Основные соотношения релятивистской физики

Преобразование Лоренца.
Математическую основу теории относительности составляют преобразования Лоренца координат x, y, z и времени t, при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой инерциальной системе. Если система (x',y',z') движется со скоростью v относительно неподвижной системы (x,y,z) вдоль оси z, то координаты (x,y,z) и время t неподвижной и подвижной систем (x',y',z', t') связаны соотношением

x' = x,
y' = y,
z' = γ(z - vt),
t' = γ(t - βz/c),

(1)

где = v/c, γ = 1/(1 - β²)^1/2.
Для полной энергии E и импульса p преобразования Лоренца имеют вид

E = (E' + vp'),
p_x = p'_x,
p_y = p'_y,
p_z = (p'_z+ vE'/c²).

(2)

Энергия и импульс частицы.

Полная энергия и импульс частицы определяются соотношениями

E = mc²γ,	(3)
p = γmv = vE/c².

Полная энергия и импульс частицы зависят от системы отсчетаю. Масса не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Она является лоренцевым инвариантом. Полная энергия импульс и масса связаны соотношением

E² - p²c² = m²c⁴,

(4)

где E, р и m - полная энергия, импульс и масса частицы, с - скорость света в вакууме. Из соотношения (3) и (4) следует, что если энергия E и импульс p измеряются в двух различных системах движущихся друг относительно друга со скоростью v, то энергия и импульс будут иметь в этих системах различные значения. Однако величина E² - p²c², которая называется релятивистский инвариант, будет в этих системах одинаковой.
Полная и кинетическая энергия связаны между собой соотношением

Е = T + Е₀ = Т + mc², Т = Е - mc²,

(5)

где T - кинетическая энергия частицы, Е₀ - энергия покоя частицы.
Из (4) и (5) можно получить соотношение связывающее импульс p и кинетическую энергию T частицы

p = (T² + 2Tmc²)^1/2/c.

(6)

Можно выделить два предельных случая
1. Ультрарелятивистский. Кинетическая энергия частицы много больше ее энергии покоя

T >> mc²

p = T/c или T = cp.

(7а)

2. Классический. Кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя

T << mc²

p = (2Tm)^1/2 или T = p²/2m.

(7б)

Время жизни частицы.
Время жизни частицы в лабораторной системе τ связано с временем жизни частицы в системе покоя частицы τ₀ соотношением

= ₀.

(8)

Замедление течения времени наблюдается в процессах распада нестабильных частиц, движущихся с релятивистскими скоростями. Используя соотношение (5) можно записать полную энергию частицы в виде

E = T + mc² = mc²/(1 - ²)^1/2 = γmc²

(7)

и формулу (8) преобразовать к виду

τ = τ₀(E/mc²) = τ₀(T + mc²)/mc².

(9)

Задачи

14.08.14