Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mph.cs.msu.su/stud/VKA-p-exam&demo.pdf Дата изменения: Fri Jan 18 11:42:39 2008 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:12:25 2016 Кодировка: Windows-1251

Предварительные замечания

1. Экзамен проводится в письменной форме по объявленной ранее программе. 2. Продолжительность экзамена 2 академических часа (90 мин.) 3. Пользоваться книгами, конспектами и другими справочными материалами запрещается. 4. Первый вопрос билета содержит одну из основных теорем курса, при ответе на этот вопрос обязательно доказательство теоремы. 5. В ответах на другие вопросы достаточно приводить формулировки утверждений. В то же время ответы и решения задач нужно обосновывать.

Ниже приведен вариант билета.

Билет 1 прим.

1. Докажите интегральную теорему Коши для неодносвязной области. 2. a) Дайте определение модуля, аргумента, главного значения аргумента комплексного числа.

b) Решите уравнение z 2 ћ z = 4i ћ |z | .
3. a) Дайте определение аналитичности функции f (z ) в области. В чем заключается связь между аналитичностью и гармоничностью ?

b) Восстановите аналитическую функцию f (z ), z = x + iy , (если она существует), по заданной Re f (z ) = 2 xy - y 2 .
4. a) Сформулируйте теорему единственности для аналитических функций.

b) Может ли аналитическая в ограниченной области D функция, отличная тождественного нуля, иметь в D счетное множество нулей?
5. a) Выпишите формулы для вычисления значений R и r, определяющих кольцо сходимости ряда Лорана.


b) Найдите область сходимости ряда
n=-

zn . e |n|

6. a) Дайте определение вычета в особой точке функции. Приведите выражение вычета через коэффициент ряда Лорана. 2 b) Вычислите при помощи вычетов интеграл (z - 1) ћ sin2 dz , z-1 C где C : |z | = 2 .