Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mph.cmc.msu.ru/Home/Opus/a66.doc Дата изменения: Tue Apr 6 14:56:44 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:33:06 2012 Кодировка: koi8-r

А.Н. Тихонов, А. Д. Горбунов

Об оптимальности неявных разностных схем типа Адамса


1. Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных
уравнений:
[pic], (1)
где [pic] - искомая вектор-функция от x, [pic] -заданная вектор-функция от
x и [pic].
Пусть для приближенного решения этой задачи применяется устойчивая
неявная разностная схема типа Адамса, использующая n+1 точку ( n - четное):

[pic] (2)
([pic]) при соответствующих начальных условиях.
Известно [1], что для погрешности метода, определяемого формулой (2),
при достаточной гладкости вектор-функции f имеет место следующее
асимптотическое разложение:
[pic], (3)
где [pic] - точное решение задачи (1), [pic] - матрицант матрицы [pic],
[pic]- точное решение уравнения (2) при соответствующих начальных условиях,
s - степень оператора [pic], константы [pic] и [pic] определяются
формулами
[pic] . (4)
Таким образом, величина главного члена (относительно h) разложения (3)
при фиксированном h для данного решения [pic] целиком определяется
величиной коэффициента [pic].
Известно также [2], что при соответствующем выборе коэффициентов [pic]
и [pic] получается неявная схема вида (2) максимальной степени s=n+2. При
этом, вообще говоря, определяются не все 2n+2 коэффициента [pic] и [pic],
входящие в уравнение (2); некоторые из них остаются относительно
свободными. Возникает вопрос, нельзя ли при соответствующем выборе этих
свободных коэффициентов получить такую устойчивую схему вида (2) наивысшей
степени, для которой отношение [pic] принимало бы минимальное значение.
Рассмотрению последней задачи и посвящается настоящая заметка.

2. Прямой путь решения рассматриваемой задачи состоит в отыскании
относительного минимума выражения [pic], если рассматривать его как функцию
коэффициентов [pic] и [pic] при условиях, что последние удовлетворяют
требованиям устойчивости и соответствующей степени аппроксимации. Однако,
упомянутый путь сопряжен, как всегда, с большими вычислительными
трудностями. В связи с этим рассматриваемая задача будет решаться более
коротким способом.
Наряду с формулой (4) величина [pic] вполне характеризуется
тождеством (см. [1])
[pic] (5)
где [pic] - произвольная достаточно гладкая функция.
Произведем в этом тождестве замену переменного индекса k по
формуле [pic], где [pic] - новый переменный индекс; тогда (5) примет вид


[pic][pic](6)
Последнее соотношение мы подвергнем ряду преобразований, указанных в
работе [2].
Введем в рассмотрение оператор сдвига E, определяемый для произвольной
вектор-функции [pic] равенством [pic], и перепишем (6) в виде
[pic][pic] (7)
где
[pic]
суть характеристические полиномы, соответственно, разностных операторов
[pic].
Отметим, что в условиях рассматриваемой задачи полиномы [pic], [pic] и
величины [pic] и [pic] столь взаимообусловлены, что задание, например,
полинома [pic] вполне определяет полином [pic] и величины [pic] и [pic].
Имея в виду это, преобразуем соотношение (7) так, чтобы для величины [pic]
получилось выражение, для которого легко находится нижняя грань на
совокупности допустимых полиномов [pic].
Так как полиномы [pic], [pic] и величина [pic] не зависят от конкретных
свойств вектор-функции [pic], то соотношение (7) достаточно рассмотреть для
какой-либо более или менее простой функции. Положим, например, [pic][pic],
тогда [pic], и соотношение (7) преобразуется к виду
[pic] ; (8)
[pic] обозначает ту из ветвей, для которой [pic].
Далее, преобразуем рассматриваемую нами комплексную [pic]-
плоскость с разрезом вдоль отрицательного луча действительной оси при
помощи преобразования.
[pic];
при этом вводятся в рассмотрение так называемые ассоциированные многочлены
оператора L:
[pic], (9)
[pic] (10)
( [pic] вследствие того, что [pic]). В результате этого соотношение (8)
преобразуется к виду
[pic]. (11)
Комплексная z -плоскость рассматривается с разрезом по отрезку от -1 до +1
действительной оси. Это соответствует тому, что [pic] определяется
однозначно из условия обращения в нуль этой ветви при [pic].
Наконец, перепишем (11) в виде
[pic] . (12)
Отсюда вытекает, что при заданном [pic] полином [pic] нужно полагать равным
главной части функции
[pic],
ибо только при этом условии имеет место соотношение
[pic].
Заметив это и учитывая разложение
[pic],
получим нужное нам равенство
[pic] , (13)
где
[pic] (14)
Так как в условиях рассматриваемой задачи [pic]= 0 ( ибо [pic]), то
согласно (12) и (13) получается
[pic]. (15)
Если полиномы [pic] выбирать так, чтобы [pic], то будут справедливы
неравенства[pic]. Учитывая, кроме того, что [pic] ( см.[2] ) при [pic],
получим из (15)
[pic] . (16)
Таким образом, нижняя грань [pic] отвечает полиному [pic][pic] или
соответствующему полиному [pic]. Разностная схема вида (2), отвечающая
последнему полиному, очевидно, неустойчива.
Далее вычислим [pic]. Имеем
[pic].
После этого с учетом (16) получим
[pic] . (17)
Тем самым, доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Среди устойчивых схем вида (2) ( n - четное ) наивысшей
степени s=n+2 не существует схемы, для которой величина [pic] достигала бы
минимума.

Теорема 2. Для всякой устойчивой схемы вида (2) ( n - четное) наивысшей
степени s=n+2 имеет место неравенство [pic][pic].

Теорема 3. Для всякого произвольного положительного числа [pic] можно
построить устойчивую схему вида (2) ( n - четное) наивысшей степени s=n+2
такую, что[pic][pic]+[pic].

Литература

1. А.Н. Тихонов, А.Д. Горбунов. Асимптотические разложения погрешности
разностного метода решения задачи Коши для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1962, 2, ?
4, 537- 548.
2. G. Dahlquist. Convergens and stabiliti in the numerical integration of
ordinary differential equations. Math. skand., 1956, 4, ? 1, 33-53.