Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mph.cs.msu.ru/Home/Opus/a21.doc Дата изменения: Tue Apr 6 14:40:54 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:38:38 2012 Кодировка: koi8-r

Доклады Академии Наук СССР.

1935. Том IV (1Х), ? 4-5 (73-74)

А.Н. Тихонов

Математическая теория термопары

( Представлено академиком С. Н. Бернштейном 21 VIII 1935)

Всякий прибор, внесенный в физическое поле для измерения его величины,
вносит с собой изменение поля. Показания прибора дают нам, вообще говоря,
действительную величину измененного поля, а не ту, которая нас должна
интересовать, т. е. которая была бы, если бы естественный ход поля не
нарушался внесенным в него прибором.
При измерении температуры поля термопарой происходит отток тепла из поля
в термопару, что и вызывает изменение температурного поля (отмеченное
обстоятельство имеет тем большее влияние, чем меньше теплопроводность
измеряемого тела). Это явление чистой теплопроводности осложняется тем
обстоятельством, что при прохождении возникающего в термопаре
электрического тока через спай (явление Peltier), а также и вдоль всей
проволоки (джоулево тепло) происходит выделение тепла.
Нашей задачей является установить соотношение между наблюдаемой
температурой [pic]в точке измерения и температурой [pic], которая была бы
в этой точке, если бы температура поля не подвергалась изменению,
зависящему от перечисленных обстоятельств: 1) начальное тепловое
состояние термопары и теплоотток в термопару, 2) явление Peltier, 3)
выделение в термопаре джоулева тепла .
Будем считать, что измеряется температура однородной проволоки
бесконечной длины. Термопару будем представлять в виде двух спаянных на
концах однородных (но различных) проволок бесконечной длины, причем один
спай (находящийся в бесконечности) поддерживается при постоянной (нулевой)
температуре, а другой в некоторый момент [pic]соприкасается с точкой
проволоки, температуру которой измеряем. Относительно термопары мы сделаем
следующие предположения.
1. Если разность температур равна u , то в термопаре возникает
электрический ток силы [pic].
2. Если через спай проходит электрический ток силы i в течение промежутка
времени [pic], то в нем выделяется количество тепла [pic] (явление
Peltier).
3. Если через термопару проходит электрический ток силы i в течение
промежутка времени [pic], то на единицу длины первой проволоки выделяется
количество тепла, равное [pic], а на единицу длины второй проволоки [pic].
Обычно считают, что такие функции имеют вид
[pic]
где [pic] постоянны, но нам нет в этом никакой необходимости, и мы будем
принимать, что они являются некоторыми непрерывными функциями своих
аргументов.
Уравнения распределения температур в проволоках термопары будут:
[pic] (1),(2)
где [pic] - соответствующие физические постоянные.
Пусть [pic]- температура проволоки без изменений, вносимых термопарой.
Эта функция могла бы быть определена при помощи значений [pic] (т. е. в
момент начала измерений) и уравнения теплопроводности
[pic][pic][pic] (3)
[pic] - константы изучаемой проволоки.
[pic], действительная температура проволоки, удовлетворяет тому же
уравнению (3) для всех[pic]; при [pic], т. е. в точке измерения, имеет
место отток тепла.
Пусть [pic] - поток тепла через точку[pic]; тогда
[pic] (4)
Условия, связывающие температуры проволоки и термопары, состоят из
двух частей. Во-первых, мы должны приравнять температуры проволоки и
термопары в точке измерения. Во-вторых, подсчитать тепловые потоки в этой
точке, притекающие и вытекающие.
Эти условия дают
[pic] (5)
[pic] (6)
где
[pic] (7), (8)

тепловые потоки в проволоке термопары и

[pic][pic] (9)
тепло, возникающее в спае.
Кроме того, должны быть удовлетворены начальные условия
[pic] (10)

где [pic] и [pic] - заданные функции, представляющие начальное тепловое
состояние термопары.
Таким образом, мы должны решить систему уравнений (1), (2), (З)

[pic] (A)

с условиями (5), (6)

[pic] (B)
где [pic] определяются формулами (4), (7), (8), (9) и начальными условиями
(10):
[pic] (C)
Нетрудно видеть, что
[pic] (11)

так как в этом случае [pic] удовлетворяет уравнению (3), условию (4) и
имеет начальное значение [pic].
Функции [pic]) и [pic] берутся в виде
[pic]
[pic] (12)
где [pic] неизвестные функции, причем для того, чтобы удовлетворялось
условие (5), нужно, чтобы
[pic] (13)



Вычислим
[pic]
[pic] (14)
Таким образом, уравнение (5) может быть записано в виде
[pic][pic] (15)


Исключим из уравнений (13) и (15) все неизвестные функции [pic].
Установим предварительно некоторые соотношения

(a) [pic]

(b) Если некоторая ограниченная функция удовлетворяет уравнению
теплопроводности
[pic]
то
[pic]

Положим
[pic]
Эта функция ограничена и удовлетворяет уравнению теплопроводности,
следовательно
[pic]


В частности, при [pic]
[pic]
Отсюда заключаем, что
[pic]
Пользуясь последним звеном равенства (13) и (а) и (b), непосред- ственно
получаем
[pic] Как уже упоминалось, функции [pic]имеют вид
[pic]
В таком случае
[pic]
[pic]
Это и есть выражение функции [pic], представляющей искомую
температуру через [pic], температуру наблюдаемую. Первое слагаемое в
этом выражении представляет поправку на чистый отток тепла,
если начальная температура термопары равна нулю, т. е. температуре
конца, поддерживаемого при постоянной температуре, второе - поправку на
джоулево тепло, третье - на явление Peltier и, наконец, четвертое - на
начальное распределение тепла в термопаре.
В частности, если проволока, температура которой измеряется, одинакового
качества с термопарой, т. е. их константы [pic] и [pic] одинаковы,
начальные распределения
[pic]
т. е. равны той температуре, при которой поддерживается второй конец, и мы
пренебрегаем эффектом джоулева тепла и явления Peltier, то
[pic]
Итак, при указанных условиях мгновенно устанавливается постоянная
температура, равная 50 % той, которую мы определяем.

Научно-исследовательский институт математики
при Московском государственном университете.

Поступило

27. 07. 1935