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1

1 1.

1.1. . - 1. a) c) e) f (x), b) f (x) = O(x), x 0 ; d) f (x) = O(x), x 5 ; f ) f (x) = O(x), x ; 1 0 ; h) f (x) = O , x 0; x 1 ; j ) f (x) = O , x . x

f (x) = o (x), x 0 ; f (x) = o (x), x 5 ; f (x) = o(x), x ; 1 g ) f (x) = o , x x 1 ,x i) f (x) = o x 2. a) c) e) f (x) = f (x) = f (x) =

: x3 = o (f (x)) , x 0 , x; b) f (x) = x4 ; 2 x ; d) f (x) = (x + 1)2 ; x3 (x arctg|x|)2 ; f ) f (x) = (x cos x)2 ? 1 = O (f (x)) , x , x2 1 1 1 e|x| + 9 ; b) f (x) = · sin ; 2 x x x 2 2 1 x · sin ; d) f (x) = · cos ; x2 x x 1 3 1 · arctg ; f ) f (x) = · arctg(x2 + 3) ; x x2 x 1-x ? x3 + 4

3. : a) f (x) = c) f (x) = e) f (x) = g ) f (x) =


2 4. , , ­ , x . 1 a) x2 · sin = o(1) , x 1 2 b) x · sin = O(1) , x 1 2 c) x · sin = o(x) , x 1 d) x2 · sin = O(x) , x 1 2 e) x · sin = o(x2 ) , x 1 2 f ) x · sin = O(x2 ) , x 1 2 g ) x · sin x , x 1 2 h) x · sin x2 . x 5. , , . 1.2. 1. m , n N . , x : a) O(xm ) = O(xn ) , m n ; b) O(xm ) + O(xn ) = O(xn ) , m n; c) O(xm ) · O(xn ) = O(xm+n ) .

2. : x + sin x a) f (x) = 2 x 0 ; x +1 x + sin x b) f (x) = 2 x ; x +1


3 4 c) f (x) = x + 1 - x2 + 4x + 1 x 0 ; 4 d) f (x) = x + 1 - x2 + 4x + 1 x + ; 3 x · arctg x2 x 0 ; e) f (x) = 2 1+x 3 x · arctg x2 x . f ) f (x) = 1 + x2 3. x 0 f (x) : a) f (x) = x - sin |x| ; b) f (x) = tg2 (2x2 ) - 3x5 ; c) f (x) = 1 - 2x4 + x4 - 1 ; d) f (x) = x cos x + ln(1 - x) ; x2 x2 + ln(cos x) ; f ) f (x) = e- 4 - cos x . e) f (x) = 2 4. n : 2n + 1 2 a) fn = 2 -; b) fn = n + n ; n +1 n 1 1 1 5 c) fn = + ; d) fn = 1 - cos ; n n n 1 1 2 e) fn = ch - cos ; f ) fn = n - n - 1 · ln 1 + . n n n


4 2 1.3. () 1. , x: a) f (x) = x arctg x g (x) = x ln x ; x2 b) f (x) = g (x) = x ln x ; x + 10 1 c) f (x) = x sin g (x) = 3 x ; x 1 ln x d) f (x) = ? g (x) = x x 2. , x 0 + 0 , .. x0 = 0 : 1 a) f (x) = x arctg x g (x) = x ln ; x x2 1 b) f (x) = g (x) = x ln ; x x + 10 1 c) f (x) = x sin g (x) = 3 x ; x+1 1 1 1 d) f (x) = g (x) = · ln ? x x x 3. , n: 100 a) n100 (1.001)n ; b) 100n n! ; n n! ; c) n d) ln k n k ln n , k N ; e) (ln ln n)ln n n2 ; f ) (ln n)ln ln n n ? 4. , a > 0 b n a) abn < n2 ; b) lnb n < an ; c) lnb n > an ? 5. , k nk · e
-n

<

1 n2

n > N , N = N (k ) .


5 6. , > 0 ln n 1 < ; 1+ n n1+ 2 ln n 1 > 1- n n1- n > N = N ( , ) .

2

2. 2.1. . 1. , : 11 1 1 1 1 a) 1 - + - +··· ; b) + + +··· ; 3 9 27 1·3 3·5 5·7 1 1 1 c) + + + ··· ; 1·3·5 3·5·7 5·7·9 d) n+2-2 n+1+ n ; e) q sin + q 2 sin 2 + · · · + q n sin n + · · · f ) q cos + q 2 cos 2 + · · · + q n cos n + · · · 2.
n=1

(|q | < 1) ; (|q | < 1) .

,

n

lim an = 0 .



an ?
n=1

3. , : 2n n n n a) ; b) ; c) ; n+2 n+1 ln(n + 1)
n=1 n=1
3

n=1

d) 0, 001 + e)

0, 001 +

0, 001 + · · · +

n

0, 001 + · · · ;


cos + cos 2 + · · · + cos n + · · · ;

f)
n=1

n! . 2n


6 3 4. , : sin (n5 ) cos (2n + 5) a) ; b) ; 2n n2
n=1 n=1

c)
n=1

1+ n ; n sin n
1 n

cos2



d)

e)
n=1

;

f)
n=1

; n · (n + 1) n=1 sin nx · arctg ( n + 3) n2

arctg n

x R .

5.
n=1

a

n

. ,

( ) An
n=1

. ,

.

2.2. . , ,


1. an bn n N ,
n=1

bn .


n=1

a

n

?


2.

,
n=1

an , a

n

0 ,

,



n=1

An .

( 5).


7


3. ,
n=1

pn ,

pn > 0 ,


n=1

pn p

n+1

.
n=1

4.


pn pn

+1

,

pn > 0 ,


n=1

pn ?

5. , 1), 2) 6 7 . 2.2 . 6. : (1), pn > 0 , pn+1 < 1 , (1) . lim n pn 7. , :


a)
n=1

1-

5

n n+1



;

b)
n=1

n · sinn x , 0 x 1; n+2 n+3
n
2

c)
n=1

n2 + 1 ; ln 2 n +3 n10 ; 3n + 4n n! ; 1 · 4 · · · (3n - 2) (2n)! ; (n!)2 (2n)! (3n)! ; (n!) (4n)! j)

d)
n=1

;

e)
n=1

f)
n=1

sin8 (2n - 3) ; n (3n + 1) ln n + 2 cos(n!) ; n3 + ln3 n

g)
n=1

h)
n=1 n=1

i)
n=1

k)
n=1

arctg(n4 ) ; 2n + 1 + 3n - 1 sin ( n + 1 - n) . l) 2n n=1