Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mph.cmc.msu.ru/Home/Opus/a51.doc Дата изменения: Tue Apr 6 14:50:52 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:31:30 2012 Кодировка: koi8-r

А.Н. Тихонов

О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра.




Настоящая статья посвящена изучению решения уравнения [pic]
[pic]
определяемого условиями
[pic]
при [pic]
При [pic] мы получаем вырожденное уравнение
[pic]
решения которого уже определяются меньшим числом начальных условий. Вопрос
заключается в следующем: 1) будет ли решение полной системы вместе с
производными до [pic]-го порядка
[pic]
при [pic] стремиться в пределе к решению вырожденного уравнения, 2) к
какому решению вырожденного уравнения будут стремиться [pic] , если
вырожденная система распадается на несколько нормальных уравнений:
[pic]
([pic]- корни уравнения [pic]и, наконец, 3) будет ли такой предел устойчив
при малых изменениях [pic]
Подобная задача для линейных уравнений рассматривалась в статье Чень-
Юй-и (Yu-Why-Tshen, [1]), где доказано, что решения [pic] уравнений
[pic]
определяемые условиями
[pic]

сходятся при условии, что
[pic]
к решению вырожденного уравнения, если
[pic]
В настоящей статье охвачен этот результат. Для простоты мы считаем
[pic] постоянным, хотя наши результаты не изменяться, если вместо
параметра [pic] ввести последовательность функций [pic]
Мы приводим здесь также новый метод доказательства теоремы Пуанкаре
(Poincare, [2], стр. 58) об аналитической зависимости решения уравнения от
параметра в случае, когда правая часть уравнения аналитически зависит от
этого параметра. Предлагаемый метод легко переносится на ряд более сложных
задач.

§1

1. По соображениям удобства, а также общности метода мы будем
рассматривать систему уравнений
[pic] (1)

и решения ее
[pic], (2)
определяемые начальными условиями
[pic] (3)
При [pic] система принимает вырожденный вид:
[pic] (4), (4()
Пусть
[pic] (5)
какой-либо корень уравнения [pic]. Вопрос, подлежащий исследованию, состоит
в выяснении того, что будет ли решение (2) системы (1) стремиться при [pic]
к кривой, определяемой системой уравнений
[pic] (6)
и условиями
[pic] (7)
эту кривую мы в дальнейшем будем обозначать через
[pic] (8)
При этом мы будем обозначать также [pic] через [pic]:
[pic]=[pic] (8')
Следующий вопрос состоит в том, что будет ли зависеть предел (2) при [pic]
от выбора [pic] и будет ли этот предел устойчив при малых изменениях
начальных условий (3).
В отношении правых частей мы будем предполагать, что они ограничены,
непрерывны по [pic] и [pic] во всей области их определения и таковы, что
функция [pic] непрерывна по [pic] и решение вырожденной системы
однозначно определяется начальными условиями. На функцию [pic] будет
наложен ряд дополнительных условий, определяющих поведение системы (2) при
[pic].
2. Пусть
[pic] (5)
- корень уравнения
[pic] (4()
определенный в некоторой области [pic] переменных [pic], для которой точка
[pic] является внутренней. Будем предполагать, что (5) является
изолированным корнем (4(), причем функция [pic] меняет знак при переходе
через (5), а именно, что для всякой области [pic], лежащей вместе со своей
границей внутри [pic], существует такое [pic] , что знаки
[pic] и [pic]
различны для любого [pic]
3. Будем называть
[pic]
устойчивым корнем уравнения (4(), если
[pic]и[pic] (9)
Достаточным условием устойчивости корня в случае дифференцируемости
функции [pic] по [pic] является следующее:
[pic] (10)
4. Будем называть некоторую поверхность
[pic]
определенно ориентированной относительно системы уравнений
[pic] (11)

(или систему уравнений (12) относительно поверхности (11)) в области [pic]
переменных [pic] если все векторы, определяемые правыми частями этой
системы в точках поверхности [pic], пересекают эту поверхность в
определенном направлении сверху вниз или снизу вверх. Если ,функция [pic]-
гладкая и не имеет нормалей, перпендикулярных оси [pic], то аналитическим
условием для определенной ориентированности поверхности (11) относительно
системы (12) (или системы (12) относительно поверхности (11)) является
постоянство знака выражения
[pic]
где через [pic] обозначена нормаль к поверхности, образующая с осью [pic]
острый угол. Если [pic], то векторы направлены снизу вверх относительно
поверхности, а если [pic], то - сверху вниз. Очевидно, что кривые,
определяемые решениями системы (12), пересекают поверхность (11) в том же
направлении, как и рассматриваемые векторы.
5. Обратимся к системе (1). Очевидно, что всегда можно найти
гладкие поверхности
[pic]
не имеющие нормалей, перпендикулярных оси [pic], и такие, что
[pic]
Как нетрудно видеть, существует такое [pic], что для всякого [pic]
векторное поле, задаваемое правыми частями системы (1), определенно
ориентировано относительно [pic] и [pic]. При этом, если [pic]- устойчивый
корень, то для поверхности [pic] поле направлено снизу вверх, а для
[pic]- сверху вниз. В самом деле, при достаточно малом [pic]
[pic]
так как знак [pic] определяется последним слагаемым, а в силу устойчивости
поверхности [pic] , мы имеем:
[pic] и [pic]
остальные же слагаемые ограничены. Очевидно, что если решение системы [pic]
при [pic] для некоторого [pic] пересекается с поверхностью [pic] или [pic],
то для всех последующих [pic] это решение будет заключено между этими
поверхностями:
[pic]
6. Если корень [pic] не является устойчивым, то ориентация
векторного поля относительно поверхностей [pic] и [pic] будет
противоположной. Отсюда следует, что если начальная точка [pic] не лежит на
поверхности [pic] , то решение (2) системы (1) не может приближаться при
[pic] к кривой [pic]
определяемой (8) и (8().
Для некоторых систем может случиться, что решение (2) при всех
[pic] лежит на поверхности [pic] когда [pic]. Это имеет место, например,
для системы
[pic]
В этом случае, если [pic], то [pic]. Если мы обозначим через [pic] вектор
в пространстве [pic] с компонентами [pic] и если [pic] то этого уже не
будет.
Если даже кривая [pic] лежит на поверхности [pic] то очевидно, что
среди кривых с немного измененными начальными значениями [pic] найдутся
такие, которые сильно отклоняются от рассматриваемой.
Итак, если [pic] - неустойчивый корень уравнения [pic] , то не
существует таких начальных значений [pic] для которых кривая [pic] при
[pic] стремилась бы устойчиво (в отношении начальных значений) к кривой
[pic] определяемой вырожденной системой
[pic]
(т.е. так, чтобы предел [pic] непрерывно зависел от начальных значений).
7. Назовем областью влияния устойчивого корня [pic] совокупность
точек [pic] для которых
[pic]
для всех [pic] в промежутке [pic], т.е.
[pic]для [pic] если [pic]
и[pic]для[pic]если[pic]
Теорема. Если точка [pic] - внутренняя по отношению к области
влияния устойчивого корня [pic] уравнения [pic]
то
[pic]
и
[pic]
где система функций [pic] и [pic] определяется условиями (6)-(8). Этот
предел будет непрерывно меняться при непрерывном изменении начальных
условий.
Будем для определенности рассматривать точку [pic]. Если эта точка
лежит внутри области влияния корня [pic], то найдется такое [pic], что все
точки [pic], для которых
[pic]
принадлежат к той же области. Совокупность таких точек обозначим через
[pic]. Пусть нам дано произвольно малое [pic]. Рассмотрим поверхности [pic]
и [pic], для которых
[pic]
Обозначим соответственно через [pic] и [pic] числа, удовлетворяющие
условиям:
[pic]
Пусть [pic]- произвольное число [pic]. Обозначим через [pic] первое
значение, при котором кривая [pic] пересекает поверхность [pic]. Очевидно,
что такое значение при достаточно малом [pic] существует и [pic], так как,
допуская противное, получим, что, покуда [pic] и [pic]
[pic]
Если положим
[pic] для [pic]
то мы приходим к противоречию при значениях [pic] удовлетворяющих
неравенству
[pic] т.е. для [pic]
Итак, кривая [pic] пересекает поверхность [pic] на как угодно малом
интервале [pic] если только [pic] достаточно мало. Далее, если кривая [pic]
попала между поверхностями [pic] и [pic], то при достаточно малом [pic] она
из этой области никогда не выйдет, т.е.
[pic]
Отсюда следует, что
[pic] где [pic]
Далее, заключаем, что система функций [pic] удовлетворяет системе
уравнений
[pic]
при начальных условиях
[pic]
При этом, при [pic],
[pic] [pic]
[pic]
Функции [pic] и [pic] по предположению ограничены и непрерывны по [pic] и
[pic]. Отсюда получим, пользуясь теоремой Арцеля (Arzela) и предположением
о единственности решения вырожденной системы[1], что для [pic]
[pic]
откуда заключаем далее, что
[pic] для [pic]
причем эта сходимость - равномерная в области [pic]
8. Рассмотрим случай, когда правые части системы (1) определены и
непрерывны для всех значений [pic]. Областью влияния [pic] будем называть
совокупность точек [pic] для которых
[pic] для всех [pic][pic]
а областью влияния [pic]- совокупность точек [pic] для которых
[pic] для всех [pic][pic]
Нетрудно установить, подобно предшествующему, что интегральная кривая
[pic]имеющая своими начальными значениями [pic], соответствующие внутренней
точке области влияния [pic] (или [pic]), при [pic] будет стремиться к
кривой, определяемой системой
[pic]
с начальными значениями
[pic]
причем
[pic] [pic]
(и аналогично для [pic]). Кроме того, при непрерывном изменении начальных
условий предел будет также меняться непрерывно.
9. Если уравнение [pic] имеет лишь конечное число изолированных
корней [pic], то каждая точка [pic], не принадлежащая поверхностям,
определяемым этими корнями, либо принадлежит области влияния какого-либо
устойчивого корня (допуская в том числе корни [pic]), либо лежит на границе
областей влияния устойчивых корней. Чтобы убедиться в этом, достаточно из
точки [pic] двигаться по параллелям оси [pic] соответственно вверх или вниз
в зависимости от того, положительно или отрицательно [pic]; при этом
движении [pic] сохраняет знак, пока эта функция либо обратиться в нуль,
либо пока мы не дойдем до бесконечности. В том и в другом случае эта
предельная точка определит нам устойчивый корень так, что [pic] является
внутренней или граничной точкой области влияния этого устойчивого корня.
Отметим, что если [pic] имеет более чем один корень, то наряду с
устойчивыми обязательно будут и неустойчивые корни, являющиеся границами
областей влияния устойчивых корней. Предел кривых [pic], исходящих из точки
[pic], лежащей на границе различных областей влияния, при [pic], если
таковой предел существует, будет, вообще говоря, неустойчив при малых
изменениях начальных значений, однако нетрудно построить системы, где этот
предел будет устойчив.
10. Рассмотрим предельное множество для кривых [pic] при
[pic].Очевидно, что это множество состоит из следующих кусков. Во-первых,
из отрезка, параллельного оси [pic], от начальной точки [pic] до точки
[pic] лежащей на поверхности, соответствующей тому устойчивому корню
уравнения [pic], в области
Рис. 1



Рис. 2

влияния которого лежит начальная точка. Во-вторых, из кривой,
соответствующей функциям [pic] определяемым условиями (6), (7), (8) и (8().
Эта кривая начинается в точке [pic] и доходит до точки [pic] лежащей на
границе [pic], области определения рассматриваемого изолированного
устойчивого корня [pic] Эта граница может иметь место по разным причинам:
либо потому, что эти точки соответствуют границе области определения
функции нашей системы уравнений, либо потому, что в этих точках границы
наш изолированный корень соприкасается по крайней мере с одним другим
корнем уравнения [pic] (просто прекращаться устойчивый корень не может).
При этом могут быть следующие возможности: а) к точке [pic] из области,
внешней к [pic], не примыкает никакой корень уравнения [pic] (рис. 1); б) к
точке [pic] из области, внешней к [pic], примыкает один или несколько
устойчивых корней (рис. 2).
В случае а) предельное множество будет продолжаться, и, вообще
говоря, будет состоять далее из куска прямой, параллельной оси [pic],
исходящей из точки [pic] в направлении, соответствующем знаку [pic] в
точках, близких к [pic], лежащих вне [pic] ( т.е. вверх, если [pic], и
вниз, в противном случае). Этот кусок прямой, параллельной оси [pic],
будет продолжаться до встречи с новым корнем, по поверхности которого и
будет продолжаться кривая, пришедшая по первому устойчивому корню в точку
[pic], и т.д. Таким образом могут в пределе получаться разрывные
периодические решения. Если же вертикальный участок прямой не встречает
устойчивых корней, то он продолжится до бесконечности, и если наши функции
определены при [pic], то предельное множество будет продолжаться так, как
это описано в п.7.
В случае б), когда к точке [pic] примыкают несколько устойчивых
корней [pic], нельзя только по геометрическому расположению поверхностей
этих корней высказать суждение о том, по какому корню наша кривая будет
продолжаться при [pic]. Можно построить примеры с одинаковым расположением
поверхностей, соответствующих корням [pic], в которых предельная кривая из
точки [pic] будет продолжаться по разным поверхностям [pic].
11. Аналогично предшествующему можно исследовать систему,
содержащую более одного малого параметра:
[pic]
Рассмотрим поведение интегральной кривой
[pic]
определяемой начальными условиями
[pic]
при стремлении [pic]. Вырожденная система определиться, если положить
[pic]
[pic]
и, вообще говоря, распадается на несколько нормальных систем в
зависимости от числа «корней»
[pic]
Будем предполагать, что такие корни являются «нормальными
изолированными» корнями, подразумевая под этим то, что для всякого
[pic]уравнение [pic]определяет изолированный корень [pic](в том смысле, как
это мы понимали ранее), которому удовлетворяет система функций
[pic]
Таким образом, каждому корню системы [pic]соответствуют [pic] корней
отдельных уравнений
[pic]
а именно:
[pic]
Корень системы уравнений [pic]определяемый функциями
[pic]
мы будем называть устойчивым корнем, если каждый из соответствующих корней
[pic]
является устойчивым, т.е. если знак функций
[pic]
при достаточно малом [pic] будет противоположен знаку [pic], или, в случае
дифференцируемости [pic], если
[pic]
Областью влияния корня системы [pic]мы будем называть общую часть
областей влияния всех корней
[pic]
Буквальным повторением рассуждений, приведенных выше, доказывает
следующая теорема:
Если точка [pic] является внутренней точкой области влияния корня
[pic]системы уравнений [pic]то
[pic]
где [pic]- решение вырожденной системы, соответствующей рассматриваемому
корню [pic], и
[pic]
Этот предел будет непрерывно меняться при изменении начальных условий.
Если корень системы [pic] неустойчив, т.е. если хотя бы один из
соответствующих корней [pic]неустойчив, то имеет место следующая теорема:
Решение полной системы
[pic]
при [pic] не может стремиться к решению вырожденной системы, определяемой
при помощи устойчивого корня, с тем, чтобы этот предел был устойчив
относительно начальных значений.
Рассмотрим какую-либо систему начальных значений [pic].
Как было установлено выше, для всякого значения [pic] эта точка определяет
устойчивый корень [pic]уравнения [pic]Если система таким образом полученных
уравнений (устойчивых корней):
[pic]
разрешима относительно [pic], т.е. если она определяет корень системы
[pic]
то начальная точка [pic] принадлежит к области влияния корня системы. В
этом случае решение полной системы при начальных условиях [pic], независимо
от способа приближения [pic] к нулю, стремиться к решению вырожденной
системы, так как мы находимся в условиях применимости первой теоремы.
Если же система
[pic]
неразрешима относительно [pic] (поверхности [pic]не пересекаются), то
очевидно, что характер поведения кривой [pic] существенно зависит от
способа стремления [pic], и при различных способах стремления [pic] могут
существовать различные пределы. Мы не будем подробно останавливаться на
этом случае.

§2

Рассмотрим дифференциальное уравнение*
[pic]
и пусть [pic] - решение этого уравнения, определенное в промежутке[pic].
Допустим, что функция [pic] в области
[pic]
является аналитической функцией [pic] при фиксированных [pic] и
аналитической функцией [pic] при фиксированных [pic] и [pic]. При этом
[pic] - непрерывная функция переменных [pic],[pic] при фиксированном
[pic]. Будем также предполагать, что существует суммируемая функция [pic]
такая, что
[pic]
при любых значениях [pic] и [pic]. Названные условия гарантируют
существование и единственность решения уравнения (1) при заданном начальном
значении, а также непрерывную зависимость решения от на
чального значения и параметра [pic].
Докажем, что решение [pic] уравнения (1), удовлетворяющее тому же
начальному условию, является аналитической функцией на всем интервале
[pic] в достаточно малой области [pic].
Действительно, существует такое [pic], что все кривые [pic] для
значений [pic] из области [pic] принадлежат к рассматриваемой области:
[pic].
Рассмотрим разностное отношение
[pic].
Это отношение удовлетворяет уравнению
[pic]
если [pic] каким-либо способом, то коэффициенты этого уравнения стремятся,
в силу сделанных предположений, к коэффициентам уравнения
[pic]
В силу аналитичности функции f по y и по [pic], коэффициенты этого
уравнения не зависят от способа стремления [pic] и [pic] к нулю;
следовательно,
[pic]
и не зависит от способа стремления [pic] к нулю. Отсюда следует, что [pic]
является аналитической функцией, в силу определения аналитичности, данного
Коши (Cauchy).*


Литература


1. Yu-Why Then, Uber das Verhalten der Losungen einer Folge von
Differential-gleichungen, welche in Limes ausarten, Composito
Mathematica, v. 2 (1935), 378-401.
2. H. Poincare, Les methodes nouvelles de la mecanique celecte, t. 1,
Paris, 1892-1899.







-----------------------
[1] Замечанием о том, что в этом рассуждении можно ограничиться
единственность вырожденной системы, не предполагая единственность полной
системы, как мы это делели раньше, мы обязаны М.А. Крейнесу.
* Для простоты записи мы ограничиваемся одним уравнением.
* Как мне стало известно во время подготовки настоящей статьи к печати,
аналогичной идеей пользовался В.В.Степанов при доказательстве аналитичности
по = решения уравнения =.