Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mph.cs.msu.su/Home/Opus/a42.doc Дата изменения: Tue Apr 6 14:48:46 2010 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:31:58 2016 Кодировка: koi8-r

Журнал технической физики, том XVIII, вып. 7, 1948

А. Н. Тихонов, А. А. Самарский

О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ.


Несмотря на то, что утверждение о возможности разложения произвольного
поля в волноводе на сумму трансверсального электрического поля ТЕ и
трансверсального магнитного поля ТМ неоднократно высказывалось рядом
авторов[1], однако мы нигде не встречали какого-либо доказательства
этого, казалось бы, очевидного факта. Целью настоящей статьи является
проведение строгого математического доказательства полноты системы ТЕ и ТМ
полей для волновода произвольной формы. Таким образом, будет доказано, что
любое электромагнитное поле в волноводе может быть представлено при помощи
двух векторов Герца, имеющих лишь по одной отличной от нуля компоненте. Тем
самым проблема определения электромагнитных полей в волноводе сводится к
задаче нахождения двух скалярных функций [pic] и [pic] (продольных
компонент электрического и магнитного векторов Герца).
1. Пусть в направлении оси [pic] простирается бесконечный полый цилиндр
[pic] с идеально проводящими стенками, поперечным сечением [pic], форма
которого определяется кривой [pic]. В плоскости перпендикулярного сечения
[pic] расположены оси [pic] и [pic].
Для электромагнитного поля внутри такого волновода, в силу идеальной
проводимости стенок, имеет место граничное условие и, следовательно,
и, следовательно, [pic] (1)
Каждая из компонент [pic] и [pic] удовлетворяет волновому уравнению,
краевым условиям
[pic] (2)
и принципу излучения на бесконечности, который мы берем в виде отсутствия
волн, приходящих из бесконечности.
Рассмотрим некоторое электромагнитное поле внутри волновода, зависящее
от времени по закону [pic] (этот фактор, как обычно, опускаем), регулярное
всюду в области [pic]. Покажем, что это поле можно представить в виде суммы
полей
[pic] (3)
причем [pic] и [pic] т. е. первое поле [pic] является трансверсальным
магнитным, а второе - трансверсальным электрическим.
Если [pic] и [pic] - электрический и магнитный векторы Герца, то можно
записать (3) следующим образом
[pic] (4)
причем [pic] и [pic] имеют лишь по одной отличной от нуля компоненте вдоль
оси волновода (оси [pic]), так что
[pic]
где [pic]- орт оси [pic].
Переходя в (4) к отдельным компонентам поля получим
[pic] (5)
Мы должны доказать возможность определения векторов [pic] и [pic] по
заданному полю [pic]. Как будет показано, для определения [pic] и [pic]
достаточно использовать не все компоненты поля, а лишь две его составляющие
[pic] и [pic], которые тем самым полностью определяют все остальные
компоненты поля.
Тогда векторы Герца [pic] и [pic] должны удовлетворять уравнениям
[pic] (6)
а также волновым уравнениям
[pic] (7)
Мы будем определять функции [pic] и [pic] из уравнений
[pic] (8)
([pic] - двухмерный оператор Лапласа), которые должны выполняться в силу
(6) и (7).
Кроме того, [pic] и [pic] должны удовлетворять краевым условиям
[pic] (9)
2. Уравнения (8) представляют собой уравнения Пуасcона и могут быть без
труда решены с помощью соответствующей функции Грина
[pic] (10)
[pic] (11)
где [pic]- функция Грина закрепленной мембраны; [pic] - функция Грина
свободной мембраны; [pic] и [pic] - точка наблюдения и точка интегрирования
в плоскости перпендикулярного сечения.
Такое определение является однозначным и возможно для тех областей
[pic], для которых существует функция Грина.
Покажем, что функции [pic] и [pic], определяемые формулами (10) и (11),
удовлетворяют волновым уравнениям (7) и тем самым уравнениям (6).
Как показано в «Добавлении», функции [pic] и [pic] имеют непрерывные
производные по [pic] в области [pic]. Отсюда следует существование [pic]-
производных функций [pic] и [pic] которые можно вычислять при помощи
дифференцирования под знаком интеграла. При этом особенности функции Грина
никаких осложнений не вызывают. Поэтому
[pic] (12)
Учитывая, что
[pic], (13)
получим
[pic]
Последний интеграл, в силу свойства функции Грина, равен [pic].
Пользуясь, наконец, определяющим функцию [pic] уравнением (8), находим
[pic]
Аналогично убеждаемся в том, что
[pic].
В уравнениях (8) переменная [pic] играет роль параметра. Функции [pic]
и [pic] в каждом перпендикулярном сечении при фиксированном [pic] полностью
определяются значениями [pic] и соответственно [pic] в этом сечении.
Нетрудно видеть из (10) и (11), что [pic] и [pic] удовлетворяют принципу
излучения при [pic], так как этот принцип имеет место для величин [pic] и
[pic].
3. Итак, считая поле заданным всюду в области [pic] и беря только две
компоненты поля [pic] и [pic], мы нашли векторы Герца [pic] и [pic],
которым, согласно формулам (4), соответствует некоторое поле [pic], которое
мы будем называть вычисленным полем. При этом, очевидно,
[pic]
Мы должны доказать тождество поля вычисленного [pic] с полем заданным
[pic].
С этой целью подставим вычисленные по (10) и (11) величины [pic] и [pic]
в уравнения (5) и затем воспользуемся уравнениями Максвелла
[pic]. (14)
Тогда будем иметь
[pic]. (15)
Такие же соотношения, очевидно, имеют место и для заданных полей [pic].
При этом на границе [pic] выполняется краевое условие
[pic]
и соответственно
[pic][pic]
Здесь [pic] и [pic] - косинусы тангенциального направления [pic] в
плоскости [pic]. Вводя функции
[pic] (16)
и учитывая (13), получим
[pic] (17)
[pic] (18)
Нетрудно видеть отсюда, что уравнения (17) с граничным условием (18)
представляют собой известную проблему Гильберта.
Найти две сопряженные функции [pic] и [pic] внутри области [pic],
определяемые условиями
[pic][pic]внутри [pic], (19)
[pic], (20)
где [pic]- некоторая заданная на контуре [pic] функция дуги [pic].
Проблема Гильберта, как известно, имеет единственное решение. В силу
однородности краевого условия (18), отсюда следует, что
[pic] (21)
т.е.
[pic]
Так как, согласно (13), [pic] то из уравнения Максвелла
[pic]
сразу же вытекает, что
[pic]
Таким образом, доказано полное совпадение полей вычисленных с полями
заданными
[pic]
Этим самым установлено, что всякое электромагнитное поле в волноводе
полностью определяется его компонентами [pic]и [pic], откуда, в частности,
согласно вышеизложенному, и следует возможность представления любого поля в
волноводе в виде суммы поперечного электрического [pic] и поперечного
магнитного [pic] полей, в области, где отсутствуют источники.


Добавление.

Пусть нам задана функция [pic] удовлетворяющая внутри бесконечной
цилиндрической области [pic] уравнению [pic], непрерывная в замкнутой
области и обращающаяся в [pic] на границе. Докажем, что производные этой
функции по переменному [pic] непрерывны в области [pic] и на ее границе.
Рассмотрим область [pic], вырезанную из [pic] двумя параллельными
плоскостями [pic] и [pic], находящимися на расстоянии [pic] друг от друга.
Пусть
[pic] и [pic]
где [pic] и [pic] - непрерывные функции, определенные внутри [pic] и
обращающиеся в [pic] на [pic].
Найдем решение уравнения
[pic]
для области [pic], считая функции [pic] и [pic] заданными; при этом [pic]
должна обращаться в нуль на боковой поверхности [pic] ( или [pic] на
[pic]).
Как известно, уравнение [pic] имеет единственное решение для области
достаточно малого объема [1] .
При этом мы считаем [pic] настолько малым, что в рассматриваемой области
[pic] решение уравнения [pic] однозначно определяется своими краевыми
значениями. Построим решение уравнения [pic] для области [pic] методом
разделения переменных. Положим
[pic] (22)
где
[pic], (23)
где [pic], [pic] - коэффициенты Фурье разложения функций [pic] по
собственным функциям [pic]
Рассмотрим сначала функцию [pic].
Если [pic] истокообразно представима при помощи функции Грина плоской
области [pic], то согласно теореме Гильберта-Шмидта [2] [pic]равномерно и
абсолютно сходится, а, следовательно, сходится и наш ряд (23).
Функция [pic] удовлетворяет условиям на боковых стенках цилиндра [pic] и
при [pic] и обращается в нуль при [pic]; аналогично функция [pic]
удовлетворяет краевым условиям на [pic] при [pic] и исчезает при [pic].
Поэтому функция
[pic]
удовлетворяет всем поставленным краевым условиям.
Построенное решение (17) справедливо для функций [pic] и [pic],
представимых истокообразно. Покажем, что эти же формулы сохраняют силу для
любых непрерывных функций [pic] и [pic], обращающихся в [pic] на [pic]. Для
этого нами будет доказана следующая теорема.
Функция
[pic] (24)
где [pic] - непрерывная функция, определенная в [pic] и обращающаяся в
[pic] на [pic], а [pic] ее коэффициент Фурье, 1)
удовлетворяет уравнению [pic] внутри области [pic]; 2)
непрерывна в замкнутой области [pic] и обращается в [pic] на [pic] и при
[pic], а при [pic] равна [pic]. Для доказательства этой теоремы нам
понадобится:
Лемма [3]. Нормированные собственные функции [pic] растут не быстрее
[pic] где [pic] некоторая константа, т. е.
[pic] (25)
Для первых производных имеют место оценки
[pic] (26)
а для вторых производных - оценки

[pic] (27)
справедливые для всякой области, целиком лежащей внутри [pic].
Из (25) следует, что коэффициенты Фурье [pic] непрерывной функции [pic]

[pic]
где [pic] - максимум функции [pic], а [pic]- площадь области.
На основании этих оценок ясно, что ряд, определяющий функцию [pic],
сходится равномерно в области [pic] где [pic]- произвольное число, большее
нуля. Учитывая оценки (25)-(27), нетрудно убедиться в том, что ряды для
первых производных равномерно сходятся внутри той же области, а ряды для
вторых производных сходятся равномерно для всякой внутренней к [pic]
области для [pic]
Отсюда вытекает, что функция [pic] дифференцируема дважды для всякой
внутренней точки при [pic] и удовлетворяет уравнению [pic]. Кроме того,
эта функция непрерывна при [pic] и обращается в [pic] на [pic] и при
[pic].
Таким образом, нам остается выяснить непрерывность функции [pic] при
[pic].
Убедимся, прежде всего, в том, что решение уравнения [pic] монотонно
зависит от граничных значений. Для этого достаточно убедиться в том, что
если на границе функция [pic], то она не может внутри области иметь
отрицательных значений; если же на границе [pic], то внутри области
[pic]не может достигать положительных значений. В самом деле, допустим, что
[pic] на границе, а внутри области может принимать отрицательные значения.
Пусть [pic] область, в точках которой [pic]. Тогда на границе области [pic]
функция [pic]должна обращаться в нуль. Но в таком случае, в силу отмеченной
выше теоремы единственности для достаточно малой области [pic], функция
[pic]в области [pic], что противоречит исходному предположению. Отсюда
сразу же следует, что если краевые значения функции [pic] больше краевых
значений функции [pic], то это же неравенство имеет место всюду в области
определения функций [pic]и [pic].
Очевидно, что можно написать
[pic](28)
Если [pic] истокообразно представимая функция, то функция [pic] при
[pic] принимает краевые значения [pic] в силу равномерной и абсолютной
сходимости ряда Фурье-Гильберта. Отсюда и на основании предшествующего
заключаем, что если истокообразно представимая функция [pic], то и [pic]
Так как это справедливо для произвольной истокообразно представимой
функции [pic], то
[pic] (29)
Докажем теперь, что интеграл
[pic] (30)
где [pic] - некоторая константа.
Рассмотрим возрастающую последовательность областей
[pic] сходящуюся к области [pic], и определим последовательность монотонно
возрастающих, истокообразно представимых неотрицательных функций [pic],
обладающих следующими свойствами
[pic] (31)
Возможность построения таких функций не вызывает сомнений. Функция
[pic] (32)
есть решение уравнения [pic] , краевые значения которого всюду [pic].
Поэтому [pic], где [pic] - то решение нашего уравнения, которое
соответствует краевым значениям, равным [pic]. Обозначим максимум этого
решения через [pic].
Тогда получаем
[pic] (33)
для всякой точки [pic] лежащей внутри [pic]. Эта оценка потребуется нам в
дальнейшем.
Переходим теперь непосредственно к доказательству непрерывности функции
[pic] при [pic] в любой точке [pic].
Пусть задано некоторое [pic]. Построим такую окрестность [pic] точки
[pic], чтобы [pic] для любой точки [pic].
Проведем некоторую кривую [pic], расположенную внутри кривой [pic] и
достаточно близко к ней подходящую. Область, ограниченную кривыми [pic]и
[pic], которую мы обозначим через [pic], выберем настолько малой, что
выполняется неравенство
[pic]
что очевидно в силу доказанной выше оценки (26) для [pic], положительности
[pic] и малости [pic] в области [pic] ([pic] на [pic]). Подберем
окрестность [pic] точки [pic] таким образом, чтобы колебание [pic] в этой
окрестности было меньше [pic]. Положим [pic] для точек [pic], принадлежащих
окрестности [pic]. Очевидно, что и внутри области [pic] функция [pic].
Определим функцию [pic] для остальных точек области [pic] так, чтобы она
была истокообразно представимой и удовлетворяла требованиям
[pic] в области [pic]
[pic] в области [pic]
[pic] в области [pic]
в остальном функция [pic] произвольна.
Очевидно, что
[pic]
В самом деле,
[pic]
Так как
[pic] и [pic]
и, кроме того, согласно сделанному выше предположению,
[pic]
то
[pic]
Из непрерывности функции [pic] вытекает существование такой окрестности
[pic], что
[pic]
или
[pic]
Поэтому
[pic]
т.е.
[pic]
для любой точки [pic], принадлежащей окрестности [pic].
С другой стороны, строя совершенно аналогичным образом функцию [pic],
можно установить, что
[pic] (34)
для любой точки [pic], принадлежащей окрестности [pic].
Отсюда следует
[pic] (35)
для любой точки [pic], что и показывает непрерывность [pic] в произвольной
точке [pic] при [pic].
Нетрудно видеть, что для точек, лежащих на границе, рассуждения
существенно не меняются, чем и доказана непрерывность функции [pic] в
замкнутой области [pic].
Точно таким же путем можно установить непрерывность функции [pic], а,
следовательно, на основании предыдущего, и функции [pic] в замкнутой
области [pic].
Теорема доказана.
Таким образом, мы получили явное выражение для функции [pic] в области
[pic] через ее значения при [pic] и [pic]. Из этого представления следует,
что [pic] является непрерывной функцией в точке [pic], где [pic]
произвольная точка замкнутой области [pic], а [pic], причем [pic].
Установление этого факта и являлось основной целью данного добавления.
Отметим, далее, что из доказанной непрерывности [pic] следует, что
[pic] (36)
где [pic] - непрерывная функция.
Следовательно, функция [pic] представима истокообразно через функцию
Грина [pic] для плоской области [pic], т. е.
[pic] (37)
и в силу теоремы Гильберта - Шмидта разлагается в равномерно абсолютно
сходящийся ряд
[pic] (38)
где
[pic]
коэффициент Фурье функции [pic]. Очевидно, что функция [pic]
дифференцируема по [pic] сколько угодно раз в силу доказанной непрерывности
для [pic] ( для [pic] и [pic]).
Нетрудно убедиться в том, что [pic] удовлетворяет уравнению
[pic] (39)
Действительно,
[pic]
В последнем интеграле допустимо почленное интегрирование в силу
установленного выше вида функции [pic], что нам дает
[pic]
Таким образом, нами также показано, что произвольное решение волнового
уравнения
[pic],
определенное в бесконечной цилиндрической области [pic] и обращающееся
[pic] на границе, может быть представлено в виде
[pic]
где [pic] определяется уравнением (39).

Литература


1. В.В. Немыцкий. Математический сб., 1 (43), 4, 1936.
2. И. И. Привалов. Интегральные уравнения, 129, ОНТИ, 1935.
3. А. А. Самарский и А. Н. Тихонов, ЖТФ, XVII, 1283, 1947.
-----------------------
[1] См., например, Stratton. Electromagnetic theory. New Jork, 1941. -
Введенский и Аренберг. Радиоволноводы, ОГИЗ, М. - Л.. 1946.