Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mph.cs.msu.ru/Home/Opus/a67.doc Дата изменения: Tue Apr 6 14:57:32 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:42:44 2012 Кодировка: koi8-r

Доклады Академии наук СССР

1963. Том 149, ? 3

А. Н. Тихонов, А. А. Самарский


Об устойчивости разностных схем



Неоднократно высказывалась гипотеза, что если разностная схема устойчива
в классе постоянных коэффициентов, то она устойчива и в классе переменных
коэффициентов. В данной заметке приводится пример, показывающий, что эта
гипотеза неверна, если в качестве класса переменных коэффициентов брать
кусочно-непрерывные и кусочно-дифференцируемые функции *.
1. Рассмотрим неявную разностную схему:
[pic] (1)
и первую краевую задачу, ей соответствующую:
[pic] (2)
[pic] (3)
где [pic] - заданные начальные значения, причем

[pic] (4)

h и [pic] - шаги разностной сетки ([pic]; [pic]).
Эта схема соответствует уравнению
[pic], (5)
в чем легко убедиться, если переписать ее в виде
[pic][pic].
Разностная схема (1) с условиями (2) и (3) устойчива в классе
непрерывных коэффициентов при достаточно малом h и любых [pic], так как в
этом случае [pic] и справедлив принцип максимального значения, откуда и
следует равномерная по h корректность.

2. Будем искать решение разностных уравнений (1) с условиями (2) в виде
[pic]. Для функции [pic] получаем задачу на собственные значения
[pic]
или
[pic], (6)
где [pic], так что [pic].
Пусть [pic]> 0 - кусочно-постоянная функция
[pic] (7)
где [pic] - точка разрыва [pic] - иррациональна.
Будет показано, что если
[pic]
отрицательно, то при достаточно малом [pic] задача (6) имеет положительное
собственное значение [pic], причем [pic], где [pic] - произвольная
положительная постоянная. Отсюда будет следовать, что при [pic]
[pic].
Для нашей схемы
[pic] (8)

где [pic].
Если [pic], то все квадратные скобки, кроме первой, положительны; если
[pic]> 5, то первая скобка отрицательна и первое слагаемое внутри фигурных
скобок также отрицательно. Так как степень по [pic] первого слагаемого
равна 5/2, а второго 2, то ясно, что существует такое [pic], что [pic] при
[pic]>[pic] (приближенное значение [pic]).

3. Нетрудно проверить, что функция
[pic]
удовлетворяет условиям задачи (6) для in+1, если выполнены условия
[pic]. (9)
Значения [pic] и [pic] определяются из уравнений (6) при i= n и i=
n+1, а [pic] - из условия разрешимости этих уравнений относительно [pic] и
[pic].
Введем обозначения
[pic]
и запишем уравнения (6) для i= n, n+1 в виде
[pic]
[pic]
Приравнивая определитель этой системы нулю, получим уравнение для [pic]:

[pic],
где
[pic] (10)
Требуется доказать, что при выполнении условия [pic] для любого [pic]
найдется [pic] - корень уравнения [pic], причем [pic].

4. Нетрудно видеть, что [pic]. Отсюда следует ограниченность p и q при
заданных [pic] и [pic]. Рассмотрим произвольные числа [pic] и [pic] такие,
что [pic]. Заменим [pic] на z, полагая z = [pic]h; при этом функция [pic]
преобразуется в функцию
[pic]
В п. 5 будет доказано, что
[pic], (11)
где [pic] определяется формулой (8). Если [pic] ([pic]), то при достаточно
малом [pic]
[pic] при [pic] .
С другой стороны, при любом h , в силу ограниченности p, q
[pic] при [pic],
откуда следует, что при [pic] найдется корень уравнения [pic],
удовлетворяющий условию [pic], или корень уравнения [pic], для которого
[pic], что и доказывает неустойчивость схемы (1) при [pic].

5. Докажем асимптотическое равенство (11). Очевидно, что для значений
[pic] и [pic], определяемых равенствами
[pic] (9()
в интервале [pic] имеют место асимптотические равенства по h
[pic] . (12)
Кроме того, при [pic]
[pic] (13)
и аналогично
[pic] . (13()

Подставляя равенства (13), (13() в выражение (10) для q, получаем
[pic]
где [pic] определяется формулой (8).
Таким образом доказана неустойчивость схемы (1) при [pic] и достаточно
малом [pic].
Нетрудно убедиться (ср. [1] ), что в тех случаях, когда схема (7) для
кусочно-постоянных коэффициентов [pic] сходится, предельная функция для
[pic] будет отлична от решения соответствующей краевой задачи для
дифференциального уравнения (5).Для сходимости в классе разрывных
коэффициентов схемы
[pic]
необходимо и достаточно, чтобы оператор [pic] был консервативным
(самосопряженным), т. е. чтобы [pic] (см. [1] ).


Поступило

29.12.1962

Литература


1. А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., ?1, 5 ,
1961.






* Основной результат этой работы был изложен в докладе на IY Всесоюзном
математическом съезде в 1961 г.