Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mph.cs.msu.su/stud/VKA-p-1-grigorev.pdf Дата изменения: Wed Feb 18 21:41:04 2009 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:14:38 2016 Кодировка: Windows-1251

Е.А. Григорьев

ВВЕДЕНИЕ В КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ

Практикум (по программе бакалавров)


2

ПРЕДУВЕДОМЛЕНИЕ К ПРАКТИКУМУ
Настоящее пособие содержит основные формулировки, решение примеров, а также вопросы и задачи для самостоятельной работы из готовящегося к печати курса "ВВЕДЕНИЕ В КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ". Автор рассчитывает на ограниченное распространение следующего ниже текста до его издания и надеется найти в этом понимание со стороны пользователей.

ПРЕДИСЛОВИЕ К КУРСУ ЛЕКЦИЙ
Предлагаемый вниманию читателя курс сформировался во второй половине 1990-х гг., когда обучение по программе бакалавров на факультете ВМК проходили иностранные студенты. Процесс преподавания строился с акцентом на умение учащихся в итоге применить полученную теоретическую базу к решению конкретных практических задач. Отсюда насыщение текста, в отличие от принятых в то время учебников, множеством примеров при некотором сокращении объема теоретической части курса. Время показало, что такой подход оказался вполне востребованным: в конце 1990-х начале 2000-х гг. появился целый ряд учебных пособий (в том числе и по ТФКП), построенных по этому принципу. В течение последних 15 лет тексты лекций были не однажды переработаны, были добавлены вопросы и задачи в конце каждого параграфа. В итоге лекции приобрели вид, представленный ниже. Они предназначены студентам отделения бакалавров по направлению "Прикладная математика и информатика"(4-ый семестр), а также иностранным учащимся-бакалаврам (5-ый семестр). Необходимо отметить, что это еще не завершенный учебник; какие-то разделы, а также порядок их изложения могут быть пересмотрены. На нижеследующих страницах нет рисунков, присутствуют только отсылки к ним. Возможно, восстановление рисунков будет неплохим упражнением для учащихся. Автор будет признателен высказавшим советы по улучшению пособия, а также указавшим на его недочеты.

c Е.А. Григорьев, 2008,

1996-2007


3

Глава 1 Основные понятия комплексного анализа
1. Комплексные числа и их свойства 1.1. Основные определения
Комплексным числом называется упорядоченная пара

z = (x, y ) ,

где

x, y R .
и мнимой

Первый и второй элементы пары (x, y ) называются действительной частями комплексного числа z соответственно. Обозначения:

x = Re z ;

y = Im z .

Множество комплексных чисел C с арифметическими операциями, нулем и единицей является полем. Это поле C расширение поля действительных чисел R. При этом действительное число x отождествляется с парой (x, 0) . Число вида (0, y ) называется чисто мнимым числом.

Комплексно сопряженным с числом z = (x, y ) называется комплексное число z = (x, -y ) .
Представление элемента z = (x, y ) в виде формой записи комплексного числа

z = x + iy

называется алгебраической

1.2. Примеры.
1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа c =

1-i . 1+i

Отсюда

Re c = 0 ,

(1 - i)2 (1 - i)2 1-i = = = -i 1+i (1 + i) (1 - i) 2 Im c = -1 c= (z )2 = z . (x - iy )2 = x + iy .

2. Решить уравнение:

Пусть z = x + iy , x, y R . Тогда уравнение можно переписать в виде Приравнивая действительные и мнимые части соответственно, получаем систему уравнений x2 - y 2 = x , -2xy = y . Из второго уравнения этой системы имеем

y=0

x=0 x = 1;

1 x = - . Поэтому 2 1 3 . x=- y=+ 2 2 y = 0 либо


4

1 3 3 1 Ответ: z = 0 ; z = 1 ; z = - + i ; z =- -i 2 2 2 2 3. Доказать, что многочлен степени n Pn (z ) = a0 z n + a1 z
n-1

+ ћћћ + a

n

с действительными коэффициентами ak наряду с каждым комплексным корнем z0 имеет также корень z0 . В самом деле, по свойствам комплексного сопряжения

Pn (z ) = a0 z n + a1 z

n-1

+ ћ ћ ћ + an = a0 (z )n + a1 (z )n-1 + ћ ћ ћ + an = Pn (z ) .

Поэтому если Pn (z0 ) = 0 , то и Pn (z 0 ) = Pn (z0 ) = 0 , что и требовалось

1.3. Геометрическая интерпретация
Комплексное число z = (x, y ) можно рассматривать как координаты точки на плоскости R2 , тогда множество C отождествляется с множеством всех точек так называемой комплексной плоскости (или множеством векторов с началом в точке (0, 0), т.е. радиусов-векторов соответствующих точек).

1.4. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
Если положение точки z = (x, y ) на плоскости определить с помощью полярной системы координат: (r, ), где r расстояние от точки, изображающей z , до начала координат, угол, который составляет радиус-вектор точки z с положительным направлением оси абсцисс получим тригонометрическую форму записи комплексного числа: z = r (cos + i sin ) .

Замечание. Если z = 0 , то r = 0 , а угол не определен.
Принято называть r модулем, а аргументом комплексного числа z и обозначать: r = |z | , Arg z . При этом

r=

x2 + y 2 ,

cos =

x x2 + y
2

,

sin =

y x2 + y
2

.

Аргумент z определен неоднозначно: Arg z = {arg z + 2 k } , где k пробегает множество Z целых чисел, а arg z главное значение аргумента, т.е. то значение, которое попадает в определенный промежуток длины 2 . Обычно принимают один из следующих вариантов: 0 arg z < 2 или - < arg z . Если не оговорено противное, мы ниже используем второй из них.

1.5. Примеры
1. Доказать тождество

|z1 + z2 |2 + |z1 - z2 |2 = 2 (|z1 |2 + |z2 |2 ) .
1-ый способ. Пусть z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 . Тогда

|z1 + z2 |2 = (x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2 ,


5

откуда

2 2 |z1 + z2 |2 + |z1 - z2 |2 = 2 (x2 + x2 + y1 + y2 ) = 2 (|z1 |2 + |z2 |2 ) . 1 2

2-ой способ Решение очевидно, если на плоскости (z ) изобразить векторы z1 , z2 , z1 + z2 , z1 - z2 и применить известную теорему планиметрии (равенство параллелограмма)
2. Доказать неравенство

z - 1 | arg z | . |z | z изображается |z | точкой B , где OB = 1. В левой части данного неравенства стоит длина хорды B C, которая стягивает дугу длиной | arg z | .
Пусть точки A и C соответствуют числам z и 1, тогда число

1.6. Показательная форма записи комплексных чисел
Используя формулу Эйлера

ei = cos + i sin ,

приходим к записи

z = r (cos + i sin ) = r ei ,
где правая часть называется показательной формой представления комплексного числа.

1.7 Примеры
1. Представить в показательной форме следующие комплексные числа: а) c = 5 ; б) c = -2 ; в) c = i ; г) c = 1 - i .

, k Z. б) В этом случае |c| = 2 , arg c = , тогда c = 2 ei (1+2k) , k Z . 1 в) Поскольку |c| = 1 , arg c = , то c = ei ( 2 + 2k ) , k Z . 2 1 г) Так как |c| = 2 , arg c = - , то c = 2 ei (- 4 + 2k ) , k Z . 4 Замечания. 1) В представлении чисел примеров а) г) в показателе экспоненты используется Arg c . В то же время при проведении арифметических вычислений можно ограничиваться каким-то конкретным значением Arg c . Обычно (но не обязательно) берут = arg c . 2) Для получения модуля и аргумента чисел в пп. а) г) полезно рассматривать их геометрическое представление.
2. Формула Муавра. Используя показательное представление числа, имеем:

а) Так как |c| = 5 , arg c = 0 , то c = 5 ei2

k

z n = r ei
в частности,

n

= rn ein = rn (cos n + i sin n) ,

(cos + i sin )n = cos n + i sin n .

3. Найти действительную и мнимую части следующих комплексных чисел: а) (1 + i)n + (1 - i)n ; б) (1 + cos + i sin )n .


6

а) Так как 1 + i =



2 ei

4

, 1-i=



2 e-i

4

, то
n 4

c = (1 + i)n + (1 - i)n = ( 2)n ei =2
n 2

+ e-i

n 4

=

n n n n n n + i sin + cos - i sin = 2 1 + 2 ћ cos . 4 4 4 4 4 n n , Im c = 0 . Итак, Re c = 2 1 + 2 cos 4 б) Используя формулы Эйлера для представления тригонометрических функций, получаем n c = (1 + cos + i sin )n = 1 + ei =

cos

=e
Отсюда

in 2

e

i 2

+ e-

i 2

n

= 2n cosn

2

cos

n n + i sin 2 2 n sin 2 2

.

Re c = 2n cosn

n cos , 2 2

Im c = 2n cosn

4. Найти модуль, аргумент, главное значение аргумента (arg z (- ; ]) следующих комплексных чисел z : б) z = - cos + i sin . а) z = (1 + i 3)4 ; 4 4 а) Так как для числа c = 1 + i 3 имеем r = |c| = 2 , arg c = , то z = c4 = 3 4 4 i3 2e , поэтому

|z | = 16 ;

Arg z =

4 + 2 k , k Z 3

;

arg z =

4 2 - 2 = - . 3 3

+ sin2 = 1 . Поскольку tg = -1 и 4 4 3 3 Re z < 0 , Im z > 0 , то Arg z = + 2 k , k Z ; откуда arg z = . 4 4
б) Очевидно, |z | =

cos2

1.8. Извлечение корня из комплексного числа
Комплексное число z называется корнем n-ой степени из числа c : z = N , если z n = c . Заметим сначала, что n 0 = 0 .

n

c,

n

Исходя из показательной формы представления числа c = ei , где c = 0, имеем: arg c+2 k n c = n e n , k Z. Здесь n арифметический корень из положительного действительного числа .

1.9. Примеры

1. Вычислить значения корней

а)



-2i ;

б)

4

-1 .

а) 1-ый способ. В соответствии с определением надо найти такое число z = x + iy , чтобы z 2 = -2i .


7

Имеем

x2 - y 2 + 2ixy = -2i x = y, x2 = -1


или

x2 - y 2 = 0 , xy = -1 x = -y , x2 = 1



Первая из систем не имеет решений (x и y действительные числа!), а вторая дает два решения: x = 1, x = -1 , или т.е. z1 = 1 - i , z2 = -1 + i . y = -1 y = 1,
2-ой способ. Так как c = -2i = 2 ei (- 2 + 2 k ) , то

z1,2 =
т.е.



c=
4



2 ei (- 4 + k ) , k = 0, 1 ,

z1 = z2 =



2 e-i
3 4

=



2 cos cos

- i sin 4 4

= 1 - i; = -1 + i .



2 ei

=

2

3 3 + i sin 4 4

б) Так как c = -1 = ei ( + 2 k ) , то

zk =

4

-1 = ei (

+2 k 4

) , k = 0, 1, 2, 3 .

Итак, имеем четыре значения корня:

z0 = ei z2 = ei

4

1+i = ; 2 1+i =- ; 2

z1 = ei

3 4

=

-1 + i ; 2

5 4

z3 = ei

7 4

1-i = 2

2. Решить уравнения а) z 3 = z ; б) z 6 + 7z 3 - 8 = 0 . а) Пусть z = r ei . Тогда r3 e3i = r e-i . Отсюда либо r = 0 , тогда z = 0 ; либо r2 = e-4i , тогда r = 1 и -4 = 2 k , k k т.е. = - , так что z = e-i 2 . 2 Для получения различных значений достаточно взять k = 0, +1, 2 . Тогда приходим к решениям z = +1 ; z = +i б) После замены t = z 3 имеем квадратное уравнение

t2 + 7t - 8 = 0
Поэтому, вычисляя значения

t=1 t = -8 .

z=

3

1 = ei

2 k 3

,

z=

3

-8 =



8 ei

+2 k 3

,

где k = 0, 1, 2,


8

получаем 6 решений данного уравнения:

z = 1, z =

1 (-1 + i 3) , z = -2 , z = 1 + i 3 2

1.10. Вопросы и задачи.
1. Найдите Re z , Im z , |z | , Arg z , arg z [0 ; 2 ) , 28 7 3 1 a) z = 3+i ; -i b) z = 5i ; 2 2 если

i5 - 2 ; c) z = 19 i -1 3 1 -i e) z = 4 4 g ) z = -3i ћ e-5i ; i) z =

(1 + i)9 d) z = ; (1 - i)5
7

ћ (1 + i)10 ;

(-1 + i 3)30 f) z = ; (1 - i)45 + i sin . 7 7

h) z = -1 - cos

1 + cos + i sin . 1 + cos - i sin |z1 z2 + 1|2 + |z1 - z2 |2 = (1 + |z1 |2 ) (1 + |z2 |2 ) .

2. Докажите тождество 3. Докажите неравенство

|z - 1| ||z | - 1| + |z | ћ | arg z | .
4. Пусть |z1 | = |z2 | = |z3 | > 0 и z1 + z2 + z3 = 0 . Докажите, что точки, изображающие числа z1 , z2 , z3 , являются вершинами правильного треугольника. 5. Какое из следующих равенств верно, а какое нет:

a) arg z n = n arg z ;

b) Arg z n = n Arg z ;

c) Arg z n = n Arg z + 2 k , k Z ?
6. Пусть Pn (z ) полином n-ой степени. Что можно сказать о его коэффициентах, если: b) Pn (z ) = -Pn (z ) ? a) Pn (z ) = Pn (z ) ; 7. Пусть

z+

1 = 2 cos . z

Докажите, что

zn +

1 = 2 cos n. zn

8. Вычислите значения корней: a) 3 -64i ; b) 2 - 2 3i;

c) 3 -2 + 2i . 9. Докажите, что сумма всех значений n 1 равна нулю.


9

10. Решите уравнения:

a) e) g) i) l)

z4 z4 z4 z2 zћ

+ 4 = 0 ; b) + i z2 + 2 = 0 + 3i z 2 + 4 = + z = 0; |z |2 = 4i z ;

z 6 - 64 = 0 ; c) z 3 = 27 i ; d) z 4 + 8 = 8 3 i ; ; f ) z 4 + (2 - i) z 2 - 2i = 0 ; 0; h) z 5 + iz 3 - 8iz 2 + 8 = 0 ; j ) iz 2 + 2z ћ Im z = 0 ; k ) (z )3 = 4 z ; m) z 2 ћ z = Re z ; n) z 2 ћ z = I m z .

2. Расширенная комплексная плоскость. Множества на комплексной плоскости 2.1. Расширенная комплексная плоскость. Стереографическая проекция
Множество всех комплексных чисел C (комплексная плоскость), дополненное бесконечно удаленной точкой (некоторым условным комплексным числом ), называется расширенной комплексной плоскостью C , т.е. C = C {}. Моделью расширенной комплексной плоскости является так называемая сфера Римана. Стереографическая проекция задает взаимно однозначное соответствие между точками этой сферы в трехмерном пространстве и точками комплексной плоскости.

2.2. Кривые на плоскости
Пусть на отрезке t заданы две непрерывные функции x(t) и y (t) . Тогда на этом отрезке определена непрерывная комплекснозначная функция действительной переменной z (t) = x(t) + i y (t) , t [, ] . (1)

Определения.
Задание функции z = z (t) , t [, ] , определяет на плоскости объект , называемый непрерывной кривой. Другими словами, непрерывный образ отрезка [, ] . Уравнение (1) называется параметрическим уравнением этой кривой. Кривая ориентирована по возрастанию независимой переменной t. Говорят, что эта ориентация индуцирована параметризацией (1). Точка z () является начальной, а точка z ( ) конечной точкой кривой . Кривая, отличающаяся от только противоположной ориентацией, обозначается -1 . Если существуют такие значения t1 , t2 , не совпадающие с обоими концами отрезка [; ], что t1 = t2 , а z (t1 ) = z (t2 ) , то соответствующая точка на кривой называется точкой самопересечения. Кривая без точек самопересечения называется простой (или жордановой) кривой. Непрерывная кривая, у которой совпадают начальная и конечная точки, называется замкнутой.

Примеры.
а) z = t, t [0, 1]. Это простая кривая отрезок действительной прямой с началом в точке z = 0 и концом в точке z = 1 б) z = 1 - t, t [0, 1] простая кривая началом в точке z = 1 и концом в точке z = 0 в) z = t2 ,
-1

отрезок действительной прямой с

t [-1, 1] .


10

Уравнение задает дважды проходимый отрезок с началом и концом в точке z = 1 Это замкнутая кривая, каждая из внутренних точек которой является точкой самопересечения. г) z = cos t, t 0, та же кривая, что и в п. б). 2 д) z = 2 e it , t [0, ] . Уравнение задает верхнюю полуокружность радиуса 2 с центром в начале координат Это простая кривая с началом в точке z = 2 концом в точке z = -2. е) z = -1 + e it , t [0, 2 ] . Это окружность единичного радиуса с центром в точке z = -1, простая замкнутая кривая. Положительное направление на ней против часовой стрелки. cos3 t + i sin3 t , t 0, 3 , 2 ж) z = 7 3 4i t- , t , 2 . 4 2 Кривая, состоит из трех звеньев астроиды и отрезка мнимой прямой, имеет точку самопересечения, т.е. не является простой. Непрерывная кривая z (t) = x(t) + i y (t) , t [, ] , называется гладкой, если функции x(t) и y (t) в ее уравнении непрерывно дифференцируемы на отрезке [, ] , причем (x (t))2 + (y (t))2 = 0 . Другими словами, кривая гладкая, если функция z (t) имеет непрерывную производную z (t) = x (t) + i y (t) и z (t) = 0 при всех t [, ]. В случае, если кривая замкнута, для обеспечения гладкости требуется еще выполнение равенства z ( + 0) = z ( - 0) . Если z (t0 ) = 0 при некотором значении t0 , соответствующая точка z0 кривой называется особой. Непрерывная кривая называется кусочно гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких кривых. Простую замкнутую кусочно гладкую кривую называют простым замкнутым контуром, или, короче, контуром. Кривые из пп. а), б), г), д), е) являются гладкими; п. в) дает пример кусочно гладкой кривой с особой точкой z = 0 (так как z (0) = 0 ); кривая п. ж) кусочно гладкая с особыми точками z = +1, z = +i.

Определения.

Примеры.

2.3. Множества на комплексной плоскости
Множество E называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей E . Непустое множество D на комплексной плоскости называется областью, если D открытое и связное множество. Простая замкнутая кривая разбивает комплексную плоскость C на две области внутреннюю (ограниченную кривой ) и внешнюю, неограниченную, содержащую бесконечно удаленную точку (она также имеет границу ). Внутреннюю по отношению к границе область будем обозначать int , а внешнюю область обозначим ext .

Теорема (Жордан).


11

Область D на плоскости называется односвязной, если любую простую замкнутую кривую, принадлежащую D, можно непрерывной деформацией стянуть к точке из D. В противном случае D является неодносвязной областью. Область D на комплексной плоскости односвязная, если для любой простой замкнутой кривой, принадлежащей D, ее внутренность также целиком лежит в D.

Примеры.
а) Открытый круг радиуса r > 0 с центром в точке z0 : {z : |z - z0 | < r }. б) Открытый круг без центра z0 : {z : 0 < |z - z0 | < r }. в) Замкнутый круг: {z : |z - z0 | r }. г) Внешность круга: {z : |z - z0 | > r }. д) Круговое кольцо с центром в точке z0 между окружностями радиусов r и R (0 < r < R) : {z : r < |z - z0 | < R }. е) Луч, выходящий из начала координат под углом к действительной оси: {z : arg z = }. ж) Внутренность угла с вершиной в точке z0 : {z : < arg(z - z0 ) < } ( - < 2 ). з) Верхняя полуплоскость: {z : Im z > 0 }. и) Прямые, параллельные координатным осям: {z : Re z = x0 }; {z : Im z = y0 } (x0 , y0 R). к) Вертикальная полоса с границами: {z : x1 Re z x2 }, здесь x1 , x2 R. л) Замкнутый прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат: {z : x1 Re z x2 , y1 Im z y2 }.

2.4. Примеры множеств, задаваемых уравнениями и неравенствами. Построение таких множеств
1. Записать в комплексной форме уравнения: а) прямой; б) окружности. а) Уравнение прямой на плоскости имеет вид bx + cy + d = 0 , b2 + c2 = 0 , b, c, d R . z+z z-z Подставляя x = , y= , получаем 2 2i

b (z + z ) - ic (z - z ) + 2d = 0 (b - ic) z + (b + ic) z + 2d = 0 ,
или

B z + B z + D = 0,
где B = b + ic , B = 0 , D = 2d . б) Уравнение
2

a (x + y ) + 2bx + 2cy + d = 0

2

2

b x+ a

+ y+

c a

2

=

b2 + c2 - ad , a2

где a = 0 , b2 + c2 - ad > 0 задает окружность на плоскости. z+z z-z После подстановки в исходное уравнение x = , y= , x2 + y 2 = z z , име2 2i ем

a z z + b (z + z ) - ic (z - z ) + d = 0 a z z + (b - ic) z + (b + ic) z + d = 0 ,
или

A zz + B z + B z + D = 0 ,
где A = a, B = b + ic , D = d , причем B B - AD = b2 + c2 - ad > 0 .


12

2. Указать множества точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным условиям (рассматриваемые ниже задачи можно решать как аналитически, так и исходя из геометрических представлений). а) |z - 4| = |z + 4i| .

1-ый способ. Так как |z - z0 | дает расстояние между точками z и z0 , то искомое множество серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки z = 4 и z = -4i . Очевидно, это прямая y = -x , или множество точек комплексной плоскости: {z = x - ix , x R}. 2-ой способ. Пусть z = x + iy , тогда по определению модуля комплексного числа

(x - 4)2 + y 2 = 1 =c z Заметим, 1 Так как z либо c = 0
б) Re

x2 + (y + 4)

2

-8x + 16 = 8y + 16 y = -x

.

что z = 0 . Пусть z = x + iy . z x - iy x = 2= 2 , то = c , откуда |z | x + y2 x2 + y 2 x = 0 это мнимая ось за исключением точки z = 0; 2 1 x 1 x- либо c = 0 x2 + y 2 = + y 2 = 2 это окружность с центром c 2c 4c 1 1 в точке z = и радиусом за исключением точки z = 0 2c 2 |c| в) |z | > 1 + Im z .

x2 + y 2 > 1 + y . Данное неравенство перепишем в виде Ясно, что оно выполнено для всех y < -1 . При y -1 имеем x2 > 1 + 2y . Итак, искомое множество часть комплексной плоскости, находящаяся под парабо1 лой y = (x2 - 1) 2

2.5. Вопросы и задачи
1. Какое множество на комплексной плоскости соответствует а) экватору сферы Римана; б) нижней полусфере при стереографической проекции ? 2. Найдите образ первой четверти комплексной плоскости на сфере Римана. 3. Докажите, что при стереографической проекции окружностям и прямым комплексной плоскости соответствуют окружности на сфере Римана. 4. Рассмотрите несколько кривых на плоскости:

a) z = t2 , c) z = t2 ,

t [0; 1]; b) z = t3 , t [0; 1]; t [-1; 1]; d) z = t3 , t [-1; 1]; ; f ) z = sin t, t [0; ]; e) z = sin t, t 0; 2 g) z = 1 + e , i) z = t + it ,
2 it

t [- ; ]; t [0; 1];

h) z =
2

1 + e it , t-,

t - ; , 2 t ( ; 2 ] ;

j ) z = t + it4 ,

t [-1; 1];


13

i k) z = t + , t

t

1 ;2 ; 2

l) z =

1 + it, t

t

1 ;2 ; 2

m) z = eat , t [0; 4 ] (a C); n) z =

1 - t2 2t i + , t [-1; 1]; 2 1+t 1 + t2 o) z = aeit + be-it , t [0; 2 ] , a, b действительные числа. Какие из этих кривых а) простые; б) замкнутые; в) гладкие; г) кусочно гладкие ? Есть ли среди этих кривых совпадающие? a) y = ax, a R; c) x2 + y 2 - 2x = 1. b ) x 2 - y 2 = a2 , a R;

5. Запишите в комплексной форме уравнения следующих линий:

6. Какие среди множеств в примерах п. 2.3 а) замкнуты; б) открыты; в) являются областями; г) односвязными областями ? Каковы границы этих множеств ? 7. Является ли односвязным множество UR () в C; в C ? 8. Изобразите множество точек плоскости, для которых выполнены следующие соотношения: a) 1 < |2z + 4i| < 4 ; b) 1 |z + 2i| 3 ; c) | - arg (2z 2 )| < ; 4 z-a z - 2i 1; f) = 1 , (|a| < 1) ; d) |z - 1| |z | ; e) 2z - i 1 - az

g ) |z |2 < Re z ; j)

h) |z |2 Im z ;

i) 2 |z | < Re z + 6 ;

1 < |z + 1| < 2 , 1 |z + 2 - i| < 3 , k) - arg (z + 1) 0 ; | arg (z + 2 - i)| < ; 2 4 1 i i i m) Im 5 ; n) Im - 1 < 1; l) Re > ; z 2 z z i i z-1 z+1 o) Im + 0; q ) Im 0; 1; p) Re z2 z-1 z+1 1 1 1 r) Re + Im > 1; s) Im Im z ; z z z t) |z 2 - 1| < 1 ; u) |z 2 - i| < 1 .
9. Какие среди множеств a) - u) предыдущей задачи являются: а) областями; б) односвязными областями ?

3. Последовательности и ряды комплексных чисел 3.1. Предел последовательности комплексных чисел Определения. Последовательность {zn } сходится к пределу z0 (z0 = ) :
n

lim zn = z0 , или: zn z0 , n ,

если > 0 N ( ) n > N |zn - z0 | < .


14

Последовательность {zn } является бесконечно большой, если

M > 0 N (M ) n > N

|zn | > M

В этом случае говорят также, что последовательность {zn } сходится к z0 = . Пусть zn = xn + iyn (n = 0, 1, 2, . . .) .

Утверждение 1.
Если rn r

n

lim zn = z0 , z0 = ,



n

lim xn = x0 , lim yn = y0 .

n

Утверждение 2. Пусть zn = rn ein , где rn = |zn | , n = arg zn , n = 1, 2 . . .
0

и n 0 , то zn z0 = r0 ei0 при n .

Примеры. Найти пределы следующих последовательностей:
n - in a) zn = ; 2in + 1 ein b) zn = n , 0 ; in c) zn = i 1+ n
n

.

a) Как было отмечено выше, теоремы об арифметических действиях с пределами остаются справедливыми для комплексных чисел, поэтому in n - in n = 1 = -i, lim = lim 1 n 2in + 1 n 2i 2 2i + n 1-
так как

in 1 = 0 n n
имеем

при n .

b) Для > 0
n

|zn | =

1 ein = 0 , когда n , следовательно, n n i n

lim zn = 0. При = 0 получаем расходящуюся последовательность zn = ein 1 = n ћ (cos n + i sin n) . n i i

Действительно, первый множитель не имеет предела при n (у этой последовательности четыре предельные точки: +1, +i), а из курса математического анализа известно, что ни одна из последовательностей {sin n}, {cos n} не является сходящейся.

c) Используем представление числа в показательной форме:
где

cn = 1 +

i = rn ein , n

1 , n2 Существуют пределы rn = 1+
n

tg n =

1 . n
n 2

R = lim (rn ) = lim
n

n

1 1+ 2 n

= 1;

= lim n n = lim n tg n = 1
n n

(при вычислении второго предела мы использовали эквивалентность бесконечно малых при n величин n и tg n ). Поэтому в силу утверждения 2 существует предел
n

lim (cn ) n = R e

i

= ei = cos 1 + i sin 1


15

3.2. Ряды комплексных чисел Определения. Ряд



zn ,
n=1 n

(1)

членами которого являются комплексные числа zn = xn + iyn , называется сходящимся, если сходится последовательность {sn } его частичных сумм: число s = lim sn является суммой этого ряда.
n

sn =
k=1

zk . При этом

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
n=1

|zn | .

(2)

Утверждение 3. Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды


x
n=1

n

и
n=1

y

n

одновременно.

Утверждение 4 (критерий Коши сходимости ряда).
Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда
n+p

> 0 N ( ) n > N , p N |s

n+p

- sn | =
k=n+1

zk < .

Утверждение 5 (необходимое условие сходимости ряда).
Если ряд (1) сходится, то lim zn = 0 .
n

Утверждение 6.

Если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1). Для ряда (2) применимы известные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (признаки сравнения, Даламбера, Коши, Гаусса, интегральный признак и т.д.)

Утверждение 7 (признаки абсолютной сходимости ряда).

Примеры. Исследовать сходимость следующих рядов:


a)
n=1

5in2 + in ; 3n2 - 2ni



b)
n=1

nћ

3

3 + 4i 10i

n



;

c)
n=1

2i - n i 2n ; n2 + 1

in 5i + 2 5in2 + in n = 5i = 0 , lim = lim 2 - 2ni 2i n 3n n 3 3- n поэтому ряд расходится.
n 3 + 4i 3 + 4i 1 1 |zn | = n b) При n = ( n n)3 = ( n n)3 < 1 , 10i 10i 2 2 значит, данный ряд сходится абсолютно согласно признаку Коши.
n

a)

n

3

n

c) 2i - n i 2n n 2 = (-1)n+1 2 +i 2 , 2+1 n n +1 n +1


16

n 2 и (-1)n+1 2 сходятся (пер2+1 n n +1 n=1 n=1 вый по признаку сравнения, второй по признаку Лейбница), следовательно, сходится и данный ряд
ряды с вещественными членами





3.3. Вопросы и задачи
1. Следует ли из сходимости последовательности {|zn |} сходимость последовательности {zn } ? 2. В каких случаях сходимость последовательности {|zn |} равносильна сходимости последовательности {zn } ? 3. Покажите, что утверждение, обратное к утверждению 2, вообще говоря не верно. При каких дополнительных условиях оно имеет место? 4. Верно ли утверждение: если последовательность {zn = xn + iyn } бесконечно большая, то хотя бы одна из последовательностей {xn } или {yn } также бесконечно большая? 5. Докажите, что любая последовательность в C содержит сходящуюся подпоследовательность. 6. Найдите lim zn (если он существует) для следующих последовательностей:
n

a) zn = n sin c) zn = arg

1+i 2 3n + 1 +i ; b) zn = (1 - i)n ћ n n 2i + 1 in in ; d) zn = arg -2 + ; 2+ n n
n

2n

;

e) zn = (3 - 4i) ћ g ) zn = i 2+i
n2

1 + in 2in + 1

n

;

f ) zn =

2 1 + i sin n

n

;
n

1 ; h) zn = n

1 + cos + i sin 2

, R.

7. Найдите все комплексные числа z , для которых сходится последовательность {cn }. Вычислите пределы этих последовательностей: zn a) cn = (2iz )n ; b) c n = ; c) cn = nk ћ z n k Z . 1 + zn 8. Исследуйте сходимость следующих рядов:


a)
n=1

2n2 - 3nin ; 3in2 - 5 1 e n
i n

b)
n=1

in ; i n + 2n 1 + e- 2i
i n

c)
n=1

(4i)n ; n!

d)
n=1

;

e)
n=1



nћ

,

(0, 2 ).


17

4. Функции комплексной переменной. Непрерывность 4.1. Определения и примеры Определение. Пусть E , F C. Говорят, что на множестве E определена функция

комплексной переменной (ФКП) f : E F , или w = f (z ), если z E w F : w = f (z ) .

Определение. ФКП w = f (z ) называется однолистной на множестве G E , если z1 , z2 G , z1 = z2 w1 = w2 . (т.е. обратная к ней функция является однозначной). Пусть на некотором множестве E определена однозначная функция w = f (z ). Обозначим w = u+iv , z = x+iy (x, y , u, v R). Тогда задание ФКП w = f (z ) равносильно заданию пары действительнозначных функций двух вещественных переменных, которые определены на множестве плоскости Oxy , соответствующем E (сохраним для него обозначение E ). Примеры.
а) Линейная функция w = az + b , a, b C. Это однозначная, определенная на C ФКП. При a = 0 она однолистна, имеет одw-b , также определенную на всем C. нозначную обратную функцию z = a б) Функция w = z 2 однозначна, определена на C. Это неоднолистная ФКП, так как w(-z ) = (z ) . Она имеет двузначную обратную функцию, также определенную w на C : z = w (при всех w = 0 корень имеет ровно два различных значения). в) ФКП w = z 2 , z C , порождает пару функций u = x2 - y 2 ; v = 2xy , определенных на всей плоскости Oxy . z определена при z = 0, не является однолистной на множестве г) Функция w = z определения, так как w(-z ) = w(z ). z z2 x2 - y 2 2xy Поскольку = 2 , то u = 2 , v=- 2 . 2 z |z | x +y x + y2

4.2. Некоторые элементарные функции комплексной переменной
a) Степенная функция. Степенная (с натуральным показателем) функция имеет вид w = zn ,
где n N , n > 1 . Областью однолист-

Функция определена z C , она является n-листной в C.

ности степенной функции является внутренность всякого угла {z : < arg z < } , -

2 . n

b) Обратная к степенной функция w = n z (n N, n > 1)
определена в C и является n-значной:

w(0) = 0 , arg z + 2 k , n kZ (z = 0) . (1)

w=

n

|z | ћ e

i

k

,

где k =

Фиксируя значение k , получаем так называемую однозначную ветвь w = n z k данной многозначной функции. Существует ровно n различных однозначных ветвей.


18

c) Показательная функция. По определению: ez = ex (cos y + i sin y ) ,

z = x + iy .

(2)

Из (2) следует периодичность функции ez с периодом T = 2 i k , k Z, k = 0 , значит, определенная в C показательная функция неоднолистна в комплексной плоскости (бесконечнолистна).

d)

Логарифмическая функция.

Логарифмическая функция w = Ln z в комплексной плоскости вводится как функция, обратная к показательной (2). Эта функция определена в C \ {0}. Логарифмическая функция бесконечнозначна.

Ln z = ln |z | + i Arg z = ln |z | + i (arg z + 2 k ) , k Z .

(3)

Задавая в (3) значение k , получаем однозначную ветвь (Ln z )k логарифмической функции. Ограничившись рассмотрением главного значения аргумента (при k = 0), приходим к главному значению логарифма 1 :

ln z = ln |z | + i arg z . e) Тригонометрические функции.
По определению:

(4)

cos z =

eiz + e-iz , 2

sin z =

eiz - e-iz , 2i

tg z =

sin z , cos z

ctg z =

cos z . sin z

Справедливы все формулы тригонометрии, известные из курса элементарной математики.

f ) Обратные тригонометрические функции.
Введем значения w = Arccos z как множество решений относительно w уравнения

z = cos w eiw + e-

iw

= 2z

Решая это уравнение (см. ниже примеры из п. 2), получаем равенство Arccos z = -i Ln (z + z 2 - 1) ,

(5)

определяющее бесконечно много чисел (здесь можно использовать какое-то одно из пары значений z 2 - 1 ). Аналогично Arcsin z = -i Ln (iz + 1 - z 2 ) ; (6)

1 - iz i Ln , z = +i. (7) 2 1 + iz g ) Гиперболические функции комплексной переменной определяются аналогично вещественному случаю: Arctg z = ch z = ez + e-z , 2 sh z = ez - e-z . 2

1 Используемое в правой части формул (3), (4) обозначение ln относится к логарифму положительного действительного числа |z |, определенному в курсе элементарной математики.


19

Отметим полезные равенства (они проверяются непосредственно):

ch2 z - sh2 z = 1 (основное тождество) cos (iz ) = ch z , sin (iz ) = i sh z , (8) (9) (10)

ch(z1 + z2 ) = ch z1 ch z2 + sh z1 sh z2 , sh(z1 + z2 ) = sh z1 ch z2 + ch z1 sh z2 .

Из равенств (8) очевидна неограниченность в C тригонометрических функций sin z и cos z .

Примеры.
1. Найти действительную и мнимую части следующих чисел: a) sin(4 - 3i) ; b) ln(1 + i) ; c) Ln( 3 - i) .

a) c = sin(4 - 3i) = sin 4 ћ cos 3i - cos 4 ћ sin 3i = sin 4 ћ ch 3 - i cos 4 ћ sh 3 . Итак, Re c = sin 4 ћ ch 3 , Im c = - cos 4 ћ sh 3 . b) c = ln(1 + i) = ln |1 + i| + i arg(1 + i) = ln 2 + i , 4 1 значит, Re c = ln 2 , Im c = . 2 4 c) c = Ln( 3 - i) = ln | 3 - i| + i Arg( 3 - i) = ln 2 + i - + 2 k , 6 k Z , откуда Re c = ln 2 , Im c = - + 2 k 6
2. В каких точках комплексной плоскости функция ch z принимает тельные значения; b) чисто мнимые значения ? Так как

a) действито

ch z = ch (x + iy ) = ch x ch iy + sh x sh iy = ch x cos y + i sh x sin y , sh x = 0 sin y = 0

a) Im (ch z ) = 0 sh x sin y = 0

x=0 y = n , n Z; b) Re (ch z ) = 0 ch x cos y = 0 cos y = 0 y = + n, n Z 2
3. Доказать, что

Ln (z1 z2 ) = Ln z1 + Ln z2 , где z1 , z2 C, z1 , z2 = 0.

Пусть c1 = Ln z1 , c2 = Ln z2 , тогда, согласно определению логарифма, z1 = e , z2 = e c2 . Поэтому z1 z2 = e c1 ћ e c2 = e c1 +c2 , значит, c1 + c2 = Ln(z1 z2 ) , что и требовалось
c
1

4. Решить уравнения:

a) sin z = 0 ;

b) cos z = i .

a) Используя определение sin z , после замены t = eiz приходим к уравнению t-
Отсюда

1 = 0 t2 = 1 e2iz = 1 . t k Z.

2iz = Ln 1 = i 2 k z = k ,

Итак, синус в комплексной плоскости имеет те же самые нули, что на вещественной прямой.


20

b) Аналогично предыдущему приходим к уравнению t+
Отсюда

1 = 2i t2 - 2i t + 1 = 0 . t -2 t1 = (1 + 2) i t2 = (1 - 2) i .

t=i+

Из равенства t = eiz имеем iz = Ln t z = -i Ln t . Первое из значений t дает серию решений z = -i Ln(1 + 2) i = -i ln |1 + 2| + i + 2 k = 2 + 2 k - i ln(1 + 2) , = 2 а второе: = z = -i Ln(1 - 2) i = -i ln |1 - 2| + i - + 2 k 2 = - + 2 k - i ln( 2 - 1) , k Z 2

4.3. Предельное значение ФКП
Пусть f (z ) однозначная функция, определенная в некоторой проколотой окрест ности U точки z0 = x0 + iy0 . Предел f (z ) в точке z0 , определяется в точности так же, как в вещественном случае (и в смысле Коши, и в смысле Гейне).

Теорема 4.1. Пусть f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ), z0 = x0 + iy0 , l = a + ib. Тогда
z z

lim f (z ) = l
0



u(x, y ) a , v (x, y ) b

при

x x0 , y y0 .

На комплексный случай переносятся все теоремы об арифметических действиях с пределами функций из вещественного анализа.

4.4. Непрерывность функции Определение. Функция f (z ) непрерывна в точке z0 множества E , если существует
z z

lim f (z ) = f (z0 ) ,
0

т.е.

> 0 ( ) > 0 z E : |z - z0 | < |f (z ) - f (z0 )| < .

Определение. Функция f (z ) непрерывна на множестве E , если она непрерывна в каждой точке E (обозначение: f C (E )). Теорема 4.3. Непрерывность f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ) в точке z0 = x0 + iy0 равносильна непрерывности двух функций u(x, y ) и v (x, y ) по совокупности переменных (x, y ) в точке (x0 , y0 ).
На комплексный случай переносятся утверждения вещественного анализа о непрерывности суммы, произведения и частного двух функций, а также о непрерывности сложной функции. Сохраняются определение равномерной непрерывности f (z ) на множестве E :

> 0 ( ) > 0 z1 , z2 E : |z1 - z2 | < |f (z1 ) - f (z2 )| < ,


21

а также утверждение теоремы Кантора.

Примеры 1. Исследовать непрерывность ФКП:
a) f (z ) = z . Если z = x + iy , то f (z ) = x - iy = u + iv . Так как u(x, y ) = x , v (x, y ) = -y

функции, непрерывные всюду в R2 , то функция f (z ) непрерывна на всей комплексной плоскости C

b) f (z ) = arg z , где arg z [ 0; 2 ).
Функция f (z ) = arg z , определенная при z = 0, разрывна на положительной вещественной полуоси R+ . В самом деле, пусть z0 = x0 > 0. Тогда для двух различных i i последовательностей zn и zn , сходящихся к z0 , а именно: zn = x0 + и zn = x0 - n n имеем arg zn 0 при n , в то время как arg zn 2 . Непрерывность f (z ) в остальных точках C очевидна

c) f (z ) = z n , n N .
Очевидно, функция f (z ) = z непрерывна в любой точке C. При n > 1 функция непрерывна всюду в C как произведение конечного числа непрерывных функций (см. теорему 4.4) d) f (z ) = ( z )0 одна из двух однозначных ветвей квадратного корня (0 arg z < 2 ). Из (1) при n = 2 , k = 0 получаем f (z ) = |z | e 2 arg z , z = 0, f (0) = 0 . Таким образом, arg z arg z f (z ) = u + iv = |z | cos + i sin 2 2 + функция, непрерывная всюду, кроме луча R (таким свойством, очевидно, обладают функции u и v ). Поскольку функция arg z терпит разрыв на R+ (см. пример b)), то f (z ) также разрывна на этой полупрямой. Действительно, пусть z = x0 > 0. Тогда lim f (z ) = x0 (cos 0 + i sin 0) = x0 = f (x0 ) ,
z x0 , Im z >0
i

z x0 , Im z <0

lim

f (z ) =



x0 (cos + i sin ) = - x0 ,

так что не существует

z x

lim f (z )
0

ной ветви корня: f (z ) = ( z )k .
n

Замечание. Аналогично устанавливается непрерывность в C \ R
e) f (z ) = ez . ez = ex (cos y + i sin y ) , поэтому u(x, y ) = ex cos y , v (x, y ) = ex sin y .

+

k -ой однознач-

Функции u(x, y ), v (x, y ) непрерывны всюду в R2 , следовательно, f (z ) = ez непрерывна на всей комплексной плоскости C


22

f ) f (z ) = sin z .
Функция непрерывна на C. Действительно, согласно теореме 4.5 при любом z eiz - e-iz непрерывны функции eiz и e-iz а по теореме 4.4 непрерывна 2i Re z , z = 0, g ) f (z ) = z 1, z = 0.

Re z x x (x + iy ) = =2 . Всюду, кроме точки (0, 0), функции z x - iy x + y2 xy x2 , v (x, y ) = 2 непрерывны, следовательно, f (z ) непрерывна при u(x, y ) = 2 2 x +y x + y2 z = 0. В точке (0, 0) не существует предельного значения ни u(x, y ), ни v (x, y ). В самом деле, переходя к полярным координатам x = r cos , y = r sin , например, для v (x, y ) имеем r2 cos sin lim v (x, y ) = lim 2 = lim cos sin , r 0 r (cos2 + sin2 ) r 0 (x,y )(0,0)
Преобразуем так что результат различен при разных значениях . Поэтому в точке z = 0 функция f (z ) имеет неустранимый разрыв z Im z , z = 0, h) f (z ) = |z | 0, z = 0. Так как функции z , Im z , |z | непрерывны всюду, то по теореме 4.4 f (z ) непрерывна при z = 0. Для исследования непрерывности в точке z = 0 найдем

(x + iy ) y z Im z = , |z | x2 + y 2
следовательно, u(x, y ) = Вычислим

xy x2 + y
2

, v (x, y ) =

y

2 2

x2 + y

.

(x,y )(0,0)

lim

u(x, y ) = lim

r 0

r2 cos sin = lim r cos sin = 0 , r 0 r r2 sin2 = 0. r

(x,y )(0,0)

lim

v (x, y ) = lim

r 0

Поэтому существует lim f (z ) = 0 = f (0) ,

z = 0, так что f (z ) непрерывна всюду в C

z 0

значит, эта функция непрерывна в точке

2. Исследовать следующие функции на равномерную непрерывность на множестве E = {z : 0 < |z | < 1 } : Re z ћ Im z Re z ћ Im z a) f (z ) = ; b) f (z ) = . |z | |z |2


23

a) Очевидно, функция f (z ) = E . Так как существует предел
z 0

xy x2 + y lim
2

непрерывна во всех точках множества

lim f (z ) =

xy x2 + y
2

(x,y )(0,0)

=0

f (z ) , 0 < |z | 1 , определена и непрерывна 0, z = 0 на ограниченном замкнутом множестве E = {z : |z | 1}. Тогда по теореме Кантора F (z ) равномерно непрерывна на E , следовательно, равномерно непрерывна на E . Последнее означает равномерную непрерывность на E функции f (z ). xy b) Как установлено в примере 1g ), функция f (z ) = 2 не имеет предела в x + y2 точке x = 0, y = 0. Покажем, что она не является равномерно непрерывной на E . 1 1 (n) (n) В самом деле для значений z1 = (1 + i), z2 = , при любых n N, n > 1, имеем n n 1 1 (n) (n) (n) (n) (n) (n) z1 , z2 E , f (z1 ) = , f (z2 ) = 0. Поэтому хотя расстояние z1 - z2 = может 2 n быть сделано сколь угодно малым, для соответствующих значений функции имеем
(см. пример 1h)), функция

F (z ) =

f (z1 ) - f (z2 ) =

(n)

(n)

1 2

доопределена по непрерывности в точке z = 0, а во втором нет.

Замечание. Обратите внимание, что первом случае данная функция может быть

4.5. Вопросы и задачи
1. Для комплексного числа c найдите Re c , Im c , Arg c , arg c :

a) c = -3i e-5i ; a) c = cos (1 - 3i) ;

b) c = -2 e4+5i . b) c = sh (3 + i) ; c) c = ln (-2ei) ; d) c = Ln (-2 + i 2 3) .

2. Для комплексного числа c найдите Re c , Im c : 3. Докажите формулы (7)(9). 4. Докажите следующие соотношения:

a) sin z = sin z ;

b) | sh y | | cos z | ch y

(z = x + iy ).
а) дей-

5. В каких точках комплексной плоскости функции ez ; sin z принимают ствительные значения; б) чисто мнимые значения ? 6. Решите уравнения:

a) eiz = cos z ;

b) sin 2z = i ;

c) ch z = 0 ; a) tg z = i ,

d) sh z =

i . 2

7. Имеют ли решения в C уравнения 8. Докажите формулы (4)(6). 9. Докажите, что

b) th z = -1 ?

Ln

z1 = Ln z1 - Ln z2 , где z1 , z2 C, z1 , z2 = 0. z2


24

10. Верны ли равенства z = 0?

a) Ln z 2 = Ln z + Ln z ;

b) Ln z 2 = 2 Ln z ,

где

z C,

11. Сформулируйте, что означают следующие утверждения:

a) lim f (z ) = (z0 = ) ;
z z
0

b) lim f (z ) = w0 (w0 = ) ;
z

c) lim f (z ) = .
z

12. Вычислите следующие пределы: sin 2z e2z + 1 a) lim ; b) limi z ; z 0 sh iz z - 2 e + i

c)

z

lim i
4

ch z + sin iz . ch 2z

13. Верно ли, что функция, непрерывная на множестве E , ограничена на этом множестве ? 14. Докажите, что если функция f (z ) непрерывна на множестве E , то функция |f (z )| также непрерывна на этом множестве. Верно ли обратное утверждение ? 15. Исследуйте на непрерывность однозначные ветви функций: a) f (z ) = n z k ; b) f (z ) = (Ln z )k при условии, что 1) arg z [ 0; 2 ) ; 2) arg z (- ; ] . 16. Исследуйте следующие функции на непрерывность:

a) f (z ) = tg z ;

b) f (z ) = ln2 z ;

c) f (z ) = ez ; z = 0, = 0; z2 , z = 0, |z |2 1, z = 0.

ch z d) f (z ) = ; 1 + sh2 z f ) f (z ) =

-1 e |z | , e) f (z ) = 0, z 1 e- z4 , z = 0, g ) f (z ) = 0, z = 0;

17. Пусть функция равномерно непрерывна на множестве E . Следует ли отсюда ее ограниченность на этом множестве ? 18. Исследуйте следующие функции на непрерывность и равномерную непрерывность на множестве E = {z : 0 < |z | < 1 } :

1 ; b) f (z ) = ctg z ; c) f (z ) = ln z ; 1 + z2 1 z2 -1 d) f (z ) = ; e) f (z ) = e- z2 ; f ) f (z ) = e |z|2 ; |z | a) f (z ) = g ) f (z ) = e
1 z 2 -1

;

h) f (z ) = e

1 |z |2 - 1

.

19. Исследуйте функцию f (z ) = e

на непрерывность и равномерную непрерыв3 ность на множествах E1 = z : 0 < |z | < 1, | arg z | > ; 4 E2 = z : 0 < |z | < 1, | arg z | > . Здесь arg z (- , ]. 2

1 z


25

20. Пусть E ограниченное множество, а E его замыкание. Докажите, что функцию f (z ), определенную и непрерывную на E , можно продолжить по непрерывности на множество E тогда и только тогда, когда эта функция равномерно непрерывна на E .

5. Дифференцируемость ФКП. Условия Коши-Римана 5.1. Дифференцируемость ФКП
Пусть f однозначная ФКП, определенная в окрестности точки z , а z приращение значения аргумента, настолько малое, что z + z также принадлежит указанной окрестности; f (z ) = f (z + z ) - f (z ). Если существует конечный предел

f (z ) = lim

z 0

f (z ) , z

то он называется производной функции f в точке z , а f (z ) является дифференцируемой в этой точке. Функция f (z ) дифференцируема на множестве E , если она дифференцируема в каждой точке E (т.е. в любой точке E существует f (z )). Сохраняются все теоремы об арифметических операциях над дифференцируемыми функциями, а также формулы дифференцирования. Остается справедливой теорема о дифференцируемости сложной функции.

руема в точке z = x + iy , необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y ) и v (x, y ) были дифференцируемы в точке (x, y ) как функции двух действительных переменных и чтобы в этой точке были выполнены равенства u (x, y ) = v (x, y ) , x y u (x, y ) = - v (x, y ) y x
(эти равенства называются условиями Коши-Римана). форм:

5.2. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости ФКП Теорема 5.1. Для того. чтобы функция f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ) была дифференци-

Замечания. 1) Производная f (z ) может быть записана в любой из следующих
f (z ) =

df = ux + ivx = vy - iuy = ux - iuy = vy + ivx . dz 2) Из курса математического анализа известно, что достаточным условием дифференцируемости вещественной функции двух переменных u(x, y ) является непрерывность ее частных производных ux , uy .
3) Введем обозначение для дифференцируемой на множестве E вещественной функции двух переменных: u D(E ) .

5.3. Примеры

Исследовать дифференцируемость ФКП.


26

a) f (z ) = z . f (z ) = x - iy = u + iv , поэтому u(x, y ) = x , v (x, y ) = -y .

Функции u(x, y ), v (x, y ) D(R2 ), однако условия Коши-Римана не выполнены ни в одной точке, так как v u =1= = -1 . x y Таким образом, ФКП f (z ) нигде не дифференцируема

b) f (z ) = z n , n N . Используя для z = 0 показательную форму представления z = r ei , получаем f (z ) = rn ein , поэтому u(r, ) = rn cos n ,
Функции u(r, ), v (r, ) D(R2 ).

v (r, ) = rn sin n .

Вычислим

u = nr r

n-1

cos n ,

u = -n rn sin n , v = n rn cos n .

v = nr r

n-1

sin n ,

Очевидно, условия Коши-Римана, записанные в полярных координатах (см. задачу 1 п. 5.4), всюду выполнены. Итак, доказано, что f (z ) всюду (кроме точки z = 0) дифференцируема, причем

f (z ) =

r ћ nr z

n-1

cos n + i n r

n-1

sin n = n z

n-1

.

Дифференцируемость z n в точке z = 0 легко показать на основе определения:

f (0) = lim

z 0

(z )n f (0) = lim = z 0 z z

1, 0,

n=1 n>1

c) f (z ) = ez . ez = ex (cos y + i sin y ) , поэтому u(x, y ) = ex cos y , v (x, y ) = ex sin y .

Функции u(x, y ), v (x, y ) D(R2 ), а условия Коши-Римана выполнены всюду в R2 (проверьте!) Следовательно, ФКП f (z ) = ez дифференцируема на всей комплексной плоскости C, причем

f (z ) = ux + ivx = ex cos y + i ex sin y = ex (cos y + i sin y ) = ez d) f (z ) = sin z . Функция дифференцируема в любой точке C. Действительно, поскольку всюду существуют производные функций ez , iz , то дифференцируемы сложные функции (eiz ) = i eiz , (e-iz ) = -i e-iz ,


27

а также их линейная комбинация

eiz - e-iz . Поэтому всюду существует 2i
iz

(sin z ) =

eiz - e- 2i

eiz + e- = 2

iz

= cos z

e) f (z ) = tg z . Выше доказано, что функция sin z дифференцируема в любой точке C. Аналогично устанавливается то же свойство функции cos z . Тогда при cos z = 0 т.е. для z = + n, n Z, существует производная tg z , причем 2 (tg z ) = sin z cos z = 1 cos2 z

f ) f (z ) = z Im z . Находим u(x, y ) = xy ; v (x, y ) = y 2 . Очевидно, u, v D(R2 ). Поскольку условия Коши-Римана приводят к системе уравнений y = 2y , x=0 y = 0, x = 0,

данная функция дифференцируема только при z = 0. Теперь находим f (0) = ux (0, 0)+ ivx (0, 0) = 0

g ) f (z ) = (Im z )2 . Здесь u(x, y ) = y 2 D(R2 ) ; v (x, y ) = 0 D(R2 ) . Из условий Коши-Римана получаем систему уравнений 0 = 0, 2y = 0 y = 0.

Таким образом, данная функция дифференцируема во всех точках действительной оси: Im z = 0. Для таких значений z по формуле из замечания 1 находим f (z ) = 0

h) f (z ) =

| Re z ћ Im z | .

(x, y ) = |x ћ y | ; v (x, y ) = 0 D(R2 ) . 0. точку, расположенную во второй четверти На этом множестве u(x, y ) = -x ћ y y дифференцируемая функция, причем ux = - = 0 = vy . Таким образом, условия 2 -x Коши-Римана здесь не выполнены. Аналогичным образом дело обстоит внутри любой из оставшихся четвертей плоскости. Рассмотрим далее точку, лежащую на какой-либо координатной оси, например, (0; y ), y = 0. Предел, вычисляемый согласно определению частной производной: ux (0, y ) = lim
не существует.

В принятых выше обозначениях u Заметим, сначала, что всюду vx = vy = Пусть xy = 0. Рассмотрим к примеру координатной плоскости: x < 0, y > 0.

x0

u(x, y ) - u(0, y ) = lim x0 x

|x| ћ x

|y |

,


28

Остается рассмотреть точку (0; 0). Используя определение, находим

ux (0, 0) = lim

x0

u(x, 0) - u(0, 0) = 0, x

uy (0, 0) = lim

y 0

u(0, y ) - u(0, 0) = 0. y

Итак, условия Коши-Римана выполнены в точке z = 0 и только в ней. Требование дифференцируемости u(x, y ) в (0, 0) означает, что приращение

u(0, 0) = u(x, y ) - u(0, 0) =
при =

|x| ћ

|y |

|x|2 + |y |2 0 может быть представлено в виде u(0, 0) = ux (0, 0) x + uy (0, 0) y + o() ,

т.е.

|x| ћ

|y | = o( |x|2 + |y |2 )

(x,y )(0,0)

lim

|x| ћ |2

|y |

|x + |y |2

= 0,

что, как легко убедиться, неверно. Следовательно, u(x, y ) не дифференцируема в точке (0; 0). Итак, данная функция f (z ) нигде не дифференцируема. (Обратите внимание: в точке z = 0 условия Коши-Римана выполнены, f (0) не существует по причине недифференцируемости u(x, y ))

5.4. Вопросы и задачи
1. Получите формулы, выражающие условия Коши-Римана и производную в полярных координатах 1 v u =ћ , u v r r r +i . f (z ) = ћ v 1 u z r r =- ћ r r

f 2. Покажите, что уравнение = 0 , где f рассматривается как функция незавиz симых переменных z и z , равносильно условиям Коши-Римана.
3. Исследуйте данные функции на дифференцируемость; найдите их производные там, где они существуют: z2 1 a) f (z ) = ez ; b) f (z ) = 2 c) f (z ) = ; 2; z ch z - sh z 1 d) f (z ) = ; e) f (z ) = z ћ |z |2 ; f ) f (z ) = (z )2 ; z g ) f (z ) = sin z ; h) f (z ) = cos (z 2 ) ;

i) f (z ) = cos x + i sin y

(z = x + iy ) .
1

4. Покажите, что для функции

e z4 , z = 0; в точке z = 0 выпол0, z = 0, нены условия Коши-Римана, однако она не дифференцируема в этой точке. f (z ) =


29

6. Аналитические функции. Связь аналитичности с гармоничностью 6.1. Аналитические функции и их свойства Определения.
Функция f называется аналитической в области D, если она имеет в этой области непрерывную производную. Обозначение: f A(D) . Замечание. Наряду с термином "аналитическая"в литературе встречаются иные названия такой функции: регулярная, голоморфная. Функция f называется аналитической в точке z0 , если она аналитична в некоторой окрестности этой точки. Обозначение: f A(z0 ) . Функция f аналитична в замкнутой области D, если существует такая область D1 , что D D1 и f A(D1 ) . Обозначение: f A(D) . Среди примеров п. 5.3 только функции b), c), d), e) являются аналитическими (причем первые три из них аналитичны в C, функция tg z аналитична всюду, где диффе ренцируема, т.е. при z = + n, n Z). Функции f ), g ) дифференцируемы на некото2 рых множествах, но нигде не аналитичны; функции a), h) нигде не дифференцируемы, следовательно, не аналитичны.

Примеры.

а) f A(D) f C (D) ; б) f , g A(D) f + g A(D) ; в) f , g A(D) f ћ g A(D) ; f г) f , g A(D) , g = 0 A(D) . g

Теорема 6.1 (свойства аналитических функций).

Пусть функция f аналитична в области D, а функция g аналитична в области G, содержащей образ области D. Тогда сложная функция g (f (z )) A(D). Пусть однозначная функция w = w(z ) аналитична в точке z0 , причем w (z0 ) = 0 . Тогда в некоторой окрестности точки w0 = w(z0 ) существует однозначная обратная функция z = z (w), аналитическая в точке w0 , причем

Теорема 6.2 (аналитичность сложной функции).

Теорема 6.3 (аналитичность обратной функции).

z (w0 ) =

1 . w (z0 )

Замечание. Утверждение теоремы 6.3 имеет локальный характер. Как показывают следующие примеры, однозначная аналитическая в области D функция w, для которой w (z ) = 0 z D, может иметь неоднозначную обратную функцию.
a) Среди примеров п. 5.3 только функции b), c), d), e) являются аналитическими (причем первые три из них аналитичны в C, функция tg z аналитична всюду, где дифференцируема, т.е. при z = + n , n Z). Функции f ), g ) дифференцируемы на 2 некоторых множествах, но нигде не аналитичны; функции a), h) нигде не дифференцируемы, следовательно, не аналитичны.

Примеры.


30

b) Степенная функция с показателем n > 1 аналитична в C. отмечено, что однозначная ветвь обратной к ней функции ( n z )k =
n

Выше, в п. 4.4,

|z | (cos k + i cos k ) , где k =

arg z + 2 k , n

непрерывна в C \ R+ . Докажем, что f (z ) аналитична в той же области. По определению, если w = ( n z )k , то z = wn . Так как в любой точке w = 0 существует z = nwn-1 = 0 , то в силу теоремы 6.3 по формуле (1) имеем:

w (z ) =

1 1 1 = = n-1 , n-1 n z (w) nw n ( z )k

т.е. в любой точке C \ R+ существует непрерывная w (z ).

c) Показательная функция аналитична в C. Из рассмотрений пп. 4.2, 4.4 следует, что обратная к ней функция w = Ln z бесконечнозначна, при этом каждая из однозначных ветвей w = (Ln z )k = ln |z | + i (arg z + 2 k ) , k Z,

непрерывна в области C \ R+ (здесь arg z [0 ; 2 ) ). Поскольку z = ew = 0 , то в соответствии с теоремой 6.3 всюду в этой области функция w = (Ln z )k имеет непрерывную производную

w (z ) = (Ln z )k =

1 1 1 = w= , z (w) e z

следовательно, аналитична в C \ R+ . Заметим, что производная не зависит от k

6.2. Связь аналитичности и гармоничности Определения. Функция двух действительных переменных u(x, y ) называется гармонической в области D, если u C 2 (D) и u = 0 , (x, y ) D. Обозначение: u H(D). 2u 2u Здесь u = + оператор Лапласа, а u = 0 уравнение Лапласа. x2 y 2
Две функции u(x, y ), v (x, y ) называются сопряженными (гармонически сопряженными), если они удовлетворяют в D условиям Коши-Римана.

Теорема 6.4. Функция w = f (z ) = u + iv A(D) тогда и только тогда, когда u и v гармонические и сопряженные функции в D. 6.3. Задача восстановления аналитической функции Утверждение 1. Пусть в некоторой односвязной области D задана одна из функ-

ций u(x, y ) или v (x, y ), являющихся соответственно действительной или мнимой частью f (z ) A(D). Тогда вторая из них может быть найдена единственным (с точностью до аддитивной константы) образом:
(x,y )

v (x, y ) =
(x0 ,y0 )

-uy dx + ux dy + C ,

где (x0 , y0 ) фиксированная точка D, а C R произвольная постоянная.


31

Замечание. Неизвестную функцию v (x, y ) можно найти, решив систему уравнений Коши-Римана (см. ниже пример b)).
Так как для f (z ) A(D), f (z ) = 0 имеем Ln f (z ) A(D), то справедливо Утверждение 2. Пусть в некоторой односвязной области D для аналитической функции f (z ) = 0 известна одна из функций |f (z )| или Arg f (z ). Тогда вторая из них, а следовательно и функция f (z ), может быть найдена единственным (с точностью до мультипликативной константы) образом.

Замечание. Прежде чем находить аналитическую функцию f (z ) по неполной информации в соответствии с утверждениями 12, надо удостовериться в ее существовании, т.е. проверить гармоничность исходной функции u(x, y ) (или v (x, y )). Примеры. Найти аналитическую функцию f (z ) (если она существует) по заданной функции a) Re f (z ) = x2 ; b) Im f (z ) = x + y + xy ; c) |f (z )| = e2xy .
a) Для u(x, y ) = x2 имеем uxx + uyy = 2 = 0 . Так как эта функция не является гармонической, в соответствии с теоремой 6.4 аналитической функции, для которой она служит действительной частью, не существует b) Легко проверить, что v (x, y ) = x + y + xy H(R2 ), следовательно, существует f (z ) A(C), v (x, y ) = Im f (z ). Найдем теперь гармонически сопряженную функцию u(x, y ) из равенств Коши-Римана: ux = 1 + x , uy = -1 - y . x2 Интегрируя первое из равенств по x, имеем u(x, y ) = x + + C (y ). Функцию C (y ) 2 найдем после подстановки полученного выражения во второе уравнение системы: C (y ) = -1 - y ,
Поэтому

y2 откуда C (y ) = -y - +C. 2

x2 - y 2 + C , так что 2 x2 - y 2 1 f (z ) = + (x - y ) + C + i (x + y + xy ) = z 2 + (1 + i) z + C, 2 2 u(x, y ) = x - y +

где C R

c) Во-первых, заметим, что u(x, y ) = ln |f (z )| = 2xy H(R2 ), поэтому существует f (z ) A(C) с заданным модулем. Для нахождения гармонически сопряженной функции v (x, y ) = Arg f (z ) воспользуемся равенством (3):
(x,y )

v (x, y ) =
(0,0) (x,y )

-uy dx + ux dy + c =

=
(0,0)

-2x dx + 2y dy + c = -x2 + y 2 + c.
Arg f (z )

Тогда

f (z ) = |f (z )| ei

= e2

xy

ћ ei(

- x2 + y 2 + c)

= e-

iz

2

ћ eic ,

cR

6.4. Вопросы и задачи.


32

1. Пусть f (z ) A(D), f (z ) = const. f (z ) и f (z ) ?

Следует ли отсюда аналитичность функций

2. Пусть f (z ) A(D) и всюду в области D выполнено одно из условий:

a) Re f (z ) = const ; b) Im f (z ) = const ; c) |f (z )| = const ; d) arg f (z ) = const . Докажите, что тогда f (z ) постоянна в D.
3. Исследуйте дифференцируемость и аналитичность следующих функций:

a) f (z ) = z ћ Re z ;

b) f (z ) = Re (z 2 ) ;

c) f (z ) = z 2 ћ Im z ; f ) f (z ) = z ; z

d) f (z ) = i (z )2 - 2 |z |2 ; g ) f (z ) =

e) f (z ) = (z 2 + z 2 ) ћ Re z ;

i +z; h) f (z ) = 2 |z |2 - z (z + 4i) ; z i) f (z ) = tg x + i tg y ; j ) f (z ) = y 2 - x2 + 2i |xy | ; k ) f (z ) = shx ћ cos y + i |chx ћ sin y | (z = x + iy ).
4. Пусть u, v H(D). Верно ли, что a) u + v H(D) ; b) u v H(D) ? 5. Пусть u(x, y ) и v (x, y ) сопряженные гармонические функции в области D. Докажите, что функции a u(x, y ) - b v (x, y ) и b u(x, y ) + a v (x, y ) , где a, b R, также гармонически сопряжены в D. 6. Пусть u(x, y ) v (x, y ) сопряженные гармонические функции в области D. Докажите, что градиенты u и v ортогональны в каждой точке D. 7. Пусть D односвязная область, v (x, y ) = Im f (z ), f (z ) A(D). Покажите, что функция u(x, y ) = Re f (z ) определяется единственным (с точностью до аддитивной константы) образом по формуле
(x,y )

u(x, y ) =
(x0 ,y0 )

vy dx - vx dy + C ,

где (x, y ), (x0 , y0 ) D, C R. 8. Восстановите аналитическую функцию f (z ), z = x + iy , (если она существует) по данному условию :

a) Im f (z ) = 2y (x + 1) - 1 ; c) Im f (z ) = sin x ћ cos y - x2 ; e) Re f (z ) = sin x ћ chy - y ; y g ) Arg f (z ) = + 2 arctg ; 2 x

b) Re f (z ) = x3 - 3xy 2 + y ; 2x d) Im f (z ) = 2 ; x + y2 f ) Arg f (z ) = x2 - y 2 ; h) |f (z )| = (x2 + y 2 ) ћ ex .
2


33

Глава 2 Конформные отображения
7. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие конформного отображения 7.1. Исходные соглашения и определения Определения.

Углом между двумя гладкими кривыми в точке их пересечения z0 = называется угол между их касательными в этой точке. Углом между двумя гладкими кривыми в точке z0 = называется угол, под 1 которым пересекаются образы этих кривых в точке 0 = 0 при отображении = . z

7.2. Геометрический смысл модуля производной

Пусть однозначная функция w = f (z ) определена и аналитична в некоторой окрестности точки z0 , причем f (z0 ) = 0. Тогда число k = |f (z0 )| > 0 коэффициент растяжения (сжатия, если k < 1 ) в точке z0 при отображении f . Это свойство постоянства растяжения в точке z0 при отображении w = f (z ) (поскольку k не зависит от способа приближения к этой точке).

7.3. Геометрический смысл аргумента производной
arg f (z0 ) это угол поворота гладких кривых в точке z0 при отображении f .
Пусть 1 и 2 две гладкие кривые, проходящие через z0 , 1 2 их образы при отображении f . Поскольку каждая из кривых при этом поворачивается на один и тот же угол = arg f (z0 ), то угол между кривыми 1 и 2 в точке z0 равен углу между кривыми 1 и 2 в точке w0 . Это свойство сохранения углов (по величине и по направлению отсчета) между кривыми при отображении w = f (z ).

7.4. Якобиан отображения и его геометрический смысл
Пусть функция w = f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ) осуществляет взаимно однозначное отображение некоторой квадрируемой области D плоскости (z ) на квадрируемую области G плоскости (w). Пусть f (z ) A(D), f (z ) = 0. Тогда якобиан J = |f (z )|2 имеет смысл коэффициента пересчета (коэффициента растяжения) площадей при данном отображении областей (в то время как |f (z )| это коэффициент линейного растяжения).

7.5. Понятие конформного отображения. Основные принципы конформных отображений
Непрерывное отображение w = f (z ) называется конформным в точке z0 , если оно сохраняет углы (по величине и направлению) между гладкими кривыми, проходящими через эту точку.


34

Отображение w = f (z ) конформно в области D, если оно взаимно однозначно и конформно в каждой точке D.

Утверждение 1. Пусть однозначная функция f A(z0 ) и f (z0 ) = 0. Тогда отображение w = f (z ) конформно в z0 . Утверждение 2. Пусть однозначная функция f (z ) аналитична, однолистна в D и f (z ) = 0 z D. Тогда отображение w = f (z ) конформно в D. Основные принципы конформных отображений
Фундаментальным фактом теории конформных отображений является Теорема Римана. Пусть D и G односвязные области в C, причем граница каждой из них содержит более чем одну точку. Тогда существует конформное отображение области D на область в G Отметим, что при конформном преобразовании области 1) внутренность области D отображается на внутренность G; 2) граница D отображается на границу G; 3) сохраняется ориентация границы относительно области.

7.6. Примеры
1) Найти, какая часть комплексной плоскости растягивается, а какая сжимается при отображении w = z 3 . 1 Найдем производную w = 3z 2 . Условие k = 3 |z |2 > 1 |z | > 3 1 определяет множество внешность круга радиуса , где происходит растяжение. 3 Очевидно, внутренность указанного круга сжимается при данном отображении 2) Найти угол, на который поворачиваются кривые, проходящие через точку z0 = i, z-1 . при отображении w = z+i Найдем производную

w=

z-1 z+i

=

i+1 ; (z + i)2

w (i) =

i+1 1+i =- . 2 (2i) 4 i-1 1+i = , при этом 2i 2

Данное отображение переводит точку z0 = i в точку w0 = угол поворота кривых, проходящих через точку z0 , равен

= arg w (i) = arg -

1+i 4

=-

3 4

3) Свойства линейной функции l(z ) = a z + b, где a = 0, b C, и осуществляемого ею отображения. Функция w = l(z ) определена на всей комплексной плоскости и однолистна. Последнее вытекает из того, что

a (z1 - z2 ) = 0 z1 = z2 ,
(см. также пример a) п.4.1).

если a = 0


35

Линейная функция всюду имеет производную w (z ) = a = 0, так что l(z ) A(C). В соответствии с утверждением 2 линейная функция осуществляет конформное отображение комплексной плоскости на себя. При этом во всех точках происходит растяжение (сжатие) с одинаковым коэффициентом k = |a| 4) Функция w = z 2 , где z D = {Im z > 0}.
2 2 Эта функция аналитична и однолистна в D, поскольку равенство z1 = z2 при z1 = z2 равносильно z2 = -z1 , а точки вида z и (-z ) не могут одновременно находиться в одной полуплоскости. Всюду внутри области D имеем w = 2 z = 0, поэтому отображение D конформно. Отметим, что конформность нарушается в точке z0 = 0, где w (0) = 0. В самом деле, пара лучей 1 = {z : z = r ei1 , r > 0 } и 2 = {z : z = r ei2 , r > 0 }, где 1 , 2 (0 ; ) некоторые фиксированные числа, преобразуется в два луча 1 = {w : w = r2 e2i1 , r > 0 } и 1 = {w : w = r2 e2i2 , r > 0 }. Очевидно, угол между лучами увеличился вдвое

5) Найти площадь образа единичного квадрата D = {0 Re z 1, 0 Im z 1} при преобразовании f (z ) = ez . Поскольку f (z ) = ez = 0, |ez | = ex , то по формуле (4) имеем

S=
D 1

|f (z )|2 dxdy =
D 1

e2x dxdy =

=
0

e2x dx
2 0 2

dy =

12 (e - 1) 2 a) w = 2iz + 1 ;

Найти образ кривой x + y - 2y = 0 при отображении z-1 b) w = . z+1 a) 1-е решение. Пусть w = u + iv , тогда

6)

u + iv = 2i (x + iy ) + 1 ,

откуда

u = -2y + 1 , v = 2x .

Поэтому данное уравнение, переписанное в форме x2 + (y - 1)2 = 1 , (3) 2 2 v 1-u приобретает вид + - 1 = 1 (u + 1)2 + v 2 = 4. 2 2 2-е решение. Уравнение (3) задает окружность |z - i| = 1. Подставляя в последнее w-1 равенство z = , получаем 2i

w-1 - i = 1 |w + 1| = 2 . 2i 1 1 (z + z ) , y = (z - z ) , x2 + y 2 = z z , уравнение данной 2 2i окружности перепишем в виде z z + i (z - z ) = 0 . w+1 w+1 Из уравнения, задающего отображение w(z ), выразим z = . Тогда z = 1-w 1-w и, следовательно, b) Имея в виду, что x = w+1 w+1 ћ +i 1-w 1-w w+1 w+1 - 1-w 1-w = 0 ww + (w + w) + 2i (w - w) = 0 ,


36

т.е.

u2 + v 2 + 2u - 4v + 1 = 0 (u + 1)2 + (v - 2)2 = 4

7.7. Вопросы и задачи
1. Найдите множество всех точек z , в которых происходит растяжение при отображении f (z ), если 1 + iz a) f (z ) = 2z + i z 2 ; b) f (z ) = . 1 - iz 2. Для отображения f (z ) найдите множество всех точек z с заданным коэффициентом растяжения k ; с заданным углом , поворота гладких кривых, если

a) f (z ) = i z 2 ; k = 2, = 0 ; b) f (z ) = -8z 3 ; k > 6, = ; c) f (z ) = i z 3 ; 1 k < 9, = - ; 2 1 d) f (z ) = ; k = 4, 0 < < . z
3. Найдите линейное отображение w = az + b, которое оставляет точку z0 неподвижной, а точку z1 переводит в w1 , если

a) z0 = -1 + i, z1 = 2 + i, w1 = -4 + 3i; b) z0 = -i, z1 = 1 - 2i, w1 = 2 - 3i.
4. Найдите площадь образа области D при преобразовании f (z ) = z 2 , если

a) D = {|z | < 1, Im z > 0}; b) D = {0 < Re z < 1, 0 < Im z < 1}.
5. Укажите максимальные множества однолистности функций: 1 1 a) f (z ) = z 4 ; b) f (z ) = z+ ; 2 z

c) f (z ) = ez ;

d) f (z ) = sin z .
3

6. Пусть D = {|z | < 1, Im z > 0}. Является ли отображение f (z ) = z

a) конформным в каждой точке D ? b) конформным в области D ?
7. Найдите максимальную область, где конформно отображение w = f (z ) , если:

a) f (z ) = e 3z ;

b) f (z ) = sh(z - 1);

c) f (z ) = i z 2 .

8. Найдите образ множества {|z i - 2| < 2} при отображении с помощью функции w = -5z i + 3 . 9. Найдите образ линии при преобразовании 1) w = z 2 ; : |z | = 2; b) : arg z = . 4

1 2) w = , если z

a)


37

8. Дробно-линейная функция и ее свойства 8.1. Определения. Конформность отображения
Дробно-линейной называется функция

L(z ) =

az + b , cz + d

где a, b, c, d C,

= ad - bc = 0.

Пусть дополнительно приняты условия

w-

d c

= lim L(z ) = ,
z -
d c

a w() = lim L(z ) = . z c

Тогда получается взаимно однозначное и непрерывное отображение расширенной комплексной плоскости на себя L : C C. d и Теорема 8.1. Дробно-линейная функция аналитична на множестве C \ - c конформно отображает расширенную комплексную плоскость C на себя.

скую группу относительно операции суперпозиции.

8.2. Групповое свойство Теорема 8.2. Множество дробно-линейных функций {L} образует алгебраиче8.3. Инвариантность двойного отношения Теорема 8.3. Пусть (z1 , z2 , z3 ) и (w1 , w2 , w3 ) две тройки чисел, в каждой из

которых нет совпадающих. Тогда существует единственное дробно-линейное преобразование w = L(z ) , для которого wk = L(zk ) , k = 1, 2, 3. Оно задается равенством

z - z1 z3 - z1 w - w1 w3 - w1 : = : . z - z2 z3 - z2 w - w2 w3 - w2
Пусть z , z1 , z2 , z3 четыре различных числа. Выражение

(1)

z - z1 z3 - z1 : наz - z2 z3 - z2 зывается двойным отношением, а равенство (1) означает его инвариантность относительно дробно-линейного преобразования.

ностей в себя.

8.4. Круговое свойство Теорема 8.4. Дробно-линейная функция отображает множество прямых и окруж8.5. Сохранение симметрии относительно прямых (окружностей) Определения. Точки z и z симметричны относительно прямой , если се-

рединный перпендикуляр к отрезку с концами в этих точках. Точки z и z симметричны, или сопряжены, относительно окружности радиуса R с центром в точке z0 , если z и z лежат на одном луче, исходящем из z0 , и |z - z0 | ћ |z - z0 | = R2 .

Свойства симметрии.

1) Очевидно, в обоих случаях (z ) = z . 2) z = z z . В противном случае точки z и z лежат по разные стороны .


38

3) Пусть окружность |z | = R. Тогда пара симметричных относительно точек z = 0 и z связана равенством R2 z = . z Если точки z = z0 и z симметричны относительно окружности : |z - z0 | = R, то справедливо равенство R2 z = z0 + . z - z0 4) Точке z0 симметрична относительно окружности любого радиуса точка z0 = .

относительно , преобразование L дробно-линейное. Тогда точки L(z ) и L(z ) симметричны относительно = L( ).

Теорема 8.5. Пусть прямая либо окружность, точки z и z симметричны 8.6. Примеры

1) Построение дробно-линейной функции по трем точкам, заданным вместе с их образами.
Для решения этой задачи можно использовать формулу (1). В случае, если какая-то из заданных точек, например, z1 , является бесконечно удаленной, обе разности в (1), содержащие z1 , заменяются на 1. Второй способ состоит в использовании представления

L(z ) =

z+a . z+b

(2)

Найти дробно-линейную функцию, переводящую тройку точек (-1, i, 1 + i) соответственно в a) (-1, , 1) ; b) (0, , 2).

a) Воспользовавшись формулой (1), имеем w-i 2 z+1 2+i : = :, z-i 1 1 1
откуда

w = -1 +

z+1 2 2 (2 - i) z + 1 -(1 + 2i) z + (4 + 3i) ћ = -1 + ћ = . z-i 2+i 5 z-i 5 (z - i )

b) Дробь вида (2), принимающая при z = -1; i значения w = 0; соответственно, выглядит так: z+1 w= . z-i Коэффициент определяется из условия w(1 + i) = 2 =
Таким образом, искомое отображение:

2 . 2+i

w=

2 z+1 2 (z + 1) (2 - i) ћ = 2+i z-i 5 (z - i )

2) Построение образа данного множества при заданном дробно-линейном преобразовании. (При решении такого рода задач наряду с общими принципами конформных отображений (прежде всего это принцип соответствия границ, см. п. 7.4) используются также свойства дробно-линейной функции).


39

Найти образ a) полукруга D = {z : |z | < 1, Im z > 0 } при отображении с помощью функции z+1 . w= 1-z 1 1 b) области, ограниченной окружностями |z - 1| = 1 и z - при отображении = 2 2 1 с помощью функции w= . z

a) 1-ый способ. Имея в виду принцип соответствия границ при конформном отображении, найдем образ границы области D . Граница D состоит из части прямой и дуги окружности. В силу теоремы 8.4 функция w переводит их также в части прямых либо окружностей. Вычислим w(-1) = 0, w(0) = 1, w(1) = , w(i) = i.
Очевидно, отрезок [-1; 1] переходит в положительную действительную полупрямую, а образом полуокружности является верхняя часть мнимой оси. Учитывая сохранение ориентации границы, получаем в качестве образа D первую четверть плоскости (w)

2-ой способ. С самого начала ясно, что части D переходят в куски прямых, поскольку точка z = 1, общая для отрезка и полуокружности, отображается в w = . Выяснив, что отрезок [-1; 1] переходит в положительную действительную полуось, учтем конформность отображения. Так как части границы D пересекаются в точке z = -1 под прямым углом, тот же угол составляют их образы, пересекающиеся в точке w = 0.

b) Обе окружности переходят в прямые, так как w(0) = . Поскольку окружности 1 и 2 ортогональны вещественной прямой, которая при данном отображении, очевидно, переходит в себя, границы искомой области, т.е. прямые 1 и 2 , также перпендикулярны действительной оси в плоскости (w). Остается найти образы точек пересечения: 1 3 2 w(1) = 1, w(2) = и, вычислив, например, w = , учесть, что внутренняя точка 2 2 3 области переходит во внутреннюю. Итак, результатом отображения является полоса между параллельными прямыми 1 и 2 3) Построение дробно-линейной функции, отображающей одно заданное множество на другое.
Решение такой задачи (если оно существует) также основано на общих принципах конформных отображений и использовании свойств дробно-линейной функции.

a) Найти какую-либо дробно-линейную функцию, отображающую единичный круг {|z | < 1} на правую полуплоскость {Re w > 0}.
Для осуществления требуемого отображения достаточно выбрать какую-то тройку точек на окружности |z | = 1 и, учитывая сохранение ориентации границы, указать в качестве образов тройку точек на мнимой оси плоскости (w). Например, преобразование L : (1, i, -1) - (, i, 0) решает задачу. Остается найти z+1 явный вид w = L(z ). Действуя, как показано в примере 1a), получаем w= 1-z Отметим, что задача п. a) имеет бесконечно много решений. Более интересна следующая постановка.


40

b) Найти дробно-линейную функцию, переводящую верхнюю полуплоскость {Im z > 0} на единичный круг {|w| < 1} так, чтобы заданная точка z0 верхней полуплоскости попадала в центр круга: w(z0 ) = 0.
Для построения этого отображения воспользуемся теоремой 8.5: симметричные относительно вещественной прямой точки z0 и z 0 должны перейти в симметричные относительно ее образа окружности |w| = 1 точки w = 0 и w = соответственно. Поскольку последняя симметрия не учитывает значения радиуса окружности, надо потребовать, чтобы для z ее образ w . Тогда имеем ~ ~

w =ћ

z - z0 , z - z0

|w(z )| = 1 . ~

Поскольку z = x, x R, второе из равенств принимает вид ~

|| ћ

x - z0 = 1 || = 1 = ei x - z0

R,

так как |x - z0 | = |x - z 0 |. Итак, искомое отображение:

w = ei ћ

z - z0 , z - z0

R.

(3)

Оно единственно с точностью до поворота круга |w| < 1 относительно начала координат ( угол этого поворота). Получить единственное решение можно указанием образа какой-либо точки с границы , либо заданием угла поворота кривых, проходящих через точку z0 при отображении (3): = arg w (z0 )

c) Найти дробно-линейную функцию, которая переводит единичный круг {|z | < 1} на единичный круг {|w| < 1} так, чтобы заданная точка z0 попадала в центр второго круга: w(z0 ) = 0.
В соответствии с теоремой 8.5 имеем: w(z0 ) = . Как отмечено выше, z0 =

Поэтому

1 . z0

w = 1 ћ

z - z0 z 0 (z - z0 ) z - z0 = 1 ћ =ћ , 1 z z0 - 1 1 - z z0 z- z0

= -1 z0 .

Для определения используем соответствие границ: если z , т.е. |z | = 1, то ~ ~ образ этой точки w , так что |w| = 1. Поскольку z z = |z |2 = 1, то ~ ~ ~~ ~

|w| = || ћ ~

z - z0 ~ z - z0 ~ = || ћ 1 - z z0 ~ zz-zz ~~ ~

= || ћ
0

|z - z0 | ~ = |z | z - z0 ~~

= || ћ
Значит,

|z - z0 | ~ = || = 1 , |z - z0 | ~

так как |z - z0 | = |z - z0 | . ~ ~

= ei

R. Таким образом, w = ei ћ z - z0 , 1 - z z0 R (4)


41

d) Отобразить с помощью дробно-линейной функции круг {|z | < 2} с разрезом по отрезку [-i; 2i] мнимой оси на круг {|w| < 1} с разрезом по отрезку [0; 1]. z После преобразования сжатия = получаем единичный круг с разрезом по 2 i i отрезку - ; i . Применяя преобразование (4), при котором точка 0 = - переходит 2 2 в w = 0, имеем i + 2 = ei ћ 2 + i . w = ei ћ i 2 - i 1- 2 Для определения параметра R используем условие = i - w = 1. Отсюда ei = -i, следовательно, w=i 2 + i z+i 2 (z + i) = 2i = i - 2 iz - 4 z + 4i

e) Найти отображение w(z ) круга {|z | < 1} на левую полуплоскость {Re w < 0}, при котором w(-2i) = 1, w(i) = 0. i Точка z = - симметрична точке z = -2i относительно единичной окружности, 2 а точки w = 1 и w = -1 симметричны относительно прямой Re w = 0. Поэтому в силу i теоремы 8.5 имеем w - = -1. Используя формулу (1), строим дробно-линейную 2 функцию по трем точкам и их образам: i 3i 2 : 2 = w+1 : 1 , z + 2i 3i w - 1 -1 z+
откуда

w=

z-i 3 (z + i )

8.7. Вопросы и задачи
1. Докажите конформность линейного отображения в C. 2. Найдите линейную функцию w = l(z ), конформно отображающую полосу D на полосу {0 < Im w < 1} , если

a) D = {a < Re z < b} ;

b) D = {a < Im z - Re z < b} .

3. Найдите функцию w = f (z ), конформно отображающую кольцо {2 < |z | < 3} на кольцо {4 < |w| < 6} так, чтобы

a) w(-2i) = 4 ;

b) w(-2i) = 6 .

4. Найдите образ множества D при отображении w = f (z ), если z a) D = {Re z < 0} {Im z > 0} , f (z ) = ; z+3 1 b) D = {|iz |2 < 1} , f (z ) = + i; z


42

c) D = {|z - 1| < 2} {I m z > 0} , d) D = {|9i z 2 | < 4} , e) D = i f (z ) = ; z f (z ) = 1 . z

f (z ) =

z+1 ; z-3

1 < Rez < 1 , 2

f ) D = {Im z > 0} \ {|z + 1| < 1} \ {|z - 1| < 1}, g ) D = {|z - 2| < 2} {|z - 3| > 1} {Im z > 0},

z-2 . z z-2 f (z ) = . z-4 f (z ) =

5. Найдите точку, симметричную точке z = 2 + i относительно окружности , если

a) = {|z | = 1} ; b) = {|z | = 3}; d) = {|z - 2 - i| = 1} .

c) = {|z - i| = 3} ;

6. Найдите функцию w = f (z ), конформно отображающую область D на множество G и удовлетворяющую данным дополнительным условиям, если

a) D = {Im z > 0}, b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m)

G = {Re w < 0}, w(i) = -2, w(0) = ; D = {|z + 1 + i| < 2}, G = {Re w > 0}, w(-1 - i) = 1, w(0) = i; D = {Im z < 0}, G = {|w| > 2}, w(i) = 0, w(1) = -2; D = {|z + 1| > 1}, G = {Im w > 0}, w(1) = i, w(-2) = 0; 1 D = {|z - 1| < 2}, G = {|w| < 1}, w(1) = - , w(-1) = -1; 2 i D = {|z | < 2}, G = {|w + i| < 1}, w(0) = - , w(2i) = 0; 2 D = {Im z > 0}, G = {|w| < 1}, w(i) = 0, arg w (i) = - ; 2 D = {|z | < 2}, G = {|w| < 1}, w(i) = 0, arg w (i) = ; 4 D = {Im z < 0}, G = {|w + i| < 2}, w(-i) = -i, arg w (-i) = 0 ; D = {Im z > 0}, G = {|w| > 1}, w(i) = , arg w (-i) = ; D = {Re z < 0}, G = {|w + 1| < 1}, w(-2) = -1, w (0) = i ; D = { |z | < 1} { |z - 3i| < 2} , G внешность полосы {0 < Im w < 1} ; D = { |z | < 2} \ { |z - i| < 1} , G = {-1 < Re w < 1}.

9. Степенная функция и обратная к ней 9.1. Степенная функция с натуральным показателем
Степенная функция это функция вида

w = zn,

где n N, n > 1.

Утверждение 1. Степенная функция аналитична в C и конформно отображает внутренность угла < arg z < , -

2 , на внутренность угла n < n


43

arg w < n . В частности, любое из множеств Dk =

z:

k = 2, . . . , n, конформно отображается на C \ R+ . 9.2. Функция w = n z Функция w = n z , n N, n > 1, определяется как обратная к степенной функции z = wn . В любой точке области G = C \ R+ существует производная ( n z )k = 1 1 1 = = n-1 = 0. n) n-1 n (w nw n ( z )k

2 (k - 1) 2 k < arg z < n n

,

называется однозначной регулярной ветвью многозначной функции F (z ), определенной в этой же области, если значение f (z ) в каждой точке G совпадает с одним из значений F (z ) в этой точке. Утверждение 2. Функция w = n z в каждой точке C, кроме z = 0 и z = , имеет ровно n значений. На множестве G = C \ R+ она допускает выделение n однозначных ветвей, каждая из которых аналитична в G и конформно отображает эту область на внутренность некоторого угла Dk .

Определение. Однозначная аналитическая в некоторой области G функция f (z )

Многозначную функцию w = n z можно определить на некотором множестве более сложного устройства так, чтобы она стала однозначной. Для этого рассмотрим вместо G n идентичных ему множеств Gk ("листов"), воспринимаемых как образы соответствующих областей Dk при отображении z = wn . Пусть + и - верхний и k k нижний берега разреза по R+ соответственно. Соединим эти листы в одну поверхность следующим образом: нижний берег G1 "склеим" с верхним берегом G2 , нижний берег G2 "склеим" с верхним берегом G3 и так далее. При этом отождествляются лучи - k и ++1 , k = 1, . . . , n - 1. Нижний берег последнего, n-го листа "склеим" с верхним k берегом первого. Полученная конструкция называется римановой поверхностью функции w = n z . Обозначим ее через R. Отображение w : R C взаимно однозначно, причем точки z = 0 и z = , общие для всех листов, переходят в w = 0 и w = соответственно. Функция w = n z является непрерывной на R. При этом к аждый лист R соответствует очередной регулярной однозначной ветви функции w = n z .
Некоторая точка z0 называется точкой ветвления многозначной функции w = f (z ), если не существует охватывающего данную точку замкнутого контура, принадлежащего только одному листу римановой поверхности этой функции. В окрестности точки ветвления невозможно выделение регулярных однозначных ветвей многозначной функции. Например, точки z = 0 и z = являются точками ветвления функции w = n z .

9.3. Риманова поверхность

9.4. Примеры
1) Допускает ли окрестности указанной a) F (z ) = 3 2z - 3i b) F (z ) = 1 - z
выделение регулярных однозначных ветвей функция F (z ) в точки ? 3 ; z1 = 0 ; z2 = i ; 2 ; z1 = 0 ; z2 = 1.


44

a) В окрестности точки z1 = 0 можно выделить три регулярные однозначные ветви данной функции. 3 Точка z2 = i является точкой ветвления F (z ), поэтому выделение регулярных од2 нозначных ветвей в ее окрестности невозможно. b) В окрестности точки z1 = 0 невозможно выделение регулярных однозначных ветвей, так как это точка ветвления данной функции. В окрестности точки z2 = 1 существуют две регулярные ветви функции G(z ) = z , причем g1 (1) = 1 , g2 (1) = -1 . Точка z2 = 1 является точкой ветвления только в случае первой ветви, т.е. для функции F (z ) = 1 - g1 (z ), так что лишь в случае F (z ) = 1 - g2 (z ) можно выделить однозначные ветви в окрестности z2 = 1 2) Выделить регулярную ветвь f (z ) функции F (z ) = 3 z , задаваемую условием f (i) = -i и найти значение f (-8). F (z ) =
3

|z | ei

arg z +2 k 3

,

k = 0, 1, 2, f (z ) =
+4 3
3

откуда k = 2. Следовательно,

поэтому F (i) = ei arg z +4 , значит, |z | ei 3

6

+

2 k 3

= -i = ei

3 2

,

f (-8) =

3

8 ei

=2

3 1 -i 2 2

=1-i



3

3) Найти функцию, отображающую на верхнюю полуплоскость 7 a) внутренность угла < arg z < ; 3 12 b) верхний единичный полукруг {|z | < 1} {Im z > 0}; c) плоскость с разрезом по отрезку [-i; i ]; d) верхнюю полуплоскость с разрезом по отрезку [ 0; ih ], h > 0; e) "луночку" {|z | < 1} {|z - i| < 1}. a) Совершим поворот данной конфигурации на угол по часовой стрелке: 3 -i = e 3 ћ z . Поскольку величина угла составляет , решение получается после пре4 4 -i - 3+i 4 образования w = 4 , т. е. w = e 3 ћ z 4 = ћz . 2 b) Сделаем дробно-линейное преобразование = L(z ), при котором (-1) = 0, (1) = . Последние равенства гарантируют, что обе части границы исходного множества (полуокружность и отрезок) перейдут в лучи с началом в точке = 0. Для того, чтобы один из этих лучей (например, образ отрезка) совместился с вещественной положительной полуосью плоскости , потребуем (0) = 1. Тогда в результате z+1 преобразования = получается первый квадрант, так как в силу конформности 1-z образы частей исходной границы ортогональны. 2 z+1 2 Теперь остается совершить преобразование w = , так что w = 1-z c) Сначала с помощью дробно-линейной функции = L(z ) отобразим данное множество на плоскость с разрезом по полуоси R+ . Для этого достаточно тройку точек z+i (-i; 0; i ) перевести в тройку ( 0; 1; ) , отсюда = . i-z


45

Завершается решение задачи применением преобразования w = тельно z+i w= i-z



. Итак, оконча-

d) Задача решается с помощью последовательности отображений: = z 2 , 2 s = + h , w = s. Таким образом, результирующее преобразование имеет вид: w = z 2 + h2 e) Дробно-линейная функция = L(z ), удовлетворяющая условию ( z2 ; 0; z1 ) ( 0; 1; ) , переводит данную область во внутренность некоторого угла. Остается развернуть этот угол до полуплоскости с помощью функции w = p , где показатель p требуется определить. + 3+i Точки z1,2 = можно найти как точки пересечения окружностей |z | = 1 и 2 |z - i| = 1 . Тогда z - z2 z1 2z + ( 3 - i) 1 = ћ = ћ - (1 + 3i) z - z1 z2 2 2z - ( 3 + i) 4 2z + ( 3 - i) i ћe 3 . = 2z - ( 3 + i)

В силу конформности отображения = L(z ) угол , под которым пересекаются окружности в плоскости (z ), равен углу между лучами в плоскости , т.е. = arg (i).

2 4 2 4 4 -i i i 1+i 3 i 3+i i 3 ћe 3 =e 3 , ћe 3 =- (i) = ћe 3 =e 2 i- 3
следовательно, =



2 . Отсюда p = 3 Итоговая формула преобразования w= 2z + ( 3 - i) 2z - ( 3 + i)
3

3 , поэтому w = 2 такова:

3 /2

.

3 4 iћ ћe 2 3 =

2z + ( 3 - i) 2z - ( 3 + i)

3

9.5. Вопросы и задачи
1. Найдите образ множества D =

w = f (z ), если a) f (z ) = z 2 ; b) f (z ) = z 3 ;

< arg z < 6 2 c) f (z ) = 1 . z2

{|z | > 2} ,

при отображении

2. Найдите образы прямых

a) Re z = c;

b) I m z = c

при отображении w = z 2 .

3. Выясните, допускает ли выделение регулярных однозначных ветвей функция F (z ) в окрестности указанной точки: a) F (z ) = 5 z + 1 - 2i ; z1 = 0 ; z2 = -1 + 2i ; z3 = ; b) F (z ) = i + 4 z ; z0 = 1 ; z2 = 1 ; z3 = -1 .


46

4. Выделите однозначную регулярную ветвь f (z ) функции w = 4 z , задаваемую 1 условием f (-1) = - (1 + i), и найдите образ множества {|z | < 4, 0 < arg z < } 2 при отображении f (z ).
5. Отобразите конформно на верхнюю полуплоскость a) внешность отрезка [0; 1]; b) внешность множества (-; -a] [a; +) (a R); c) внешность множества |z | = 1, - arg z ; 2 2 d) четверть круга |z | < 2, < arg z < ; 2 e) множество {|z | < 1} {|z - i| > 1}.

10. Показательная и логарифмическая функции 10.1. Показательная функция
Показательная функция имеет вид w = ez = ex (cos y + i sin y ) . Утверждение 1. Показательная функция аналитична в C и конформно отображает внутренность любой полосы Dk = {2 k < Im z < 2 (k + 1)} на плоскость с разрезом C \ R+ .

10.2. Логарифмическая функция
Логарифмическая функция имеет вид

w = Ln z = ln |z | + i Arg z = ln |z | + i (arg z + 2 k ) ,

k Z.

Она обратна к показательной функции z = ew . Утверждение 2. Функция w = Ln z в каждой точке C, кроме z = 0, имеет бесконечно много значений. На множестве G = C \ R+ она допускает выделение однозначных ветвей, каждая из которых аналитична в G и конформно отображает эту область на внутренность некоторой полосы Dk . Однозначная регулярная ветвь логарифмической функции при k = 0 называется главной ветвью и обозначается ln z = ln |z | + i arg z .

10.3. Риманова поверхность

Рассмотрим плоскость C как совокупность множеств вида

~ Dk = {w : 2 k < arg w 2 (k + 1)} ,

k Z,

внутренность каждого из которых отображается функцией z = ew на множество Gk = G = C \ R+ , а граница переходит в луч k = = {z : Re z > 0, Im z = 0}. Обозначим k = {w : Im w = 2 k }. Показательная функция переводит границы k и k+1 полосы Dk соответственно на верхний берег + и нижний берег - одного и того же разреза k k по вещественной положительной полупрямой плоскости (z ). Риманова поверхность R функции w = Ln z получается из бесконечного количества листов Gk в результате "склеивания"их границ - и ++1 при всех k Z. k k Отображение w : R C взаимно однозначно и непрерывно, при этом каждый лист римановой поверхности соответствует очередной регулярной однозначной ветви логарифма. Точки z = 0 и z = являются точками ветвления функции w = Ln z .


47

10.4. Примеры
1) Найти образ при отображении w = ez следующих множеств: a) полосы {z : 0 < Im z < }; b) полуполосы z : Re z < 0, 0 < Im z < ; 4 c) прямоугольника {z : c < Re z < d, a < Im z < b} , где 0 < b - a < 2 .
Указание. Результат получается на основе рассмотрения образа прямоугольной сетки на полосе {0 < Im z < 2 }

2) Найти образ множества {z : |z | > 1, Im z > 0} при отображении той однозначной 3 i. ветвью f (z ) функции F (z ) = Ln z , для которой f (ei) = 1 - 2 Так как Ln (ei) = ln e + i + 2 k = 1 + i + 2 k , 2 2 условие задачи выполнено при k = -1. Поэтому данная область отображается на подмножество полосы D-1 . Имея в виду, что логарифмическая функция обратна к показательной, получаем ответ: {Re z > 0 ; -2 < Im z < - }

10.5. Вопросы и задачи
1. Найдите образ множества D при отображении w = ez , если ,

a) b) c) d)

D D D D

= = =

{ < Im {0 < Im { < Im прямая

z < } z < , z < 2 Im z =

0 Re z , Re Re z

< 2 ; < 0} ; z > 0} ; .

2. Найдите функцию, конформно отображающую на верхнюю полуплоскость множество D, если a) D = 0 < Im z < \ Im z = , Re z 0 ; 2 4 b) D = { Re z > 2 , 0 < Im z < 2 } ; c) {0 < Re z < } \ 0 < Re z , Im z = 0 ; 2 d) D = { |z | < 2} \ { |z - i| < 1} .

e) D внешность множества { |z | < 1} { |z - 3i| < 2} .
3. Найдите образ множества D при отображении w = ln z , если

a) b) c) d)

D D D D

= = =

{ < arg z {0 < arg z { < arg z кольцо {e

< < < <

} , 2 |z |

0 < 2 ; |z | > 1} ; , |z | < 2} ; < e2 } с разрезом по вещественному интервалу (e; e2 ).

,

4. Найдите образ множества {z : |z | < 1, Im z > 0} при отображении той однозначi 5 ной ветвью f (z ) функции F (z ) = Ln z , для которой f = - ln 2 + i. 2 2


48

11. Функция Жуковского 11.1. Определение и основные свойства
1 1 z+ . 2 z Максимальными областями однолистности функции Жуковского являются D1 = {|z | > 1} и D2 = {|z | < 1} , а также D3 = {Im z > 0} и D4 = {Im z < 0}.
Функция Жуковского имеет вид

w=

Утверждение 1. Функция Жуковского w = G(z ) аналитична в C \ {0} и осуществляет конформное отображение любой из областей Dk , k = 1, . . . 4. 10.2. Отображения областей Dk Утверждение 2. Любую из областей D1 либо D2 (т.е. внешность либо внутрен-

ность единичного круга соответственно) функция Жуковского конформно отображает на внешность отрезка [-1 ; 1] плоскости (w). При этом образом окружности r = 1 является дважды проходимый отрезок [-1 ; 1].

Утверждение 3. Функция Жуковского конформно отображает верхнюю полуплоскость D3 = {Im z > 0} на внешность лучей C \ (I - I + ), причем образом границы Im z = 0 являются эти лучи, проходимые дважды. Тот же образ имеет и нижняя полуплоскость D4 . 11.3. Примеры
1) Найти образ области D = {|z | < 1 , Im z > 0} при отображении w = G(z ).
Полуокружность 1 функцией Жуковского отображается на отрезок 1 Re w 1} вещественной прямой; радиус 2 = {0 < Re z 1} на луч 2 = I + , 3 = {-1 Re z < 0} на луч 3 = I - . Учитывая сохранение ориентации относительно области при конформном отображении, имеем G(D) = {Im w <

= {-1 а радиус границы 0}

2) Отобразить множество полуплоскость.

z : |z | < 1 \

1 Re z < 1 , Im z = 0 2

на верхнюю

Задачу решает следующая последовательность преобразований. 1 5 а) = G(z ), здесь (1) = 1 , =; 2 4 б) s = L( ) , где дробно-линейная функция L определяется отображением тройки 5 5 ( + 1) -1 ; 0 ; - (0 ; 1 ; ) и имеет вид s = - ; 4 4 - 5 в) w = s. Результирующее отображение таково:

w=

-

5 (z 2 + 2z + 1) 2 (2z 2 - 5z + 2)

3) Найти образ области {0 < Re z < , Im z > 0} при отображении w = cos z . 1 iz e + e-iz = G(iz ) , 2 совершаем последовательность преобразований: а) = iz поворот на угол ; 2 б) s = e результатом является верхний единичный полукруг; w = cos z =
Так как


49

в)

w = G(s) в итоге получается нижняя полуплоскость

11.4. Вопросы и задачи
1. Найдите образ множества D при отображении функцией Жуковского, если 1 a) D = {|z | = 1}; b) D = {|z | = 2}; c) D = |z | = ; 2

d) D = {Im z = 0};

e) D = {Re z = 0}.

2. Найдите функцию, конформно отображающую на верхнюю полуплоскость множество D, если 1 a) D множество {Im z > 0} { |z | < 1} с разрезом 0 < Im z , Re z = 0 ; 2

b) D множество c) D множество

{Im z > 0} {|z | > 1} {|z | < 1} 2
с разрезами

с разрезом {1 Im z 2 , Re z = 0} ;

1 | Re z | < 1; Im z = 0 ; 2

d) D = 0 < Im z <

\ Im z =

, Re z > 0 . 4

3. Найдите образ множества D при отображении w = f (z ), если

a) D = {0 < Im z < , Re z > 0} , f (z ) = ch z ; b) D = - < Re z < , Im z > 0 , f (z ) = sin z . 2 2


50

Глава 3 Интегрирование функций комплексной переменной
12. Определение и основные свойства интеграла 12.1. Понятие интеграла
Пусть кусочно-гладкая кривая без особых точек на комплексной плоскости:

z (t) = x(t) + i y (t) ,

t [ , ] .

с начальной точкой A = z () и конечной B = z ( ). Теорема 12.1. Пусть f (z ) кусочно-непрерывная на кривой функция. Тогда существуют следующие интегралы, причем выполнены равенства

f (z ) dz =


u dx - v dy + i


v dx + u dy ,

(1)

f (z ) dz =


f (z (t)) z (t) dt , u ds + i


(2) (3) (4)

f (z ) |dz | =


v ds ,

f (z ) |dz | =


f (z (t)) |z (t)| dt .

12.2. Свойства интегралов Теорема 12.2. Имеют место следующие свойства интегралов:
а)
AB

f (z ) dz = -
BA

f (z ) dz ;

б) интеграл первого рода (3, 4) не зависит от направления движения по ; интегрирование в формуле (4) всегда идет от меньшего значения параметра t к большему; в) пусть 1 и 2 части, составляющие кривую без наложения, тогда

f (z ) dz =

1

f (z ) dz +

2

f (z ) dz ,

причем интегралы в правой и левой частях равенства существуют одновременно; г) пусть f и g интегрируемые на функции, a , b C произвольные числа, тогда (a f (z ) + b g (z )) dz = a f (z ) dz + b g (z ) dz ;


д) пусть f интегрируема на , тогда функция |f | также интегрируема на , причем

f (z ) dz


|f (z )| |dz | .


51

12.3. Примеры
Вычислить интеграл


f (z ) dz ,

если

a) f (z ) = Im z z = 0 и z = 1 + 2i; z b) f (z ) = , z полукруга; c) f (z ) = (z - a окружность; d) f (z ) = 4 z для которой 4 1 = до точки z = 4i.

,

часть параболы с вертикальной осью, соединяющей точки

отрицательно ориентированная граница верхнего единичного )n ,
3

n Z,

= r : |z - a| = r положительно ориентированная

+ 1 , где берется та однозначная ветвь многозначной функции, i; часть окружности {|z | = 4, Re z 0}, от точки z = -4i

a) Выписав уравнение параболы y = a x2 , проходящей через точки (0; 0) и (1; 2) , получим параметризацию кривой : x = t , y = 2t2 , т.е. z = t + 2i t2 , где t [0 ; 1] . Согласно (1) имеем
1 1

Im z dz =
0

y dz =
0

2t2 (1 + 4t i) dt =

23 t + 2t4 i 3

1

=
0

2 + 2i. 3

b) В силу аддитивности интеграла имеем сумму интегралов по отрезку действительной прямой 1 и полуокружности 2 . Движение по происходит по часовой стрелке. На 1 z = x, x [-1 ; 1], z = x, поэтому
-1

I1 =

1

f (z ) dz =
1

dx = -2 .

Кривая 2 задается в виде z = eit , где t [0 ; ]. Поскольку z = e-it , имеем f (z ) = e-2ti , dz = i eit dt, поэтому
0 0

I2 =

2

f (z ) dz =


i e-it dt =


0

i (cos t - i sin t) dt = (i sin t - cos t)


= -2 .

Ответ дает сумма I1 + I2 = -2 - 2 = -4 .

c) Окружность r имеет параметризацию z = a + r eit , где t [0; 2 ]. Тогда dz = i r eit dt, значит,
2 2

(z - a)n dz =

r

ir
0

n+1 i(n+1)t

e

dt =
0

ir

n+1

(cos(n + 1)t + i sin(n + 1)t) dt = = 0,
если n = -1 .

i rn+1 (sin(n + 1)t - i cos(n + 1)t) n+1 Для n = -1 получаем = dz = z-a
2 0

2 0



r

i r eit dt = i r eit

2

dt = 2 i .
0


52

Заметим, что результат не зависит ни от положения центра, ни от радиуса окружности Найдем указанную однозначную ветвь корня четвертой степени. Легко проi верить, что в равенстве 4 z = 4 |z | e 4 (arg z + 2 k ) следует взять k = 1, чтобы 4 1 = i. Если z , то z = 4 eit , t - ; , следовательно, обеспечить условие 22

d)

f (z ) =
Поэтому



2 e (t + 2 )

i 4

3

+ 1 = 2 2 i3 e i

3t 4

+ 1.

/2

f (z ) dz =
- /2

4i

-2 2 i e i

3t 4

+1

eit dt =

=8 2

/2

cos
- /2 /2

7t 7t + i sin 4 4 7t dt + 8i 4

/2

dt + 4i
- /2 /2

(cos t + i sin t) dt = 64 7 2 sin 7 8

= 16 2
0

cos

cos t dt =
0

12.4. Вопросы и задачи
1. Сформулируйте и докажите свойства в) д) из теоремы 12.2 применительно к интегралу первого рода


f (z ) |dz |.

2. Пусть кусочно гладкая кривая с началом в точке z = a и с концом в z = b. Найдите, чему равны значения интегралов


dz

и


|dz | .

3. Вычислите


f (z ) dz , если отрезок прямой от точки z = 0 до точки z = 2 + i; часть параболы x = 2y 2 от точки z = 0 до точки z = 2 + i;

a) f (z ) = z Re z , b) f (z ) = z Re z ,

= {|z - a| = r, - arg (z - a) 0}; 5 d) f (z ) та однозначная ветвь Ln z , для которой Ln i = i; 2 = {|z | = 2, Im z 0}.
4. Вычислите


c) f (z ) = (z - a)n , n Z,

f (z ) |dz |, если граница верхнего единичного полукруга; z , для которой . 1 i = - (1 + i) ; 2 граница

z a) f (z ) = , z

b) f (z ) та однозначная ветвь
сектора

|z | = 2,

3 arg z 4 4


53

5. Пусть f (z ) непрерывная функция на = {|z | = R, Im z 0}, |f (z )| M при z . Докажите, что f (z ) eiz dz M R.


Верно ли это неравенство, если 6.


= {|z | = R, Im z 0} ?

Докажите, что в условиях предыдущей задачи справедлива оценка

f (z ) eiz dz < M .


Указание. Воспользуйтесь неравенством sin

2 , где 0 . 2

13. Интегральная теорема Коши 13.1. Случай односвязной области Теорема 13.1 (Коши). Пусть D односвязная область, f (z ) однозначная функf (z ) dz = 0 .


ция, f A(D). Тогда для любого замкнутого контура D справедливо равенство

Следствие 1. Пусть D односвязная область с границей D, f (z ) A(D). Тогда
f (z ) dz = 0 .
D

Следствие 2. Пусть D односвязная область, f (z ) A(D). Тогда для любых
z

точек z1 , z2 D интеграл ходящегося в D).
z
1

2

f (z ) dz не зависит от пути интегрирования (на-

область с полной границей D, которая состоит из внешней границы контура и замкнутых контуров 1 , . . . , n-1 , составляющих внутренние границы. Если f (z ) A(D), то
n-1

13.2. Случай составного контура Теорема 13.2 (теорема Коши для составного контура). Пусть D n-связная

f (z ) dz =
D

f (z ) dz +
k=1
k

f (z ) dz = 0 ,

причем интегрирование совершается в положительном направлении (т.е. область при движении по границе остается слева).

Следствие. В условиях теоремы 13.2
n-1

f (z ) dz =
k=1
k

f (z ) dz ,


54

где интегрирование всюду идет в одном направлении (например, против часовой стрелки).

13.3. Примеры
1) Вычислить интеграл

I=


(z - a)n dz ,

n Z, где произвольный за-

мкнутый контур, не проходящий через точку z = a. а) Пусть точка a ext . Тогда f (z ) = (z - a)n A(int ), поэтому по теореме 13.1 получаем I = 0. б) Пусть a int . Тогда существует окружность достаточно малого радиуса r : |z - a| = r , которая целиком содержится внутри (рис. 53). Используя следствие из теоремы 13.2 и результат примера c) п. 12.3, получаем

I=


(z - a)n dz =

r

(z - a)n dz = dz , 2z + i

0 , n = -1 , 2 i , n = -1 y2 = 1 , проходи4

2) Вычислить интеграл мый по часовой стрелке. Заметим, что

I=


где эллипс x2 +

i int . Поэтому, учитывая направление обхода, в соот2 ветствии с результатом примера 1) п.б) имеем z=- I= 1 2 dz z+
i 2



1 = - ћ 2 i = - i 2 ze
sin2 z

3) Вычислить интеграл няющая точки z = -i и z = i.
2

I=


dz ,

где произвольная кривая, соеди-

Так как f (z ) = z e sin z A(C), то I не зависит от выбора пути интегрирования, так что в качестве последнего можно взять отрезок мнимой оси, соединяющий точки z = -i и z = i. Итак, z = it, t [-1; 1], поэтому
1

I=
-1

it ћ e

sin2 (it)

1

i dt = -
-1

t ћ e-

sh2 t

dt = 0

в силу нечетности подынтегральной функции

13.4. Вопросы и задачи
1. Вычислите интеграл

I=


f (z ) dz ,

если

1 , где : |x| + |y | = 4 ; 2iz + 5 1 b) f (z ) = , где : |x| + |y | = 4 ; (2iz + 5)3 1 c) f (z ) = , где : |x| + |y | = 1 2iz + 5 (все кривые ориентированы против часовой стрелки). a) f (z ) =


55

2. Вычислите


e

sin z

cos z dz ,

где

= {|z | = 2, Im z 0} , интегрирование

идет от z = -2 до z = 2. 3. Пусть D = {z : 1 < |z | < 2} , функция f (z ) A(D), причем
|z |=2

f (z ) dz = 2i .

Чему равно значение интеграла
|z |=1

f (z ) dz ?

4. Пусть D односвязная область, функция f (z ) A(D), D замкнутый контур. Чему равно значение интеграла


f (z ) dz ?

5. Пусть f (z ) аналитична в односвязной области D за исключением точки z0 , где существует предел lim (z - z0 ) f (z ) = 0 . Докажите, что для любого замкнутого
z z
0

контура D, z0 , справедливо равенство /


f (z ) dz = 0.

14. Интегральная формула Коши и ее следствия 14.1. Интегральная формула Коши Теорема 14.1. Пусть f (z ) функция однозначная и аналитическая в области D,
f (z0 ) = 1 2 i f (z ) dz . z - z0 (1)

произвольный замкнутый контур, z0 int D. Тогда



Равенство (1) называется интегральной формулой Коши. Другой вариант интегральной формулы Коши дает Теорема 14.2. Пусть D n-связная область с границей D = 1 . . . n-1 , функция f (z ) A(D). Тогда в любой точке z0 D

f (z0 ) =

1 2 i

D

f (z ) dz , z - z0

где интеграл берется по положительно ориентированной полной границе D.

Следствие (формула среднего значения). Пусть R : |z - z0 | = R окружность, которая вместе с внутренностью расположена в области аналитичности функции f (z ). Тогда 2 1 f (z0 ) = f z0 + R ei d . 2 0 14.2. Примеры
Интегральная формула Коши (1) может быть использована для вычисления интегралов. dz 1) Вычислить интеграл I= при различных положениях контура 2 z (z - 1) ( не проходит через точки z = 0, 1, -1).


56

а) Пусть z0 = 0 int , а точки z = 1, -1 ext . Тогда выбирая f (z ) = по формуле (1) имеем

1 , z -1
2

I1 =


f (z ) dz = 2 i f (0) = -2 i . z 1 по z (z + 1)

б) Пусть z0 = 1 int , а точки z = 0, -1 ext . Тогда при f (z ) = формуле (1) получаем

I2 =


f (z ) dz = 2 i f (1) = i . z-1

в) Аналогично для случая, когда z0 = -1 int , а точки z = 0, 1 находятся вне 1 , имеем f (z ) = и z (z - 1)

I3 =


f (z ) dz = 2 i f (-1) = i . z+1

г) Рассмотрим ситуацию, когда z = 0, 1 int , а точка z = -1 ext . Тогда для вычисления интеграла используем теорему Коши для составного контура (п. 13.2) и результаты п.п. а), б) настоящей задачи. Имеем

I=


dz = z (z 2 - 1)



1

dz + z (z 2 - 1)



2

dz = I1 + I2 = - i . z (z 2 - 1)

Аналогично можно рассмотреть оставшиеся случаи. 2) Вычислить интеграл

I=


sin z dz , 2z 2 + z

где : z +

= 1. 2

sin z 2z dz , применим формулу (1), Переписав данный интеграл в виде I = z+ 2 sin z имея в виду, что z0 = - , f (z ) = , причем f (z ) A(int ) . Поэтому 2 2z I=


2 i sin z dz = 2 i f (z0 ) = = 2i 2 + z 2z

максимальное значение |f (z )| не может достигаться во внутренней точке D.

14.3. Принцип максимума модуля аналитической функции Теорема 14.2 Пусть f (z ) A(D) и не является постоянной в области D. Тогда

Следствие 1. Если D ограниченная область, f (z ) A(D) C (D), то max |f (z )| = max |f (z )| .
D D

Следствие 2. Пусть D ограниченная область, f1 , f2 A(D) C (D) и f1 (z ) = f2 (z ) во всех точках z D. Тогда f1 (z ) f2 (z ) на D. Следствие 3. Пусть f (z ) A(D) не является постоянной в области D и f (z ) = 0. Тогда минимальное значение |f (z )| не может достигаться во внутренней точке области D.


57

14.4. Вопросы и задачи
1. Вычислите стрелке, если


ez dz , z 2 + 2i z

где замкнутый контур, проходимый по часовой

a) z = 0 int , z = -2i ext ; c) z = 0 ext , z = -2i ext ;
2. Вычислите

b) z = -2i int , z = 0 ext ; d) z = 0 int , z = -2i int .
где замкнутый контур, проходимый против

cos 2+z часовой стрелки, если a) z = -1 int , z = c) z = -1 ext , z = (ez

z dz , - z2 2 ext ; 2 ext ;

b) z = 2 int , z = -1 ext ; d) z = -1 int , z = 2 int .
где проходимый против часовой стрелки

3. Вычислите


замкнутый контур:

z dz , + 1)(2iz + )

a) : |z | = 1 ;

b) : |z | = 3 .

4. Пусть D = {z : |z | < 10} , функция f (z ) A(D), причем f (2i) = 2i. f (z ) Найдите dz , где C : |z + 1| = 5 . C z - 2i 5. Вычислив интеграл равенство

1 2 i
2 0

|z |=1

dz , (z - a)(z - a-1 )

где 0 < a < 1, докажите

2 d = . 2 1 - 2a cos + a 1 - a2

6. Докажите, что аналитическая и ограниченная в C функция f (z ) является постоянной (теорема Лиувилля). f (z ) Указание. Вычислите интеграл dz , где |a|, |b| < R, a = b, |z |=R (z - a)(z - b) и воспользуйтесь оценкой этого интеграла при R . 7. Найдите аналитическую в круге {|z | < 2} функцию f (z ), если известно, что она принимает максимальное по модулю значение при z = i, причем |f (i)| = 3 , arg f (i) = . 8. Приведите пример, показывающий существенность требования f (z ) = 0 в утверждении о минимуме модуля аналитической функции (следствие 3 п. 14.3). 9. Пусть D ограниченная область с границей D, f (z ) A(D) C (D) не является постоянной в области D, но |f (z )| const при z D. Докажите, что существует хотя бы одна точка z D, где f (z ) = 0.


58

15. Существование производных всех порядков у аналитической функции 15.1. Интеграл типа Коши Определение. Пусть кусочно-гладкая кривая, f однозначная функция, непреg (z ) = 1 2 i f ( ) d , -z z / (1)

рывная на . Интеграл



называется интегралом типа Коши.

существует

Теорема 15.1. Пусть f C ( ). Тогда g A(C \ ), причем для любого n N
g
(n)

(z ) =

n! 2 i



f ( ) d . ( - z )n+1

15.2. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
Из предыдущей теоремы вытекает следующий замечательный результат. Теорема 15.2. Функция f (z ), аналитическая в области D, имеет в этой области производную любого порядка, причем

f

(n)

(z ) =

n! 2 i



f ( ) d , ( - z )n+1

(2)

где произвольный замкнутый контур, для которого z int D. Пусть KR = { : | - z | R}, MR = max |f (z )| . Тогда
z
R

Следствие (неравенство Коши для производных).
R = { : | - z | = R} , (z )| n ! MR . Rn

f (z ) A(KR ) ,

|f

(n)

константой.

15.3. Теорема Лиувилля и ее следствие Определение. Функция f (z ) A(C) называется целой. Теорема 15.3 (Лиувилль). Всякая целая функция, ограниченная в C, является 15.3. Примеры
1) Вычислить интеграл Пусть z0 = i,

I=


ez dz , (z 2 + 1)2

если i int , -i ext .

f (z ) =

ez , (z + i)2

тогда по формуле (2)

I=


f (z ) z+i-2 dz = 2 i f (z0 ) = 2 i ez 2 (z - i) (z + i)3

=
z =i

i e (1 - i) 2
z|

2) Найти

f (z ) A(C), удовлетворяющую условию |f (z )| e-|

z C.

Из условия задачи следует |f (z )| 1 z C. Тогда по теореме Лиувилля f (z ) const. Так как при |z | имеем f (z ) 0 , то f (z ) 0


59

15.4. Вопросы и задачи
1. Вычислите данный интеграл по замкнутому контуру (направление против часовой стрелки):

a)
|z |=1

cos z dz ; z2

b)
|z -i|=2

sh z dz ; z (z 2 + 4)2
где эллипс

c)
|z +1|=
1 2

1 sin z dz . (z 2 - 1)(z + 1)

2. Вычислите

ez dz , 2 3 (z + 1) против часовой стрелки.

4x2 + y 2 = 2y , проходимый

3. Известно, что для некоторой непрерывной функции f ( ) и некоторой гладкой f ( ) d = z sin z , z . Найдите, чему / кривой имеет место равенство -z f ( ) равен интеграл d . 3 ( - z ) 4. Найдите аналитическую функцию f (z ) из следующих условий:

| |=5

f ( ) d = 2 cos z , |z | < 5 ; ( - z )2

f ( ) = 1.
при

5. Найдите все целые функции f (z ), отвечающие условию f (z ) = O(|z |-1 ) z .

16. Первообразная и неопределенный интеграл. Теорема Морера 16.1. Основное утверждение Теорема 16.1 Пусть f C (D) и для всякого замкнутого контура D выf (z ) dz = 0 .
z

полнено условие

(1) f ( ) d
z
0

Тогда при любых z0 , z D функция

F (z ) =

(2)

является аналитической в области D, причем F (z ) = f (z ).

Следствие (теорема Морера). Пусть f (z ) непрерывная в области D функция и пусть для всякого замкнутого контура D выполнено равенство (1). Тогда f (z ) A(D). 16.2. Первообразная Определения. Аналитическая функция F (z ) называется первообразной функции

f (z ) в области D, если в этой области F (z ) = f (z ). Множество всех первообразных функции f (z ) называется неопределенным интегралом этой функции

Утверждение 1. Если D односвязная область, то функция f (z ) A(D) имеет первообразную, определяемую равенством (2).


60

Утверждение 2. F (z ) и (z ) две первообразные для функции f (z ) в области D тогда и только тогда, когда F (z ) - (z ) = C при любом z D. Утверждение 3. В условиях теоремы 16.1 справедлива формула Ньютона-Лейбница
b

f (z ) dz = (b) - (a) ,
a

(3)

где a, b D, а (z ) какая-то первообразная функции f (z ).

16.3. Примеры
Выше, в п. 5.1, 5.3 было показано, что правила дифференцирования и вид производных основных элементарных функций переносятся на комплексный случай. Соответственно сохраняется таблица первообразных. Поэтому аналогично вещественному случаю можно использовать для вычисления интегралов и формулу Ньютона-Лейбница (см. ниже пример 1), однако следует иметь в виду специфику, обусловленную неодносвязностью области (см. примеры 2, 3). Заметим, что необходимыми условиями существования первообразной F (z ) для f (z ) в области D являются выполнение равенства (1) и аналитичность f (z ) (последнее вытекает из требования аналитичности F (z ) и теоремы 15.2).
1 1

1) Вычислить интегралы

a)
0

eiz dz ;

b)
0

z n dz ,

n N.

Используя неопределенный интеграл, находим:
1

a)
0 1

i eiz dz = - ei z n dz =
0

z

1

=-
0 1

i i 2i e -1 = .

b)

1 z n+1

n+1

=
0

1 n+1
по линии, соединяющей точки = 1 и = z ,

2) Вычислить интеграл


1 d

не проходящей через = 0. 1 Функция f ( ) = аналитична в неодносвязной области D = C \ {0}. Рассмот рим два случая. a) Кривая интегрирования 1 не обходит вокруг начала координат. Приняв для значений arg промежуток (- ; ], рассмотрим плоскость C с разрезом по отрицательной вещественной полуоси. В полученной односвязной области f ( ) имеет первообразную
z

ln

(см. п. 10.2). Поэтому

1

d =
1

d = ln

z

= ln z - ln 1 = ln z .
1

b) Кривая интегрирования 2 совершает n полных оборотов вокруг начала координат. Этот путь можно представить как совокупность 1 и n замкнутых кривых, каждая d из которых содержит внутри точку = 0. Учитывая результат п. 13.3: = 2 i ,
z c

получаем

2

d = 2 n i +

1

d = 2 n i +
1

d = ln z + 2 n i.


61

Этот пример показывает, что в неодносвязной области D = C \ {0} не существует 1 первообразной для f (z ) = и формула Ньютона-Лейбница неприменима z 3) Выяснить, существует ли первообразная функции f (z ) в указанной области D: 1 a) f (z ) = 2 , D односвязная область, z = 0 D; / z 1 b) f (z ) = 2 , D = C \ {0}; z c) f (z ) = z , D = C.

1 аналитична в односвязной области D, поэтому она z2 1 имеет первообразную в D (см. утверждение 1). Это, например, F (z ) = - . z dz b) = 0, где любой кусочно гладкий замкнутый контур в D. В случае, 2 z когда не обходит вокруг точки z = 0, этот факт следует из интегральной теоремы Коши. Для случая 0 int , равенство было получено в п. 13.3. 1 Таким образом, в соответствии с теоремой 16.1, F (z ) = - первообразная функz ции f (z ) в области D = C \ {0}. c) Функция f (z ) = z , нигде не аналитична, значит, она не имеет первообразной a)
Функция f (z ) =

16.4. Вопросы и задачи
1. Найдите первообразные для функций

a) cos az ;

b) sh az ;

c) ez sin az .

2. Выясните, имеет ли первообразную функция f (z ) в области D : 1 1 1 , D = C \ {1}; b) f (z ) = + , D = {0 < |z | < 1}; a) f (z ) = z-1 z-1 z 1 1 1 1 c) f (z ) = - , D = {|z | < 1}; d) f (z ) = - , D = {|z | > 1}; z-1 z+1 z-1 z+1 1 1 , D = {|z | < 1}; f ) f (z ) = 2 , D = {0 < |z + i| < 2}; e) f (z ) = 2 z +1 z +1 z g ) f (z ) = , D = {|z | > 0}; h) f (z ) = z Re z , D = C. z 3. Пусть D односвязная область, не содержащая точек z = +i. Докажите, что в z d 1 этой области arctg z = первообразная для функции f (z ) = . 2 1 + z2 0 1+