Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mph.cs.msu.ru/Home/Opus/a26.doc Дата изменения: Tue Apr 6 14:47:26 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:39:42 2012 Кодировка: koi8-r

Математический сборник. 1950, т.26(68), N 1


А.Н. Тихонов

О краевых условиях, содержащих производные порядка, превышающего
порядок уравнения


Целью настоящей статьи является изучение решений уравнения
теплопроводности
[pic]
удовлетворяющих краевому условию
[pic]
нулевому начальному условию
[pic]
и ограниченных в бесконечности.
Очевидно, что простейшая форма начального условия не ограничивает
общность решения. Мы будем также предполагать, что
[pic]
Если бы [pic], то вместо функции [pic] мы искали бы [pic]
где [pic] - первый номер, для которого [pic].
К постановке подобной задачи приводит ряд физических задач.
В отношении функции [pic] мы будем предполагать кусочную непрерывность
и будем искать решение [pic], непрерывное вместе со своими производными до
m-го порядка всюду в замкнутой области [pic], за исключение тех точек, где
[pic] имеет разрыв, а также точки x=0, t=0, если [pic]. В этих точках мы
будем допускать разрыв старшей производной [pic], предполагая, однако,
ограниченность ее около этих точек.
В § 1-3 дается сведение изучаемой краевой задачи к функциональному
уравнению для функции
[pic]
откуда сразу же следует существование и единственность для рассматриваемой
задачи при произвольных коэффициентах [pic].
Все рассуждения проводятся для четного m , что делается для простоты
рассуждений. Случай нечетного m может быть рассмотрен совершенно
аналогично, если сводить его к функциональному уравнению для функции
[pic].
В § 2 доказывается эквивалентность этого функционального уравнения с
некоторым обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными
коэффициентами, корни характеристического уравнении которого [pic] являются
квадратами корней уравнения
[pic]
называемого нами характеристическим уравнением рассматриваемой краевой
задачи.
В § 4-5 решение преобразовывается к виду
[pic]
где [pic]- постоянные и
[pic]
причем
[pic]
[pic] - корни характеристического уравнения краевой задачи [pic].
В § 6 устанавливается, что функция [pic] получается при решении
простейшей краевой задачи
[pic]( при x= 0 ),
решение которой дается в виде:
[pic]
и
[pic]
Отсюда непосредственно получаем, что решение общей краевой задача дается в
явном виде:
[pic]
В § 7-11 ставится вопрос о предельной устойчивости решений при [pic] а
именно, вопрос о том, будет ли функция [pic]стремиться к конечному пределу,
если
[pic] при [pic]
Будем называть функцию [pic] устойчивой в бесконечности, если она
стремится к конечному пределу при [pic].
Результат исследования может быть формулирован в виде следующей основной
теоремы:
Теорема. Для того чтобы решение рассматриваемой краевой задачи было
устойчиво в бесконечности для всякой функции [pic], стремящейся к конечному
пределу при [pic], необходимо и достаточно, чтобы все корни
характеристического уравнения задачи лежали в области
[pic]
Рассматриваемая задача имеет простой физический смысл [1]. При m= 1 -
это условие теплообмена:
[pic]
где [pic] - температура внешней среды, при этом коэффициент
теплообмена[pic], и решение задачи устойчиво в бесконечности; при
[pic]смысл задачи существенно меняется и решение неустойчиво в
бесконечности. При m= 2 - это условие «сосредоточенной теплоемкости»,
соединенной с концом стержня при х=0. В самом деле, если на конце стержня
при х=0 присоединено тело, обладающее теплоемкостью С и большой
теплопроводностью, так что температура в нем зависит только от времени и
характеризуется функцией
[pic]
то краевое условие можно написать в виде:
[pic]
где [pic] - плотность тепловых источников внутри рассматриваемого тела.
Если на границе емкости и стержня имеется перепад, т. е.
[pic],
то краевое условие будет третьего порядка и т. д. Легко осуществить схемы
для краевого условия любого порядка с помощью ряда «емкостей»», между
которыми имеют место перепады.
Случай, когда[pic], а начальное условие [pic], т. е. задача о
распространении тепла от начального запаса конечной мощности, легко
сводится к предшествующей задаче.
Задача о нахождении функции, определяемой краевым условием с разрывом в
начале координат не у старшей производной, а у производной более низкого
порядка, имеет также ясный физический смысл.


§ 1

Как известно, всякое решение уравнения теплопроводности, непрерывное в
области [pic] обращающееся в нуль при [pic] и ограниченное в бесконечности,
может быть представлено в виде:
[pic]
где
[pic]
и U - фундаментальное решение, равное
[pic]
(см., например, нашу работу [1], стр. 199).
Наша цель - определить такую функцию [pic], чтобы удовлетворялось
поставленное краевое условие.
В силу предположенной непрерывности производных, при х=0 будем иметь:
[pic] (для четного k ) (1)
всюду, за исключением точек разрыва функции [pic], в которых производная
[pic]может претерпевать разрыв, оставаясь ограниченной. В силу нулевого
начального условия и непрерывности производных [pic] , из формулы (1)
получаем:
[pic] (для четного k Для k нечетного при x>0 будем иметь:
[pic]
Произведем в последнем интеграле интеграцию по частям и, пользуясь тем, что

[pic] при [pic] и [pic] для [pic] ,
получим
[pic].
При [pic] будем иметь для [pic]:
[pic]
Пользуясь этим выражением для [pic], мы, в силу непрерывности [pic] при
[pic], находим, что
[pic] ( k - нечетное).
Подставляя полученные значения производных в краевое условие, получим
уравнение:
[pic] (2)
которому должна удовлетворять функция [pic], где [pic] - любое решение
поставленной задачи. Если ввести функцию
[pic],
то полученное уравнение будет обыкновенным интегральным уравнением
Вольтерра второго рода, откуда непосредственно и следует существование и
единственность рассматриваемой задачи. Мы дадим решение полученного
уравнения в явном виде, так как это позволит нам провести исследование
этого решения при [pic].
Это уравнение выписано для четного значения т. В дальнейшем изложение
будет вестись в предположении четности т . В случае нечетного т краевую
задачу надо сводить к функциональному уравнению для функции
[pic] ,
что делается аналогично.

§ 2

Решим полученное уравнение (2) [2].
Рассмотрим операцию, определенную для любой кусочно-непрерывной функции
[pic]:
[pic]
Нетрудно видеть, что
[pic]
С точки зрения полученного соотношения операцию [pic] естественно
обозначить так:
[pic] .
Пользуясь этим обозначением, мы будем иметь:
[pic],
так как [pic] при[pic]. Таким образом, уравнение для определения функции
[pic] можно записать в виде:
[pic] (3)
где
[pic].
Подвергнем правую и левую части этого уравнения операции[pic], результат
снова подвергнем той же операции и т. д. = раз. Выпишем полученные
уравнения, присоединив к ним исходное уравнение (З):
[pic]
Умножим полученные уравнения последовательно на = и сложим. Вводя
обозначение:
[pic],
можно записать результат сложения в виде:
[pic]. (4)
Как нетрудно видеть, левая часть равенства (4) имеет вид:
[pic],
гак как после сложения коэффициенты при «дробных степенях»» уничтожаются;
коэффициенты при «целых степенях» равны:
[pic]
Полученное уравнение
[pic] (5)
является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением порядка m :
[pic]для функции
[pic],
так как [pic]. Начальные условия для функции [pic]имеют вид:
[pic]
В силу единственности решения интегрального уравнения (3) и
единственности решения уравнения (4), заключаем, что решения этих уравнений
совпадают, т. е.
[pic].

Отсюда также следует устойчивость решения по отношению к малым
изменениям коэффициентов, а также по отношению к малым изменениям правой
части.

§ 3

Характеристическое уравнение для линейного дифференциального уравнения
[pic]
имеет вид:
[pic]. (6)
Обозначим через
[pic]
корни уравнения (6). Обозначим, далее, через
[pic]
корни характеристического уравнения нашей краевой задачи:
[pic] ,
и через
[pic]
- корни уравнения
[pic].
Докажем, что при соответствующей нумерации
[pic].
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим уравнение
[pic]
и будем его последовательно умножать на [pic]:
[pic] (7)
Умножим уравнения (7) последовательно на [pic]и сложим их. Как нетрудно
видеть, левая часть полученного равенства имеет вид:
[pic]
или
[pic],
где коэффициенты [pic]имеют прежнее значение.
Таким образом, [pic]- квадраты корней уравнения [pic]- являются
корнями уравнения[pic]. В силу того, что уравнение
[pic]
одного порядка с уравнением
[pic],
заключаем, что при надлежащей нумерации [pic]
Корни [pic]уравнения [pic]с точностью до знака совпадают с корнями
уравнения [pic], откуда и следует, что
[pic].


§ 4

Наша ближайшая задача - написать решение в явном виде.
Решение линейного уравнения
[pic],
удовлетворяющее условиям
[pic]
очевидно, может быть записано в виде:
[pic],
где [pic]- решение однородного уравнения
[pic]
при дополнительных условиях
[pic]
Таким решением является функция
[pic],
где [pic]- определитель Вандермонда m-го порядка, соответствующий числам
[pic]:
[pic],
и [pic]- определитель Вандермонда (m-1)-го порядка:
[pic] ,
так что
[pic].
Интересующая нас функция
[pic].


§ 5

Займемся дальнейшим преобразованием полученного решения. Имеем:
[pic],
при этом
[pic] ( l - четное),
[pic] ( l - нечетное).

Рассмотрим слагаемое типа
[pic]
отдельно для l четного и l нечетного.
Для l четного проинтегрируем [pic]раз по частям и, пользуясь тем, что
[pic],
получим:
[pic] ( l - четное).
Для l нечетного проинтегрируем [pic] раз по частям и, пользуясь
равенствами
[pic],
получим:
[pic] ( l - нечетное).
Введем сокращенное обозначение:
[pic],
совпадающее с обозначением обычной производной при s четном. Тогда мы можем
написать:
[pic]причем знак [pic]показывает, что сумма берется только по нечетным l.
Нетрудно видеть, что первое слагаемое равно нулю, так как фигурная скобка,
стоящая под знаком интеграла, обращается в нуль:
[pic],
в силу того, что при любом i
[pic].
Итак,
[pic]
где
[pic]
причем
[pic],
знак [pic]показывает, что сумма берется только по нечетным значениям s.
Функцию [pic]мы можем записать в виде:
[pic]
в силу того, что добавленные слагаемые в сумме дают
[pic]
так как выражение в фигурных скобках равно нулю при любом нечетном
значении s.
Функция
[pic]
не является однозначной функцией своего аргумента
[pic],
а определена на римановой поверхности [pic], причем значение [pic]берется
на том листе, который соответствует[pic]. Нетрудно проверить
непосредственным дифференцированием, что функция [pic]является производной
функции
[pic]
Таким образом, если [pic], то решение может быть записано в виде:
[pic] .

§ 6

Рассмотрим простейшую задачу, когда краевое условие имеет вид:
[pic].
При[pic], как известно (см. [2]), решение представляется в виде:
[pic] .
При [pic] после преобразования эту функцию можно записать так:
[pic]
Если [pic], то решение имеет вид:
[pic]
и краевое значение этой функции равно
[pic],
где
[pic]
известная нам функция.
Решение краевой задачи
[pic]
приводится к решению предшествующей задачи при помощи замены:
[pic],
так что это решение может быть записано в виде:
[pic]
и соответствующее краевое значение
[pic] .
Отсюда заключаем, что решение уравнения теплопроводности, имеющее
нулевое начальное значение и краевое значение
[pic],
равно
[pic]
где [pic]- написанная выше функция. Очевидно, что это справедливо не только
при действительных, но и при комплексных значениях q.
Возвращаясь к основной задаче, мы сразу же можем написать решение ее,
так как решение уравнения теплопроводности, имеющее нулевое начальное
условие и краевое значение
[pic] ,
равно
[pic]
где [pic] - корни характеристического уравнения краевой задачи.


§ 7

Обратимся теперь к изучению поведения решения нашей задачи при [pic].
Для этого рассмотрим поведение функции
[pic]
и ее производной
[pic]
при [pic]. При этом нас будут интересовать значения этой функции при том
значении [pic], которое соответствует [pic].
Рассмотрим следующие случаи:
1њ. [pic].
Функция
[pic],
где через [pic] обозначен тот корень [pic], для которого [pic], так что
[pic].
Как известно [3],
[pic], если [pic].
Таким образом, мы можем написать, что
[pic].
Отметим еще известное асимптотическое поведение интеграла
[pic],
имеющее место для [pic].Отсюда заключаем, что
[pic]
Итак,
[pic]
и
[pic]
Таким образом, если
([pic] и [pic],
то
[pic],
и мы получаем, что наши функции при [pic] стремятся к конечным пределам:
[pic]
Если же
[pic],
то
[pic],
и наши функции неограниченно возрастают:
[pic]([pic]
[pic].
2њ. [pic].
В этом случае
[pic] ;
последний интеграл неограниченно возрастает при [pic], причем порядок роста
его эквивалентен порядку роста функции
[pic].
Таким образом, в этом случае наши функции при [pic] стремятся к конечным
пределам, причем
[pic][pic]
Итак, мы видим, что если [pic] лежит в области
[pic],
которую мы будем называть областью устойчивости, то при [pic] наши функции
стремятся к конечным пределам, причем
[pic]
Корни, лежащие в области устойчивости, мы будем называть
устойчивыми корнями.
Если [pic] лежит вне области устойчивости, в области

[pic] ,
то функции [pic] возрастают неограниченно или колеблются при [pic].

§ 8

Нетрудно видеть, что функция
[pic]
стремится при [pic] к конечному пределу, если
1) [pic] равномерно ограничена: [pic] , и стремится к конечному пределу
[pic] при [pic].
2) функция [pic] абсолютно интегрируема:
[pic] .
В этом случае
[pic] .
В самом деле, достаточно доказать, что [pic], если [pic] при [pic]. Пусть
нам задано [pic]. Выберем [pic] так, чтобы
[pic] для [pic].
Тогда
[pic]
где [pic]- произвольное вспомогательное число. Если [pic] выбрано так, как
указано выше, то
[pic]
и
[pic],
если, кроме того [pic], выбрано так, чтобы
[pic],
чем и доказано наше утверждение.
На основании асимптотической оценки, установленной для корней [pic],
лежащих в области устойчивости,
[pic],
откуда следует, что в этом случае
[pic]
и
[pic].
Отсюда, в силу только что доказанного, получаем, что в случае устойчивых
корней
[pic].
Если же корень [pic] неустойчив, то нельзя высказать определенного
суждения о поведении [pic] при [pic] независимо от свойств функции
[pic]. Однако для неустойчивых корней существуют такие функции
[pic](например,[pic]), что функции
[pic]
не стремятся к конечному пределу. (Однако можно указать такие функции
[pic], чтобы функции [pic]стремились к конечным пределам.)
На основании доказанного мы можем утверждать, что если все корни
характеристического уравнения устойчивы и различны и если [pic] при
[pic],то
[pic].

§ 9

Докажем, что
[pic]. (8)
В самом деле,
[pic],
где знаки [pic]показывают, что суммы берутся соответственно только по
нечетным или только по четным s. Такая замена возможна, так как
[pic].
Сумма [pic]преобразуемся в сумму степеней [pic], так что
[pic].
Интересующая нас сумма (8) разбивается на ряд слагаемых:
[pic],
[pic]
при помощи замены последней строчки величинами
[pic].
Очевидно, что только [pic] отлично от нуля, причем если умножить i-й
столбец [pic] на [pic], то мы получим снова определитель Вандермонда, в
котором первая строчка стоит на месте последней. Таким образом,
[pic]
Отсюда заключаем, что
[pic].
Таким образом, если все корни устойчивы, то
[pic].
Нетрудно было бы также убедиться что производные [pic] при [pic].
Из того, что [pic] вытекает, что
[pic] при [pic] и [pic].

С другой стороны, из самого краевого условия:
[pic],
следует, что если
[pic],
то [pic]стремится к конечному пределу, величина которого
[pic].

§ 10

Чтобы выяснить вопрос о поведении функции при наличии неустойчивых
корней, выясним вопрос, могут ли коэффициенты [pic]обращаться в нуль. Эти
коэффициенты имеют вид:
[pic],
где [pic].
Докажем, что [pic]обращается в нуль в том и только в том случае, если
наряду с [pic]число [pic]также является корнем характеристического
уравнения.
Представим характеристическое уравнение в виде:
[pic],
где [pic]означают, что сумма берется соответственно по нечетным и по четным
значениям s. Если наряду с [pic] число [pic] также является корнем
уравнения [pic], то
[pic]
откуда и следует, что в этом случае
[pic].
Обратно, если [pic] - корень уравнения [pic]- является также корнем
уравнения [pic], то из
[pic]
следует, что и [pic] и
[pic]
а это и требовалось доказать.
Из доказанного вытекает основная теорема в том случае, если
характеристическое уравнение не имеет кратных и противоположных по знаку
корней.

§ 11

Покажем, что при наличии кратных или противоположных по знаку корней у
характеристического уравнения основная теорема сохраняет силу.
Отметим, что если кратность корня [pic] есть [pic] и кратность
противоположного ему по знаку корня [pic]есть [pic], то
[pic]
имеет в знаменателе нуль порядка [pic]
Докажем, что если [pic] имеет кратность [pic], то
[pic].
В самом деле, в этом случае
[pic]
и, кроме того, для любого l
[pic].
Отсюда заключаем, что
[pic][pic]
[pic]
но так как из двух слагаемых одно является полиномом четной степени, а
другое - нечетной, то каждое из них равно нулю:
[pic],
и аналогично
[pic].
Итак, если [pic] является корнем кратности [pic], то
[pic],
т. е. имеет фактически в знаменателе нуль кратности [pic] .
В этом случае будем рассматривать предел соответствующей группы
слагаемых при сливающихся корнях. Предел группы слагаемых, соответствующих
корню [pic], равен
[pic],
где
[pic],
т. е. равен
[pic]Так как
[pic],
то, если [pic]- устойчивый корень, нетрудно видеть, что все производные
функции [pic] по [pic] также будут устойчивы при [pic], так как они имеют
асимптотический порядок [pic].
Если же [pic]- неустойчивый корень, то, так как
[pic],
производные этой функции по [pic] имеют различный порядок возрастания при
[pic], а именно,
[pic],
причем второе слагаемое стремится к нулю. Отсюда заключаем, что в случае
неустойчивого корня кратности [pic] наивысший порядок возрастания будет
давать слагаемое
[pic],
коэффициент при котором [pic] заведомо отличен от нуля.
Итак, если характеристическое уравнение имеет хотя бы один неустойчивый
корень, то найдутся такие функции[pic], стремящиеся к конечному пределу при
[pic], для которых решения краевой задачи не будут стремиться к пределу при
[pic]. Если же все корни характеристического уравнения устойчивы, то [pic]
при [pic] стремится к пределу.

Литература

1. A Тychonoff, Theoremes d'unicite pour l'equation de la chaleur, Мат.
сб., 42, 1935, 199-215.
2. X.Карслоу, Теория теплопроводности, М.-Л., 1947.
3. В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. III, М.-Л., 1933.







-----------------------
[1] Настоящая работа возникла в связи с развитием теории одного прибора
для определения термических констант, предложенного нами.

[2] Возможны и другие методы представления решения поставленной задачи в
явном виде,
а именно:
1) при помощи представления решения в виде контурного интеграла или
2) если положить
[pic];
при этом функция U(x,t) находится непосредственно, а для нахождения = надо
решить написанное ранее неоднородное линейное дифференциальное уравнение.