Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mph.cs.msu.ru/Home/Opus/a63.doc Дата изменения: Tue Apr 6 14:55:26 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:41:55 2012 Кодировка: koi8-r

Доклады Академии наук СССР 1959. Том 124, ? 3



А.Н. Тихонов, А.А. Самарский


О сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов


Многие разностные схемы, применяемые для решения дифференциальных
уравнений с переменными коэффициентами и сходящиеся в классе гладких
коэффициентов, являются расходящимися в случае разрывных коэффициентов.
Цель настоящей статьи - установить необходимые условия сходимости
разностных схем в классе разрывных коэффициентов для уравнения
[pic], (1)
а также дать общую характеристику класса нормальных [1] схем,
удовлетворяющих необходимому условию сходимости.

п.1. Рассмотрим класс дифференциальных операторов [pic], определенных на
интервале [pic], и соответствующую нормальную разностную схему (см. [1])
[pic], определенную на равномерной разностной сетке [pic]
[pic]:
[pic] , (2)
где [pic] при [pic]; А и В - нормальные, т. е. линейные регулярные,
положительные и не зависящие от h функционалы, удовлетворяющие условию
взаимной симметрии [2].
п. 2. Будем называть [pic] квазиконсервативной разностной схемой, если
[pic] или [pic] в классе[pic]. Если А и В - линейные регулярные
функционалы, то условие квазиконсервативности означает, что: 1) функционал
[pic] определен для функций [pic], заданных на интервале [pic], а [pic] -
на интервале [pic] ; 2) в классе разрывных коэффициентов [pic] [pic], где
[pic] - нуль-функционал (см. [2]).
Если условие [pic] выполняется и в классе [pic] , то разностную схему
[pic] мы будем называть консервативной схемой. В этом случае [pic] для
[pic], и разностный оператор [pic] можно представить в виде
[pic].

п. 3. Перейдем к изучению вопроса о сходимости в [pic] нормальной
разностной схемы (2), имеющей 2-й порядок точности в [pic] ([pic]).
Предположим, что [pic] имеет разрыв 1-го рода в точке [pic], причем [pic],
где [pic] - узловая точка разностной сетки [pic] ([pic]). Очевидно, что
[pic].
Вычислим погрешность схемы [pic] в окрестности точки [pic]. Если [pic]
([pic]), то погрешность аппроксимации
[pic],
где [pic] - решение дифференциального уравнения (1).
Для [pic] и [pic] получаем выражения
[pic] (3)
[pic] (4)

где [pic].
Если [pic], то [pic] при [pic] [pic] К - положительная
постоянная, зависящая от выбора функции [pic].

п. 4. Рассмотрим отрезок [pic], целиком лежащий внутри отрезка [0,1] и
содержащий фиксированную точку [pic]. Точка [pic] принадлежит некоторому
интервалу сетки [pic], так что [pic]. Рассмотрим разностное уравнение
[pic] (*)
и предположим, что коэффициенты [pic] и правая часть [pic]удовлетворяют
условиям:



I. Существуют такие m>0 и M>0, что [pic].
II. Существует такое b>0, что[pic]при [pic];[pic]при[pic];[pic].
III. [pic], где [pic] при [pic], если [pic]и [pic].
Пусть [pic] - решение уравнения (*), а [pic] - полигональная функция.


Лемма 1. Если, для уравнения (*) выполнены условия I, II, III и
существует некоторая последовательность решений [pic] уравнения (*),
равномерно сходящаяся к нулю при [pic], то выполняется условие
[pic] при [pic]. (5)

Лемма 2. Если выполнены условия леммы 1 и, кроме того: 1) [pic] или
[pic] при [pic], [pic] 2) [pic] на некоторой последовательности сеток
[pic], то выполняются условия
[pic] . (6)

п. 5. Обозначая [pic] решение дифференциального уравнения [pic], а
[pic] - решение уравнения [pic] [pic], где F - нормальный симметричный
функционал, удовлетворяющий условию нормировки F[1]=1, получим для разности
[pic] уравнение
[pic].
Пусть [pic] - нормальная схема 2-го порядка аппроксимации; [pic]. Если
[pic] - точка разрыва [pic] и [pic] то [pic] при [pic] (условие III).
Нетрудно убедиться в том, что условия II и III из п. 4 также выполнены.
Подставляя в формулу (5) выражения (3) и (4) для [pic] и [pic]и учитывая,
что [pic], получим необходимое условие сходимости однородной разностной
схемы [pic] в классе кусочно-непрерывных и кусочно-гладких коэффициентов
[pic]. Это условие имеет вид:
[pic] при[pic]. ([pic])
Аналогично, подставляя в (6) выражения (3) и (4) для [pic] и [pic]
получим, в силу леммы 2, необходимые условия 2-го интегрального порядка
точности схемы [pic] в [pic]:
[pic].
п. 6. Пусть [pic] - нормальная, сходящаяся в [pic] схема. Представим
[pic] в виде суммы [pic], гдe [pic] при [pic]; [pic] при [pic], а функция
[pic] непрерывна, причем [pic], [pic]. Поэтому [pic] [pic], и,
следовательно, [pic] [pic], где
[pic].
Пользуясь функцией [pic] при [pic], [pic] при [pic], можно написать
[pic]. Тогда будем иметь [pic] [pic], где [pic] , [pic] -
характеристические функции регулярных линейных функционалов А и В [2].
Аналогично находим
[pic],[pic].
Необходимое условие сходимости ([pic]) можно записать в виде

[pic]. ([pic])

Нашей задачей является предельный переход при [pic] ([pic]) в условии
([pic]). При этом необходимо сначала рассмотреть возможные пределы функции
[pic], когда [pic], пробегая какую-либо последовательность возрастающих
чисел [pic].
В дальнейшем мы будем опираться на следующую теорему П. Л. Чебышева [4]:
Если a - количество несоизмеримое, то найдется бесконечное множество
таких целых чисел x,y , при которых выражение [pic]будет разниться с каким-
либо данным количеством b менее, чем на 2/x. Одни из этих величин x,y будут
давать [pic]> b, другие [pic] Из теоремы Чебышева следует, что для иррационального [pic] и любого
[pic]: 1) существует бесконечная последовательность таких сеток [pic] с
шагом [pic], что [pic], т. е. [pic] справа; 2) существует бесконечная
последовательность таких [pic] с шагом [pic], что [pic] слева при [pic].
Отметим, что: а) если [pic] - рациональное число, то найдется такое
[pic], что равенство [pic] имеет место для бесконечного множества
разностных сеток [pic]; б) если [pic] - иррациональное число, то, каково бы
ни было [pic], равенство [pic] возможно не болeе, чем для одного значения
N, т. е. не более, чем для одной разностной сетки.

п. 7. Потребуем теперь, чтобы наша нормальная схема [pic] удовлетворяла
необходимому условию ([pic]) в [pic]. Выбирая произвольное [pic] и
совершая предельный переход по последовательности сеток [pic] (или [pic])
при [pic], а также учитывая симметрию схемы, условия нормировки [pic] и
положительность функционалов A и B, получим: 1) [pic] при [pic]; [pic] при
[pic]; 2) [pic] в точках непрерывности [pic] и [pic]
Отсюда следует, что условию сходимости ([pic]) удовлетворяет только
квазиконсервативная схема [pic], где [pic] - нуль-функционал. В силу
значения б) п. 6 суммирование проводится только по иррациональным особым
точкам функционала [pic].

Лемма 3. На любой последовательности разностных сеток [pic]
[pic] при [pic].

Отсюда следует, что найденной нами схеме эквивалентна консервативная
схема, для которой [pic] при всех [pic]. Учитывая условие симметрии, найдем
[pic], где [pic] - произвольная нечетная функция ограниченной вариации:
[pic], удовлетворяющая условию нормировки [pic].

п. 8. Рассматривая сходимость для однородного уравнения и пользуясь
следующим определением сходимости: разностная схема [pic] сходится к
дифференциальному оператору [pic] в заданном классе коэффициентов ([pic]),
если для любого решения [pic] уравнения [pic] с коэффициентами из заданного
класса найдется такое решение разностного уравнения [pic], что на любой
последовательности сеток [pic] полигональная функция [pic] равномерно
сходится к [pic]при [pic], т. е. [pic], можно формулировать теоремы:

Теорема 1. Если нормальная разностная схема [pic] сходится в [pic], то
она квазиконсервативна.
Теорема 2. Для всякой сходящейся в [pic] квазиконсервативной нормальной
схемы [pic] существует эквивалентная ей в смысле сходимости консервативная
схема
.

Математический институт им. В. А. Стеклова
Поступило

Академии наук СССР
13.Х.1958


Литература

1. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский, ДАН, 122, ?4, 1958.
2. А.Н. Тихонов, А. А. Самарский, ДАН, 122, ?2, 1958.
3. А. Н. Тихонов, А А. С а м а р с к и й, ДАН , 108, ? 3, 1956.
4. Л. Л. Чебышев, Полн. собр. соч., 1, М.-Л., 1944, стр. 271.