующая алгебра SU(2) задается эрмитовыми матрицами  σ_k, k = 1, 2, 3, с коммутационными соотношениями

[σ_i,σ_j] = 2iε_ijkσ_k,

а U = .
И также как в группе вращений O(3) представление низшей  размерности 3 задается тремя независимыми базисными векторами,  например, x, y, z, в SU(2)  2 - мерное представление задается двумя независимыми спинорами, которые можно выбрать как

Прямое произведение двух спиноров и можно разложить в прямую сумму двух неприводимых представлений (НП) просто симметризуя и антисимметризуя произведение:

Симметричный тензор 2-го ранга имеет размерностиn и для n=2 , что видно из матричного представления:

и мы учли, что T^{21} = T^{12}.

    Антисимметричный тензор 2-го ранга имеет размерность и для n = 2 , что видно из его матричного представления

и мы учли , что T^[21] = T^[12], T^[11] = T^[22] = 0. В соответствии с этим абсолютно антисимметричный тензор 2-го ранга (₁₂ = -₂₁ = 1) преобразуется также как синглет группы SU(2), и мы можем использовать его при необходимости для редукции индексов SU(2), не изменяя размерности представления. Этот тензор может служить для "поднятия" и "опускания" индексов в SU(2).

так как Det U = 1. (Аналогично для ₂₁.)