Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mph.cs.msu.su/Home/Opus/a53.doc Дата изменения: Tue Apr 6 14:51:42 2010 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:35:04 2016 Кодировка: koi8-r

Доклады Академии наук СССР 1959, Том 125, ? 5.

А.Н. Тихонов

Об асимптотическом поведении интегралов, содержащих бесселевы
функции.

При решении многих задач математической физики для слоистых сред
встречаются интегралы типа
[pic],
а также их производные по [pic] , где [pic] - бесселева функция нулевого
порядка. Целью настоящей статьи является изучение асимптотического
поведения [pic]и их производных при [pic].
Этот вопрос изучался в (1) в предположении аналитичности функции
[pic] , которое , однако, нельзя признать исчерпывающим, так как оно не
гарантирует сходимости интеграла и асимптотики того типа, которая
приводится в работе (1). Действительно, интеграл [pic], соответствующий
функции
[pic]
при [pic], обращается в бесконечность при [pic] и [pic] не имеет
предела при [pic].
1. Основным классом функций [pic], для которого будет проведено
изучение интегралов [pic], является класс функций [pic], имеющих
ограниченную вариацию в промежутке [pic], где [pic] зависит от [pic].
Иными словами, мы будем предполагать, что

[pic] для [pic], [pic],

где [pic] и [pic] - невозрастающие функции, стремящиеся к нулю при
[pic]. Мы будем предполагать, что функции класса [pic] интегрируемы на
всем промежутке [pic].
Вспомогательная лемма. Если функция [pic] ограничена, то интеграл
[pic][pic]
сходится.
Разбивая этот интеграл на два - в пределах от [pic] до [pic] и от
[pic] до [pic] , убеждаемся в его сходимости, воспользовавшись асимптотикой
для [pic] и теоремой Лейбница о сходимости убывающего знакопеременного
ряда.
Лемма 0. Если функция[pic] ограничена, то
[pic] , где [pic] при [pic].
Для этого надо потребовать, чтобы для любого [pic] нашлось такое
[pic], что [pic] для [pic]. Представляя [pic] в виде
[pic]
нетрудно добиться того, чтобы модуль каждого слагаемого не превосходил
[pic]. Для первого слагаемого это решается выбором достаточно малого
[pic]. Второе и третье слагаемые меньше [pic], что следует из асимптотики
для [pic].
Лемма 1. Если функция [pic] удовлетворяет условиям: 1)[pic]
непрерывна; 2) [pic] ; 3) существует [pic] , ограниченная в[pic] , то
[pic].
Пользуясь уравнением Бесселя для [pic] , имеем
[pic]
где [pic].
В силу условий [pic] ограничена и [pic] . Отсюда и следует утверждение
леммы.
Лемма 2. Если непрерывная функция[pic] удовлетворяет условиям: 1)
[pic] , 2) [pic] непрерывная и [pic] ограниченные функции из[pic], то
[pic]
Преобразуя [pic] дважды интегрируя его по частям, получим
[pic]
где
[pic]
В силу условий леммы результаты подстановки обращаются в нуль, а
[pic] ограничена при [pic]. Отсюда и следует утверждение леммы.
Замечание к лемме 2.Если [pic] или [pic] кусочно непрерывны, то
результаты подстановки не обращаются в нуль, а дают дополнительное
слагаемое
[pic]
где [pic] и [pic] - точки разрыва и скачки функций [pic]
Теорема 1. Если [pic] имеет в [pic] производных, принадлежащих тому же
классу, причем [pic]я производная ограничена, а остальные непрерывны, и
если [pic] для [pic] где [pic] , то
[pic]
Доказательство проводится индукцией с использованием преобразований
из леммы 2. Оператор
[pic]
где [pic] - различные средние значения [pic] в [pic]. Отсюда следует, что
если [pic], то [pic] имеет [pic] производных, причем [pic]-я производная
ограничена, а остальные непрерывны. Кроме того, если [pic] при [pic] то
это же имеет место и для [pic] при [pic].
Таким образом,
[pic]
где
[pic]
Если [pic] нечетно, то [pic] и [pic] имеет ограниченную производную и
обращается в нуль при [pic]. В силу леммы 1 в этом случае
[pic]
Если [pic] четно, то [pic] имеет непрерывную первую и ограниченную
вторую производные и [pic]. В силу леммы 2
[pic]
2. Асимптотическое представление для [pic] дает теорема 2.
Теорема 2. Если функция [pic] имеет в [pic] производных,
принадлежащих к тому же классу, причем [pic]-я производная ограничена, а
остальные непрерывны, то
[pic]
где [pic]
Для доказательства построим функцию [pic], для которой легко
вычислить асимптотику [pic]-го порядка и, кроме того, [pic]. Положим
[pic]
где [pic] - производные, но различные между собой положительные числа.
Коэффициенты [pic] должны при этом удовлетворять равенствам
[pic]
откуда они находятся однозначно, так как определителем системы является
определитель Вандермонда.
Пользуясь известной формулой
[pic]
находим, что
[pic]
Функция [pic] удовлетворяет всем условиям теоремы 1 с [pic], определяемым
функцией [pic]. Таким образом,
[pic]
3. Асимптотическую формулу, установленную в теореме 2, можно
почленно дифференцировать.
Теорема 3. Имеет место формула
[pic]
если помимо условий, наложенных на [pic] в теореме 2, функция [pic] и ее
[pic] производных принадлежат классу [pic], причем [pic]-я производная этой
функции ограничена, а остальные непрерывны.
В самом деле,
[pic]
так что дифференцирование по [pic] можно выполнить под знаком интеграла:
[pic]
[pic]
или
[pic]
Принимая во внимание, что
[pic]
получаем как следствие теоремы 2 нужную нам формулу
[pic]
Вычисление последующих производных проводится аналогично при
выполнении очевидных дополнительных требований.
Условия для применимости асимптотики и возможности ее
дифференцирования будут выполнены, если помимо нужного порядка
дифференцируемости для[pic] имеет место разложение
[pic] (при [pic]).
В заключении отметим, что если функция [pic] или ее производные
кусочно-непрерывны, то, как следует из замечания к лемме 2, в
асимптотическом представлении [pic] появятся дополнительные слагаемые,
вычисление которых не представляет труда.




Литература

1. H.F. Willis, Phil. Mag., 39, 455 (1948).