Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://nuclphys.sinp.msu.ru/fdiag/zadachi_qft_4-06.ps Дата изменения: Mon Feb 12 14:11:51 2007 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:23:17 2012 Кодировка: Windows-1251

.
Осенний семестр 2006-2007 учебного года
ЗАДАЧИ К ЛЕКЦИЯМ
спецкурса кафедры физики элементарных частиц
физического факультета МГУ
"Диаграммы Фейнмана"
к.ф.-м.н. Никитин Николай Викторович (НИИЯФ МГУ)
1

Квантовая теория поля  наука "ручная", а не "ушная". То есть ни одни даже самые
лучшие лекции прочитанные самыми искуссными преподавателями, не заменят вычислений,
которые должен самостоятельно проделать каждый студент. Набить руку в самостоятельных
вычислениях помогают задачи.
Данные задачи предназначены для решения студентами, которые слушают семестровый
курс "Диаграммы Фейнмана" на кафедре физики элементарных частиц физического фа-
культета МГУ. Небольшая часть задач подробно разбирается в ходе лекций, для большего
числа в лекциях дается только идея вычислений. Задачи, помеченные знаком "#", для своего
решения требуют знаний, превышающих средний уровень. Для допуска к зачету требуется
правильно решить более половины задач, не помеченных знаком "#".
В электронном виде задачи, прозрачки и программу курса можно найти на сайте кафедры
общей ядерной физики физфака МГУ: http://nuclphys.npi.msu.su/fdiag/ . В осеннем семестре
сайт регулярно обновляется.
Обо всех замеченных неточностях и опечатках просьба сообщать автору по телефону
(495) 9328972 или по электронной почте nik679@monet.npi.msu.su. В заголовке письма
необходимо ставить "QFT4", чтобы данное письмо можно было отличить от спама.
2

Задачи к Лекции N1
Задача N1 Найти явное выражение для матрицы лоренцовского преобразования # ч
# (#v), если
система отсчета A # движется относительно системы A со скоростью #v = (v 1 , v 2 , v 3 ).
Задача N2 Какой вид имеет метрический тензор g ч# в nмерном евклидовом простран-
стве?
Задача N3 При помощи явного вида матрицы лоренцовского преобразования # ч
# (#v) (см.
Задачу N1) показать, что скалярное произведение двух 4-векторов является лоренцовским
инвариантом.
Задача N4 Показать, что для произвольного 4вектора A ч выполняется равенство
# A ч /#A # = g ч# .
Задача N5 Пусть x ч и p # - два 4-вектора. Найти # ч e # i(px) и # ч # ч e # i(px) .
Задача N6 Получить выражение для свертки # ч### # #### .
Задача N7 В системе # = c = 1 проверить следующие пересчетные коэффициенты:
1 ГэВ # 1, 78 Ч 10 -24 гр # 1, 6 Ч 10 -10 Дж,
1 ГэВ -1 # 6, 58 Ч 10 -25 сек # 1, 97 Ч 10 -14 см.
Задача N8 # В системе # = c = 1 найти численные значения констант, характеризующих
электромагнитное, слабое и гравитационное взаимодействия. Что можно сказать об иерархии
этих констант? Отвечает ли она силе перечисленных выше взаимодействий в микромире?
Задача N9 # Масса переносчиков сильного взаимодействия  глюонов  равна нулю, в то
время как радиус сильных взаимодействий порядка 1 Фм. Не противоречит ли это "реляти-
визированному" соотношению неопределеннойстей #x#E # 1?
Задачи к Лекции N2
Задача N10 Вывести уравнения Лагранжа для движения классической частицы в потен-
циальном поле.
Задача N11 # Найти величину классического действия для движения частицы из точки
A в точку B в потенциале гармонического осциллятора.
3

Задача N12 Проверить, что в теории поля два лагранжиана, отличающиеся между собой
на 4-дивергенцию некоторого 4-вектора (т.е. на величину # ч V ч (x)), приводят к одинаковым
уравнениям Лагранжа.
Задача N13 # Получить уравнения Лагранжа для лагранжиана вида L(# i (x), # # # # # i (x))
при условии, что на трехмерной поверхности # 3 вариации ## i (x) = 0 и # # # # i (x) = 0.
Задача N14 Зная явный вид тензора напряженности электромагнитного поля F ч# (x)
получить явный вид F ч# (x).
Задача N15 Вычислить свертки F ч# F ч# и # ч### F ч# F ## в терминах напряженностей элек-
трического и магнитного полей.
Задачи к Лекции N3
Задача N16 # Получить выражение для тензора энергии-импульса T ч
# свободного электро-
магнитного поля в произвольной калибровке.
Задача N17 # Найти решение уравнений Максвелла для свободного электромагнитного
поля в кулоновской div #
A = 0 и аксиальной (#n, #
A) = 0 калибровках, где div  обычная дивер-
генция в трехмерном пространстве, а #n  фиксированный единичный вектор в трехмерном
пространстве.
Задача N18 Найти явные выражения для напряженностей электрического #
E и магнит-
ного #
H полей через коэффициенты c # k #
и c + # k #
.
Задача N19 В лекциях энергия и импульс свободного электромагнитного поля были
найдены как компоненты тензора энергииимпульса. Однако возможен иной путь. Из общего
курса физики известно, что энергия в единице объема для свободного электромагнитного
поля имеет вид ( #
E 2 + #
H 2 )/2, а импульс поля в единице объема (вектор Пойнтинга) равен
#
EЧ #
H. Используя результат Задачи N18, получить выражения для энергии и импульса поля
в терминах коэффициентов c # k #
и c +
# k #
.
Задачи к Лекции N4
Задача N20 Явными вычислениями показать, что:
D ч#
+ = g ч# # i
(2#) 2 x 2 #
1
4#
#(x 2 )sign(x 0 ). #
4

Задача N21 Доказать, что пропагатор D ч#
c электромагнитного поля является функцией
Грина уравнения Даламберта, то есть для него выполняется равенство
#D ч#
c (x) = -g ч# # 4 (x),
где # = # ч # ч  даламбертиан.
Задачи к Лекции N5
Задача N22 Привести примеры истинно нейтральных адронов, отличных от # 0 мезона.
Встречаются ли среди них барионы?
Задача N23 Показать, что для матриц Паули # i выполняются следующие соотношения:
Sp # # i # j # k
# = 2 i # ijk ,
Sp # # i # j # k # l
# = 2 # # ij # kl
- # ik # jl + # il # jk
# ,
# i # j # k = i# ijk ' 1 + # ij # k
- # ik # j + # jk # i ,
где # ijk абсолютно антисимметричный псевдотензор третьего ранга для которого # 123 = +1,
# ij символ Кронеккера, латинские индексы {i, j, k, l} = {1, 2, 3}.
Задача N24 # Предполагая, что движение электрона в атоме водорода можно описать
при помощи уравнения КлейнаГордонаФока с кулоновским взаимодействием, получить
выражение для тонкой структуры спектра. Совпадает ли полученная формула с экспери-
ментальными данными?
Задача N25 Найти унитарные матрицы переходов от стандартного к спинорному пред-
ставлению и от спирального к спинорному представлению.
Задача N26 Предполагая, что движение электрона в атоме водорода можно описать
при помощи уравнения Дирака с кулоновским взаимодействием, получить выражение для
тонкой структуры спектра. В чем отличие полученной формулы от результата Задачи N24?
Задача N27 # Найти явный вид u(#p, #) в спиральном и спинорном представлениях.
Задачи к Лекции N6
Задача N28 Показать, что
# 5 =
i
4!
# ч### # ч # # # # # # ,
5

Sp # # 5 # ч # # # # # #
# = 4i # ч### ,
# ч # # # 5 = g ч# # 5
-
i
2
# ч### # # # # ,
# ч # # # # = # g ч# g ##
- g ч# g ## + g ч# g ##
# # # - i# ч### # # # 5 ,
# 5 # ч# = -
i
2
# ч### # ## ,
# ч# # ч# = 12I,
# ч # # # # # # # ч = - 2 # # # # # # ,
O ч # # O ч = -4O # ,
O ч
# #
# #
O ч = 0,
O ч # # # # # # O ч = - 4 # # # # O # ,
где O ч = # ч (1 - # 5 ), # ч###  абсолютно антисимметричный псевдотензор четвертого ранга,
такой что # 0123 = -1 и # ч# = i/2 [# ч , # # ].
Задачи к Лекциям N7N10
Задача N29 Доказать, что в стандартном представлении оператор зарядового сопряжения
C обладает следующими свойствами:
C + = C T = C -1 = -C, C # = C.
Задача N30 Найти явный вид оператора зарядового сопряжения в спиральном и спи-
норном представлениях.
Задача N31 # Найти явный вид v(#p, #) в спиральном и спинорном представлениях.
Задача N32 Показать, что для свободной частицы релятивистский оператор трехмер-
ного спина #
O коммутирует с гамильтонианом H, то есть # #
O, H # = 0.
Задача N33 # Изменится ли оператор #
O, если в представлении ФолдиВутхайзена в ка-
честве спинового оператора выбрать не оператор #
S = - 1
2 # 5 ## (как в лекциях), а оператор
#
S = - 1
2 # 0 # 5 ##? Каков явный вид обоих операторов в стандартном представлении?
Задача N34 В стандартном представлении для фермионов и антифермионов найти соб-
ственные функции проекционного оператора # #n #
O # , отвечающие спиральностям # = + 1.
Задача N35 Используя результат Задачи N34, показать, что:
#-# (-#n) = i # # (#n);
6

# # (#n) = -i (#n##) # -# (#n);
# # (#n) = (-#) #-# (#n).
Задача N36 # Для суммирования по спинам фермионов получить соотношение:
#
#=+ 1
u(#p, #)u(#p, #) = # ч p ч + Im.
Задача N37 Показать, что в отсутствии внешнего поля из уравнения (i# ч # ч - Im)# c (x) =
0 следует урвнение i# ч

#(x)# ч + 
#(x)m = 0.
Задача N38 Показать, что тензор энергииимпульса свободного дираковского поля име-
ет вид
T ч
# (x) = 
#(x) i# ч # # #(x).
Задача N39 Вычислить импульс и заряд свободного дираковского поля в терминах про-
изведений a + # p, # a # p, # и b # p, # b + # p, #
.
Задача N40 Получить интегральное представление для функции
S- (x - x # ) = - #0 # # 
# (+) (x # )# (-) (x) # # 0#
в виде:
S- (x) = - i (i# ч # ч + Im) # d#p
(2#) 3
e ipx
2# p
.
Задача N41 Показать, что
e -i#p |t|
2# p
= i # +#
-#
d p 0
2#
e -ip 0 t
p 2
- m 2 + i#
.
Указание: вспомнить, что # 2
p = |#p| 2 + m 2 и провести вычисления интеграла при помощи
теории вычетов аналогично тому, как это было сделано для электромагнитного поля.
Задача N42 # Показать, что локальные калибровочные преобразования в КЭД допускают
существование паулевского взаимодействия вида
L int
P auli (x) = -ч 
#(x)# ч# #(x)F ч# (x)
наравне с взаимодействием 
#(x)# ч #(x)A ч (x).
Задача N43 # Почему не имеет никакого физического смысла калибровочное преобразо-
вание электромагнитного поля вида '
A ч (x) = A ч (x) e i#(x) ?
Задача N44 # Найти явняй вид операторов пространственной четности P и обращения
времени T для спирального и спинорного представлений.
7

Задача N45 # Прямыми вычислениями показать, что C  четность электромагнитного
тока отрицательна.
Задача N46 В стандартном представлении прямым вычислением показать, что лагран-
жиан КЭД инвариантен относительно CP , PT , CT и CPTпреобразований.
Задачи к Лекции N11
Задача N47 # Показать, что для заряженной частицы с 4импульсом p ч в поле плоской
электромагнитной волны с волновым вектором k ч и 4потенциалом A ч (#) (где # = (kx))
классическое действие записывается в виде:
S = - (px) - # #
0
d '
# # e (A( '
#)p)
(kp) -
e 2 A 2 ( '
#)
2(kp)
# .
Задача N48 Пусть # # p, # (x, A ч (#)) и # # p, # (x, A ч (#))  решения Волкова уравнения Дира-
ка в стандартном представлении для частицы и античастицы соответственно. Найти явные
выражения для 
# # p, # (x, A ч (#)) и 
# # p, # (x, A ч (#)).
Задача N49 Записать решения Волкова для частицы и античастицы в случае, если 4
потенциал электромагнитного поля имеет вид A ч (#) = a ч cos(#) и подчиняется условию
Лоренца.
Задача N50 # Показать, что среднее по времени значение обобщенного импульса для
решения Волкова с 4потенциалом A ч (#) = a ч cos(#) равно:
q ч = p ч
-
e 2 a 2
4 (kp)
k ч .
Задача N51 # Найти точное решение уравнения Дирака в постоянном однородном маг-
нитном поле, направленном вдоль оси z.
Указание: для решения задачи потенциал электромагнитного поля удобно выбрать в виде
A ч = (0, -Hy/2, Hx/2, 0) и использовать стандартное представление матриц Дирака.
Задачи к Лекциям N12N14
Задача N52 # Доказать операторную формулу:
e '
A '
Be - '
A = '
B +
1
1! # '
A, '
B # +
1
2! # '
A, # '
A, '
B ## + ...
8

Задача N53 Показать, что если '
A (S) и '
A (H)  операторы одной и тойже наблюдаемой
в представлении Шредингера и представлении Гейзенберга соответственно, то собственные
значения обоих операторов совпадают. Как этот факт можно объяснить с физической, а не с
математической точки зрения? Верно ли утверждение задачи не только для представления
Гейзенберга, но и для представления взаимодействия?
Задача N54 # Доказать, что комутационные соотношения в шредингеровском и гейзен-
берговском представлениях имеют один и тотже вид. Изменится ли вид комутаторов в пред-
ставлении взаимодействия?
Задача N55 # Какое преобразование осуществляет переход от представления Гейзенберга
к представлению взаимодействия? Можно ли исходя из вида такого преобразования заклю-
чить, что '
V (I) = '
V (H) ?
Задача N56 Получить уравнения движения для оператора '
A (I) некоторой физической
величины в представлении взаимодействия.
Задача N57 Из первых принципов получить выражения для
амплитуды# f # # S (1)
# # i # в
случае нефизических процессов # e - # e - и e + e - # #. Какой множитель в амплитуде
отвечает за невозможность данных процессов?
Задача N58 Из первых принципов получить выражения для
амплитуды# f # # S (2)
# # i # в
случае e + e - # ## и e + e - # ч + ч - . Проверить результат, применив правила Фейнмана.
Задачи к Лекции N15
Задача N59 Пусть имеется два 4-импульса, квадраты которых p 2
1 = m 2
1 и p 2
2 = m 2
2 . Показать,
что выполняется следующее неравенство для скалярного произведения этих 4векторов:
p ч
1 p 2ч # m 1 m 2 .
Задача N60 # Пользуясь результатами Задачи N59, найти верхние и нижние границы
для мандельстамовских переменных реакции 2 # 2 в различных каналах. Считать, что все
четыре частицы имеют разные массы.
Задачи к Лекциям N16N20
Задача N61 В терминах мандельстамовских переменных s и u вычислить функцию g(s, u, m 2 )
для комптоновского рассеяния.
9

P.S. Определение функции g(s, u, m 2 ) дано в лекциях на Прозрачке N108.
Задача N62 Найти угловые распределения электронов и фотонов для эффекта Комптона
в системе центра масс сталкивающихся частиц и в системе покоя начального электрона.
Задача N63 # Найти выражения для полного сечения эффекта Комптона в ультрареля-
тивистском и нерелятивистском случаях.
Задача N64 Не пренебрегая массами электрона и мюона вычислить сечение реакции
e - ч - # e - ч - .
Задача N65 В "скалярной КЭД" найти # + # + #  вершину.
Задача N66 # В рамках "скалярной КЭД" вычислить дифференциальное сечение про-
цесса e + e - # # + # - .
Задача N67 # В "скалярной КЭД" написать правило Фейнмана для ####  вершины.
Задача N68 Показать, что релятивистские инварианты
# ч### p 1 # # ч### # p # #
2
и
# ч### p 1 # p 2 # # ч## # # # p # #
1 p # #
2
выражаются через q 2 = (p 1 - p 2 ) 2 и M 2 = p 2
1 = p 2
2 .
Задача N69 # Для пиона электромагнитный формфактор в координатном представлении
хорошо апроксимируется функцией вида
F # (r 2 ) = # e -# r ,
где # и #  некоторые действительные числа. Учтя, что #r 2
# # = (0, 44 + 0, 02) фм 2 , найти
F # (q 2 ).
Задача N70 # Показать, что амплитуда излучения мягкого фотона факторизуется, если
в начальном и конечном состоянии находятся не фермионы (как в лекции), а бесструктурные
точечные пионы "скалярной КЭД".
Задача N71 # Записать глобальные и локальные калибровочные преобразования в "ска-
лярной КЭД". Показать, что из глобальных калибровочных преобразования следуют законы
сохранения электромагнитного тока и электрического заряда.
10

Задачи к Лекциям N21N24
Задача N72 # Показать, что дифференцирование за счет "длинной производной" D ч (x) =
# ч - ig s t a B a
ч (x) в КХД не меняет свойств биспинора q i (x) относительно локальных калибро-
вочных преобразований, то есть
D ч # e i t a # a (x) q i (x) # = e i t a # a (x) D ч q i (x).
Задача N73 # Исходя только из определения структурных констант группы SU(N) через
коммутатор генераторов группы доказать, что f abc = f cab = - f cba .
Задача N74 # Проверить, что лагранжиан глюонного поля в КХД может быть представ-
лен в виде:
L B (x) = -
1
2
T r (G ч# (x) G ч# (x)) ,
где G ч# (x) = t a G a
ч# (x) и G a
ч# (x)  тензор напряженности глюонного поля.
Задача N75 # Полагая, что компоненты тензора напряженности глюонного поля выража-
ются через напряженности хромоэлектрического и хромомагнитного полей абсолютно анало-
гично тому, как компоненты тензора напряженности электромагнитного поря выражаются
через напряженности электрического и магнитного полей, написать аналог уравнений Макс-
велла в пустоте для хромоэлектрического и хромомагнитного полей.
Задача N76 # Доказать, что
d abk f kcd
- d adk f kbc
- f ack d kdb = 0;
f abk d kcd + f adk d kbc + f ack d kdb = 0;
d abc d cdk + d bdc d ack + d adc d bck =
1
N # # ab # dk + # ad # bk + # ak # bd
# ;
d abk d kcd
- d adk d kbc + f ack f kdb =
2
N # # ad # bc
- # ab # cd
# ;
d akm f blk f cml = -
N
2
d abc ;
d akm d blk f cml = ? f abc ;
d akm d blk d cml = - 1
2
d abc ;
Указание: см. работу Z.Zhang and L.Chang, Nucl.Phys.B291, pp.392-428 (1987).
Задача N77 # Написать лагранжиан и получить правила Фейнмана "скалярной КХД".
Задача N78 # В рамках "скалярной КХД" (то есть предполагая, что верна теория воз-
мущений по константе # s ) найти дифференциальное снчение реакции gg # q s 
q s , где q s 
кварк со спином ноль ("скалярный кварк", аналогичный # +  мезонам в "скалярной КЭД").
11