Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mph.cs.msu.su/Home/Opus/a62.doc Дата изменения: Tue Apr 6 14:53:24 2010 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:36:07 2016 Кодировка: koi8-r

Доклады Академии наук СССР. Том 122, ? 4, 1958

А. Н. Тихонов, А. А. Самарский

Об однородных разностных схемах



В статье [1] была поставлена задача об отыскании разностных схем,
пригодных для единообразного решения дифференциальных уравнений в возможно
более широком классе коэффициентов. Настоящая работа является дальнейшим
развитием работы [1].


§ 1. Рассмотрим уравнение
[pic] , (1)
где L - некоторый линейный дифференциальный оператор.
Пусть[pic]- разностная сетка;
[pic] (2)
разностное уравнение, соответствующее уравнению (1).
Линейный разностный оператор [pic] определяется при помощи матрицы
коэффициентов [pic] системы линейных уравнений (2), являющихся функциями
шага разностной сетки [pic]. Для получения разностных уравнений (2), кроме
того, необходимо задать функционалы [pic], определенные в некотором классе
[pic], и граничные условия.


§ 2. Рассмотрим класс уравнений
[pic]. (3)
Функции [pic] назовем коэффициентами уравнения (3).
Класс дифференциальных уравнений (3) будет определен, если фиксирован
тип оператора L и указан класс, к которому принадлежат коэффициенты [pic].
Пусть [pic] обозначает класс разностных операторов [pic], элементы
матрицы [pic] которых являются функционалами, определенными в
рассматриваемом классе коэффициентов [pic] и зависящими от параметра h.
Такую матрицу-функционал [pic]=[pic] будем называть разностной схемой.


§ 3. Введем необходимые для дальнейшего определения :

1. Назовем [pic] класс функций [pic], имеющих m-ю производную,
удовлетворяющую на отрезке [0,1] условию Гельдера порядка [pic].Если
m-я производная непрерывна, то соответствующий класс функций будем
обозначать [pic]. В частности, [pic] есть класс непрерывных функций.
2. Будем говорить, что [pic] принадлежит классу [pic], если [pic] и ее m
производных кусочно-непрерывны на (0,1). Если, кроме того, m-я производная
в каждом из интервалов непрерывности удовлетворяет условию Гельдера порядка
[pic], то соответствующий класс назовем [pic]. В частности, [pic] - класс
кусочно-непрерывных функций.
3. Пусть [pic] есть некоторое решение уравнения [pic]; [pic]-
соответствующее решение уравнения [pic] [pic] - функция, равная [pic] при
[pic] и линейная между соседними узловыми точками сетки. Будем говорить,
что разностный оператор [pic] сходится к дифференциальному оператору L,
если функция [pic] равномерно стремится к нулю при [pic] и произвольной
функции [pic] из некоторого класса, т. е.
[pic], где [pic] при [pic].
Если [pic]=[pic] или [pic], где M - положительная постоянная, зависящая
от выбора функции [pic], то будем говорить, что [pic] имеет n-й
(интегральный) порядок точности относительно L.
4. Разностный оператор [pic] имеет n-й порядок аппроксимации
относительно оператора L, если найдется такое m, что для любой функции
[pic] из класса [pic] при всех значениях N и во всех точках разностной
сетки будем иметь
[pic],
где М - положительная постоянная, зависящая от выбора [pic]. Аналогично
можно говорить о порядке аппроксимации на некотором отрезке [a,b] [pic]
[0,1] .
5. Если при любом выборе коэффициентов [pic] из заданного
функционального класса разностная схема дает разностный оператор [pic],
сходящийся к оператору L , который соответствует выбранным коэффициентам
[pic], то разностную схему [pic] будем называть сходящейся в данном классе
коэффициентов. Аналогично будем говорить, что разностная схема [pic] имеет
n-й интегральный порядок точности (или n-й порядок аппроксимации) в данном
классе коэффициентов, если для любых функций [pic] из этого класса
разностный оператор [pic] имеет n-й интегральный порядок точности (n-й
порядок аппроксимации).
6. Разностные схемы [pic] и [pic] эквивалентны в смысле сходимости в
некотором классе коэффициентов [pic], если для любых функций из этого
класса разность [pic] равномерно стремится к нулю при [pic].
Если [pic][pic] ( или [pic][pic]-[pic][pic][pic] ) при любой функции
[pic] из данного класса, то разностные схемы [pic]и[pic] имеют n-й
интегральный ( или локальный) порядок эквивалентности.
Очевидно, что:
Если [pic]и[pic]имеют n-й порядок точности, то они имеют n-й
интегральный порядок эквивалентности.
Если [pic]и[pic]имеют n-й интегральный ( или локальный) порядок
эквивалентности и [pic] имеет n-й порядок точности ( или n-й порядок
аппроксимации), то и [pic]обладает тем же свойством.
7. Будем называть разностную схему
[pic]=[pic]
симметричной схемой, если разностный оператор [pic] остается неизменным
при изменении направления оси x. Условия симметрии имеют вид:
1) [pic];
2) [pic].
8. Разностная схема [pic] называется однородной схемой, если элементы
[pic] матрицы [pic] во всех точках i определяются единообразно для всех
функций [pic], т. е. являются функционалами вида
[pic].
Если однородная схема симметрична, то
1) [pic];
2) [pic].


§ 4. Рассмотрим на отрезке [pic] первую краевую задачу для класса
уравнений
[pic]. (4)
Пусть
[pic] (5)
трехточечная однородная разностная схема, коэффициенты которой
[pic]
где [pic] - суть функционалы от функции [pic], заданной для [pic].
Для того чтобы разностная схема имела в классе [pic] [pic] k-й порядок
аппроксимации, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
[pic] (6)
[pic] (7)
Лемма 1. Если разностная схема (5) имеет k-й порядок аппроксимации, то
и схема
[pic] (8)


обладает тем же свойством.


§ 5. Однородную разностную схему (8) будем называть p- линейной (или
просто линейной), если: 1) [pic]являются линейными регулярными
функционалами [2]; 2) при [pic] имеет место представление
[pic] (9)
где [pic] ; [pic] - постоянная, зависящая от выбора [pic], причем все
коэффициенты при степенях [pic]являются линейными регулярными
функционалами.
Линейная разностная схема
[pic] (10)
называется канонической, если функционалы [pic]не зависят от h.
Лемма 2. Если линейная разностная схема вида (8) имеет k-й порядок
аппроксимации ( k=1,2) , то и соответствующая ей каноническая схема, у
которой [pic], также имеет k-й порядок аппроксимации.
Отметим, что для схемы первого порядка аппроксимации должны выполняться
условия
[pic]
а для схемы второго порядка аппроксимации - условия
[pic].
Лемма 3. Если каноническая схема первого порядка аппроксимации
симметрична, то она имеет второй порядок аппроксимации.


§ 6. Требование определенности [pic] в [pic] означает, что [pic]ни в
одной точке разностной сетки для любой функции [pic]. Эти условия будут
выполнены, если функционалы A и B являются положительными ([pic]при [pic])
(см. [2] ).
Если каноническая схема [pic] симметрична и функционалы
[pic]положительны, то такая разностная схема называется нормальной. В
дальнейшем мы будем рассматривать нормальные схемы.
Связь между порядком аппроксимации и порядком точности устанавливает
следующая теорема:
Теорема. Сходимость нормальной разностной схемы в смысле аппроксимации
необходима и достаточна для интегральной сходимости, точнее:
1) Если нормальная схема сходится в [pic], то она имеет первый порядок
аппроксимации в [pic] и, в силу симметрии, второй порядок аппроксимации для
[pic].
2) Если нормальная схема имеет второй порядок аппроксимации в [pic], то
она сходится в [pic], имеет первый порядок точности в [pic] и второй
порядок точности в [pic].
Вопросы о сходимости и порядке точности нормальных разностных схем в
классе [pic] будут рассмотрены отдельно.


Литература

1. А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, ДАН, т. 108, ?3, 1956.
2. А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, ДАН, т. 122, ? 2, 1958.