Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mph.cmc.msu.ru/Home/Opus/a64.doc Дата изменения: Tue Apr 6 14:55:50 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:32:41 2012 Кодировка: koi8-r

В МОСКОВСКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ

ЗАСЕДАНИЯ МОСКОВСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА

Заседание 16 декабря 1958 г.


А. Н. Тихонов и А. А. Самарский

О наилучших разностных схемах


1њ. Различные конечно-разностные методы, пригодные для решения
определенного типа дифференциальных уравнений, могут различаться как по
порядку их точности, так и по области применимости в зависимости от класса
коэффициентов этих уравнений. Автоматизация вычислений, связанная с
использованием быстродействующих счетных машин, настоятельно требует
развития алгоритмов решения не отдельных задач, а классов задач. Так,
например, желательно, чтобы одна и та же разностная схема позволяла решать
задачи для дифференциальных уравнений как в случае непрерывных, так и в
случае разрывных коэффициентов, не прибегая к явному выделению точек или
линий разрыва. Это приводит нас к так называемым однородным разностным
схемам, вычислительный алгоритм которых один и тот же для всех точек
разностной сетки и для любых коэффициентов из данного класса (см. [1]-[4]).
При этом может оказаться, что разностные схемы, сходящиеся в некотором
классе коэффициентов, будут давать расходящийся результат в более широком
классе коэффициентов. Например, разностная схема
[pic], (1)
соответствующая дифференциальному оператору [pic], имеет второй порядок
точности в классе достаточно гладких коэффициентов, но расходится при [pic]
в классе разрывных коэффициентов [pic][pic].
2њ. Пусть [pic] ([pic]) - дифференциальное уравнение, а [pic] -
соответствующие разностные уравнения на сетке
[pic].
Если L и [pic] - линейные операторы, то
[pic]
Рассмотрим класс дифференциальных уравнений [pic], определяемый
коэффициентами [pic]=[pic] из некоторого функционального пространства [pic]
(это может быть, например, пространство [pic] функций, кусочно-непрерывных
и имеющих m кусочно-непрерывных производных и др.). Разностный оператор
[pic], определенный для всех [pic][pic], мы будем называть разностной
схемой в классе функций [pic].
Для линейных уравнений разностная схема [pic] определяется заданием
матрицы-функционала [pic], элементы которой являются функционалами над
пространством [pic] коэффициентов [pic].

3њ. Вводятся понятия однородности и симметрии схемы.

1) Схема [pic] однородна, если она представляет единый во всех точках i
сетки [pic] и для любых [pic][pic] вычислительный алгоритм:
[pic]
2) Однородная схема [pic] симметрична, если
[pic].
При этом разностный оператор [pic] не меняется при изменении направления
оси x . Кроме того, естественно требовать, чтобы разностная задача была
определенной, т. е. разрешимой на любой сетке [pic] и для любого
[pic][pic] ( см. [1] ).

4њ. Порядок аппроксимации оператора [pic] относительно L
характеризуется разностью [pic].
Мы будем говорить, что разностная схема [pic][pic] сходится в классе
[pic], если для [pic][pic]решение уравнения [pic] сходится на любой
последовательности сеток [pic] при [pic] к соответствующему решению [pic]
дифференциального уравнения [pic]. Если [pic], то мы говорим, что
разностная схема [pic] имеет n-й (интегральный) порядок точности.
Ставится задача отыскания наилучших однородных схем, сходящихся в
наиболее широком классе коэффициентов и обладающих там наивысшей точностью.


5њ.. Рассматривается первая краевая задача для класса уравнений
[pic] (2)
в классе коэффициентов
[pic].
Соответствующие однородные разностные схемы берутся в виде
[pic], (3)
где
[pic]
[pic]- функционалы, определенные над [pic].
Устанавливается необходимое условие сходимости и второго порядка
точности схемы [pic] в классе кусочно-непрерывных коэффициентов.
Пусть [pic] - точка разрыва коэффициентов [pic].
Необходимое условие сходимости имеет вид
[pic] при [pic] (4)
или
[pic]. (5)
Необходимые условия второго порядка точности для схемы [pic] имеют вид:
[pic]. (6)
Заметим, что для схемы (1) [pic], т. е., эта схема не удовлетворяет
необходимому условию сходимости в классе [pic].
Функционалы A, B, D и F могут быть, например, линейными. При этом
оказалось необходимым обобщить теорему Рисса о представлении линейных
функционалов в классе непрерывных функций на случай кусочно-непрерывных
функций [pic] (см.[5] ).
Среди нормальных разностных схем (3) найден класс схем, удовлетворяющих
необходимому условию сходимости (квазиконсервативные схемы). Всякая
консервативная ([pic]) схема также удовлетворяет условию(4).

6 њ. Рассматривается однородная симметричная разностная схема
[pic], (7)
соответствующая уравнению [pic]. Здесь[pic], а [pic] - нормальные (т. е.
линейные, регулярные, положительные ([pic] при [pic]) и независимые от h
(см. [4])) функционалы для [pic]. Функции [pic]имеют производные второго
порядка, удовлетворяющие условию Липшица.

Теорема 1. Если разностная схема вида (7) имеет в классе [pic] второй
порядок точности, то она определена однозначно:
[pic] (8) [pic]([pic]) (см.[4]). (9)
Эта схема не только может иметь, но и в самом деле имеет второй порядок
точности в [pic] (см. п. 7).

7њ. Рассмотрим однородную схему
[pic] , (10)
где [pic] есть схема (8), а [pic] и [pic] - нормальные симметричные [pic]
функционалы, определенные для [pic].

Теорема 2. Если разностная схема вида (10) имеет в классе [pic][pic]
второй порядок точности, то она определена однозначно
[pic], (11)
где
[pic][pic].

Теорема 3. Разностная схема (11) имеет в классе [pic] для [pic] второй
порядок точности, т. е. является наилучшей схемой (см. [4]).

8њ. Применение наилучшей разностной схемы для решения задачи Штурма-
Лиувилля позволяет определять собственные значения и собственные функции с
точностью до второго порядка относительно h в классе разрывных
коэффициентов.

Литература

1. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, О разностных схемах для урав нений с
разрывными коэффициентами, ДАН 108. ? 3, 1956.
2. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Об однородных разностных схемах , ДАН
122, ? 4, 1958.
3. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Об одной наилучшей разностной схеме, ДАН
124, ? 4, 1959.
4. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, О сходимости разностных схем в классе
разрывных коэффициентов, ДАН 124, ? 3, 1959.
5. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, О представлении линейных функционалов в
классе разрывных функций, ДАН 122, ? 2, 1958.