Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mph.cs.msu.su/Home/Opus/a52.doc Дата изменения: Tue Apr 6 14:51:20 2010 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:34:28 2016 Кодировка: koi8-r

Математический сборник т. 27(69), ? 1, 1950

А. Н. Тихонов

О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
[pic]
и решение этой системы, определяемое условиями
[pic]
Это решение зависит от параметров [pic]
Целью настоящей статьи является изучение функций [pic]и [pic], когда все
[pic]. При этом мы будем предполагать, что стремление [pic] к нулю может
быть характеризовано некоторым параметром [pic] ( непрерывным или
дискретным), так что все [pic]являются функциями [pic] и [pic] при [pic]
Кроме того, мы будем предполагать, что
[pic]
и существует предел отношения [pic]при [pic]. Без ограничения общности (за
счет изменения правых частей) можно считать, что либо [pic]и вообще [pic],
либо [pic].
Нашей целью является установление условий, при которых пределы
[pic]
определяются как решение вырожденной системы
[pic]
при [pic]
Эта задача была рассмотрена для случая одного параметра нами [1] и
А.Б.Васильевой [2] . Изучение систем с несколькими параметрами весьма
сходно с изучением систем с одним параметром, что и было отмечено нами в
работе [1]. Однако, так как формулированная там теорема неверна*, то мы и
даем здесь более подробное изложение случая нескольких параметров.

§ 1

В этом параграфе мы исследуем систему уравнений с несколькими равными
параметрами
[pic] (I)
с условиями
[pic]
Рассмотрим вырожденную систему
[pic]
и предположим, что система функций
[pic]
является корнем уравнений [pic] . Решение вырожденной системы
[pic]
зависит от выбранного корня [pic]. В дальнейшем мы будем предполагать, что
все входящие в рассмотрение функции непрерывны и что функции [pic] имеют
ограниченные частные производные по всем переменным.
Пусть корень [pic] уравнений [pic] определен в области D пространства
[pic]. Будем говорить, что этот корень устойчив в области D1 (совпадающей с
D или являющейся частью области D ), если найдется такое [pic], что
[pic]
отрицательно* для любой точки [pic] , для которой
[pic] и [pic],
при произвольном выборе точки [pic] из области D1 .
Лемма. Если, интегральная кривая системы (1) удовлетворяет условию
[pic]
для некоторого [pic], где [pic] - устойчивый корень системы [pic], то это
неравенство имеет место для [pic], пока проекция кривой [pic]не выйдет из
области устойчивости D1
Доказательство. Функция
[pic]
обращается в нуль при [pic]и отрицательна для устойчивого корня, если
[pic]. Производная
[pic]
Положим
[pic].
При этих условиях для [pic]
[pic] при [pic],
т. е. [pic] не может превзойти значения [pic].
Аналогично доказывается теорема о том, что вблизи неустойчивого корня для
достаточно малого [pic] функция [pic] возрастает, и, следовательно, для
неустойчивого корня невозможно предельное равенство
[pic].
Если параметр[pic]стоит только при одном уравнении, то критерий
устойчивости совпадает с рассмотренным нами ранее [1], а именно, из
[pic]
вытекает, что функция
[pic]
имеет знак, противоположный знаку [pic], т. е. что корень [pic] уравнения
[pic] устойчив.
Обратимся к изучению тех начальных значений, при которых кривая [pic] будет
приближаться к решению вырожденной системы, соответствующей данному
устойчивому корню.
Рассмотрим систему уравнений
[pic] (II)

Значения
[pic]
определяют особую точку нашей системы, так как в этой точке все [pic].
Функция
[pic]
окрестности точки [pic], соответствующей устойчивому корню, убывает с
возрастанием [pic] для любого решения нашей системы. В самом деле,
[pic],
а функция F, по предположению, отрицательна в окрестности устойчивого
корня. Таким образом, всякое решение системы (II), соответствующее
начальной точке, находящейся вблизи точки [pic], стремится к этой точке
при [pic].
Совокупность точек [pic], для которых решения [pic] системы (II) с
начальными условиями стремятся при [pic] к значениям [pic], будем называть
областью влияния устойчивого корня.
Таким образом, если некоторая точка [pic] принадлежит области влияния
устойчивого корня [pic] то, каково бы ни было [pic], найдется такое [pic],
что интегральная кривая для системы, полученной из системы (II) изменением
правых частей меньше, чем на [pic], будет находиться в [pic]-окрестности
точки [pic] для значения [pic].
Теорема. Если начальная точка [pic] принадлежит области влияния
устойчивого корня [pic] системы (I), то интегральная кривая этой системы
[pic], соответствующая начальной точке [pic], стремится при [pic] к пределу
[pic], являющемуся решением вырожденной системы
[pic][pic]
причем это стремление равномерно в области [pic].
Доказательство. Пусть задано некоторое [pic]. Рассмотрим систему (II).
Интегральная кривая [pic] при [pic]стремится к точке [pic] в силу того,
что начальная точка [pic] принадлежит области влияния устойчивого корня
[pic]. Обозначим через [pic]значение параметра [pic], при котором кривая
[pic] находится в[pic]-окрестности точки [pic].
Перепишем систему (I) в виде
[pic]

Легко убедиться в существовании такого [pic], что если [pic], то приращение
[pic]при изменении [pic] от 0 до [pic] будет как угодно мало, и при этом
изменении [pic] функции [pic] как угодно мало отличаются от функций [pic]в
силу непрерывности их по t и у; следовательно, за промежуток времени [pic]
интегральная кривая [pic] войдет в [pic]-окрестность точки [pic]. Выберем,
кроме того, [pic] настолько малым, чтобы точка [pic]отстояла от точки
[pic] меньше чем на [pic]. Таким образом, в момент [pic]точка [pic] для
любого [pic] находится в [pic]-окрестности точки [pic]. Если
[pic]достаточно мало, то, в силу устойчивости корня [pic], будет иметь
место неравенство
[pic] для [pic],
т.е.
[pic] для [pic],[pic]
Отсюда следует, что функции[pic] удовлетворяют системе уравнений
[pic]
причем [pic] равномерно стремятся к нулю при [pic] в области[pic], а при
[pic]удовлетворяют условиям
[pic] при [pic].
Параметр [pic] в этой системе входит в правую часть и в начальные условия.
В силу известных теорем, мы можем утверждать, что функции[pic] при
[pic]стремятся к решению системы
[pic]
Так как, кроме того,
[pic]
то [pic] при [pic]стремится к функции
[pic]
Очевидно, что это стремление равномерно в области [pic]. Таким образом,
теорема доказана.

§ 2

Рассмотрим теперь систему уравнений с несколькими параметрами. Для простоты
обозначений мы возьмем систему с двумя параметрами
[pic] (I)
с начальными условиями
[pic]
Вырожденная система зависит от корней уравнений
[pic]
Корень [pic] cистемы [pic] будем называть корнем первого порядка, а корень
[pic] системы [pic], в которой значения [pic] заменены на [pic] ,будем
называть корнем второго порядка.
Введем обозначение:
[pic]
При этих обозначениях вырожденная система может быть записана в виде
[pic] (I')
с начальными условиями
[pic]
Нашей целью является установление условий, при которых решение
Корень первого порядка [pic] системы [pic] будем, как и раньше, называть
устойчивым в области [pic]если существует такое [pic], что
[pic]
отрицательно при всех [pic], для которых [pic]и
[pic]
для любой точки [pic] из области [pic].
Если [pic]при тех же условиях, то будем называть корень неустойчивым.
Аналогично определяется устойчивость корня второго порядка [pic] системы
[pic], в которой z заменено на [pic] - корень первого порядка.
Областью влияния корня первого порядка [pic] называется совокупность
точек [pic], для которых интегральные кривые системы
[pic] (II')
при [pic]стремятся к [pic]. Значения [pic] при этом считаются параметрами.

Областью влияния корня второго порядка [pic]называется совокупность точек
[pic], для которых интегральные кривые системы
[pic] (II'')
при [pic]стремятся к [pic].Значения [pic]при этом считаются параметрами.
Т е о р е м а. Если для системы (I) начальная точка [pic] принадлежит
области влияния устойчивого корня первого порядка[pic], и при этом точка
[pic] принадлежит области влияния устойчивого корня второго порядка [pic],
то решение [pic] системы (I) при [pic]и [pic] стремится к [pic], где [pic]
- решение вырожденной ,системы (I'), причем это стремление равномерно в
области [pic].
До к а з а т е л ь с т в о. Доказательство этой теоремы мало отличается от
доказательства соответствующей теоремы в случае одного параметра.
Рассмотрим систему (II'). Так как точка [pic] принадлежит области
влияния устойчивого корня первого порядка [pic], то, каково бы ни было
[pic], найдется такое [pic], что для [pic] интегральная кривая системы
(II') будет находиться внутри [pic]-окрестности точки [pic] .
Переписывая систему (I) в виде
[pic],
видим, что если [pic]и [pic]достаточно малы, то за промежуток времени [pic]
( или [pic]) функции [pic]изменятся в пределах наперед заданной точности.
Отсюда следует, что функции [pic] в пределах заданной точности будут
совпадать с решениями системы (II'), и, в частности, для значения [pic] эти
функции определят точку, находящуюся в [pic]- окрестности точки [pic] ,
так что
[pic]Рассмотрим функцию
[pic].
Производная этой функции
[pic]
отрицательна при [pic]для достаточно малых [pic], если [pic] мало, так
как первое слагаемое равно[pic]. Таким образом, [pic]при [pic] и при [pic]
не может превзойти это значение. Отсюда следует, что
[pic].
причем, каково бы ни было [pic]и[pic], для достаточно малых [pic] и [pic]
[pic] для [pic].
При этом [pic]может быть выбрано так, что функции [pic] и[pic] отличаются
от своих начальных значений в пределах заданной степени точности:
[pic]

Таким образом, функции [pic] и[pic] удовлетворяют системе уравнений
[pic][pic]
с начальными условиями
[pic],
причем параметр[pic]входит в правую часть.
Рассмотрим систему уравнений
[pic] ,
в которой [pic]- параметры. Так как точка [pic]принадлежит области влияния
устойчивого корня [pic]то найдется такое [pic], что интегральная кривая
системы (II'') с начальными условиями [pic]для значения[pic] будет
находиться в [pic]-окрестности точки [pic]:
[pic].
Это же неравенство будет иметь место и для немного измененной системы
[pic]
с измененными начальными условиями
[pic] ,
если только [pic] и [pic] выбраны достаточно малыми. Иными словами,
[pic]
для [pic]. При этом для [pic]отклонение[pic]от своих начальных значений
будет как угодно мало.
В силу устойчивости корня второго порядка [pic], функция [pic] не может
превзойти [pic], если только[pic] достаточно мало. В самом деле,
[pic]
Правая часть отрицательна, в силу устойчивости корня второго порядка, если
[pic] и [pic] достаточно мало. Таким образом, [pic]и
[pic]
[pic] при [pic]для всех [pic].
Отсюда заключаем, что функции [pic] удоветворяют системе уравнений
[pic]

С начальными условиями
[pic],
где [pic] зависят от параметров [pic] и [pic] и как угодно малы, если [pic]
и [pic] достаточно малы. Отсюда далее следует, что [pic] равномерно
сходится к функциям [pic] в области [pic] , а также что
[pic]
и
[pic]
в области [pic] равномерно сходятся к функциям
[pic]
и
[pic],
что и требовалось доказать.
Случай большего числа параметров изучается совершенно аналогично, так
как характер индукции вполне определен в приведенном доказательстве.
Если хотя бы один из корней первого или второго порядка неустойчив,
то решение полной системы не может сходиться к решению вырожденной системы.


Литература

1. А.Н.Тихонов. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого
параметра, Мат. сб., 22(64), 1948, с.193-204.
2. А.Б.Васильева. О дифференцировании решений дифференциальных уравнений,
содержащих малый параметр, ДАН СССР, LXI, ? 4, 1948, с. 597-599.



* На неточность формулировки названной теоремы мое внимание обратил
И.С.Градштейн
* Приводимый здесь критерий является, очевидно, достаточным и не охватывает
всех случаев устойчивости