Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mph.cmc.msu.ru/Home/Opus/a25.doc Дата изменения: Tue Apr 6 14:45:40 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:30:35 2012 Кодировка: koi8-r

Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1948, т. 18, вып. 2

А.Н. Тихонов, А.А. Cамарский.

О принципе излучения



Сформулирован общий принцип излучения для волнового уравнения (1) в том
смысле, что решениями, удовлетворяющими этому принципу, являются предельные
(при [pic]) решения задачи Кoши с нулевыми начальными условиями для
соответствующего уравнения колебаний (1а). Показано, что для
неограниченного пространства названный метод приводит к решениям,
удовлетворяющим известному условию Зоммерфельда.

Решение волнового уравнения
[pic] (1)
в неограниченной области [pic] не всегда однозначно определяется заданием
значения функции [pic][1] (или ее нормальной производной [pic]) на
поверхности [pic] , являющейся границей области [pic], Например, если
область [pic] является внешней областью к замкнутой поверхности[pic]то
для выделения единственного решения, являющегося расходящейся волной v = v
(М) к граничным условиям на [pic] добавляют условие излучения
Зоммерфельда [1], которое можно записать в виде:
[pic] (2)
Однако это условие видоизменяется в тех случаях, когда граница [pic]
простирается в бесконечность. Так, для плоской области (цилиндрические
волны) имеет место следующее условие [2]:
[pic] (2()
Для случая одного независимого переменного (плоские волны) условие
излучения имеет вид:
[pic] (2(()
Для областей другого типа, как например, для слоя между двумя параллельными
плоскостями или бесконечной цилиндрической области, оказывается необходимым
вводить не одно, а несколько условий в форме условий Зоммерфельда
("парциальный принцип излучения"). В связи с этим возникает вопрос об
установлении единообразного принципа выделения "расходящейся волны"
(принцип излучения), независимого от формы области.
Понятие расходящейся волны тесно связано с понятием установившегося
режима:
[pic] (3)
удовлетворяющего уравнению колебаний
[pic] (1а)
( При рассмотрении установившегося режима обычно множитель [pic]
опускается).
С этой точки зрения функцию[pic] - амплитуду установившегося режима -
естественно трактовать как предел:

[pic] (4)
где функция [pic] определяется силами, периодически действующими с той же
частотой [pic] и с амплитудой, равной величине сил, определяющих
функцию[pic].
Для получения расходящейся волны [pic] будем брать функцию [pic],
удовлетворяющую нулевым начальным условиям Коши:
[pic] (5)
По самому характеру постановки задачи ясно, что функция [pic], а тем самым
и функция[pic], если только она существует, определяются однозначно.
В настоящей статье мы покажем, что решение, выделяемое с помощью
предлагаемого принципа излучения, совпадает с решением, определяемым
принципом излучения Зоммерфельда для неограниченного пространства.[2]

1. Рассмотрим неоднородное волновое уравнение (1) в неограниченном
пространстве, считая, что функция[pic] является локальной функцией, т. е.
отлична от нуля в ограниченной части пространства G.
Решение уравнения (1), удовлетворяющее принципу излучения Зоммерфельда в
форме (2), имеет вид:
[pic] (6)
( [pic]- элемент объема).
Рассмотрим функцию [pic], удовлетворяющую уравнению (1а) и начальным
условиям (5). Функция [pic], представляющая решение задачи Коши, определена
однозначно.
Покажем, что имеет место соотношение (4), т. е. что функция [pic] может
быть определена как амплитуда режима, установившегося под действием силы
[pic]при нулевых начальных условиях. При этом предполагается, что функция
[pic] удовлетворяет достаточно высоким требованиям дифференцируемости.
2. Рассмотрим вспомогательную функцию [pic], удовлетворяющую уравнению:
[pic] (7)
где [pic] для [pic]и [pic] для [pic],
и начальным условиям:
[pic] (7()
Величина Т представляет собой параметр, который мы в дальнейшем устремим к
бесконечности. Очевидно, что в области [pic] функция [pic].
Введем функцию [pic] с помощью соотношения
[pic] (8)
Нетрудно убедиться в том, что для этой функции справедливы условия:
[pic] (9)
[pic] (9()
которые функцию [pic] определяют однозначно.
Очевидно, что
[pic] (8()
3. Совершим над [pic] преобразование Лапласа, в результате чего получим
лапласову сопряженную функцию:
[pic] (10)
определенную в области [pic], так как функция [pic], очевидно, является
функцией, ограниченной равномерно относительно всех ее аргументов.
Применяя преобразование Лапласа к уравнению (9) и учитывая начальные
условия для функции [pic] легко находим:
[pic] (11)
где
[pic]
Интегрируя по частям, преобразуем правую часть к виду:
[pic]
откуда
[pic] (12)
4. Возьмем функцию
[pic] (13)
Покажем, что искомая функция [pic] может быть в виде:
[pic] (14)
а тем самым
[pic]
В качестве пути интегрирования L в формуле (14) взята прямая [pic]
параллельная мнимой оси.
При определении функций [pic] мы взяли решение в форме [pic], так как
именно этой функции при помощи формулы (14) соответствует функция [pic],
которая удовлетворяет нулевым условиям Коши, как это и будет показано ниже.

5. Убедимся в том, что функция [pic] определяемая формулой (14),
удовлетворяет всем условиям задачи (9), (9'). Для этого, прежде всего,
изменим порядок интегрирования и представим функцию [pic]в виде:
[pic] (15)
Такое изменение порядка интеграции возможно, потому что вдоль пути L
подинтегральная функция имеет равномерный порядок [pic]
Докажем, что функция [pic] удовлетворяет начальным условиям. Так как
подинтегральная функция в правой полуплоскости не имеет полюсов, то
вычисление интеграла вдоль L можно произвести с помощью известной леммы
Жордана [3]. В нашем случае лемма Жордана формулируется следующим образом.
Интеграл
[pic] (16)
при условиях: контур [pic] представляет собой часть полуокружности радиуса
R, расположенную в области [pic] и имеющую центр в начале координат;
функция[pic] равномерно стремится к нулю при [pic] в области [pic].
Пользуясь этой леммой, непосредственно получаем:
[pic]

Отсюда следует, что функции [pic] и [pic] непрерывны при [pic]и начальные
условия Коши (9') удовлетворены. При этом возможность дифференцирования под
знаком интеграла при вычислении [pic] не вызывает сомнения, так как
интеграл, полученный после дифференцирования под знаком интеграла, сходится
равномерно.
Вернемся теперь к функции
[pic]
Пользуясь интегральным представлением (15) для функции [pic], найдем:
[pic]
Дальнейшее дифференцирование под знаком интеграла не проводится, так как
получаемое в результате дифференцирования подинтегральное выражение не
может быть равномерно оценено, и, тем самым, нет оснований для изменения
порядка интегрирования.
6. Покажем ,что существует предел:
[pic],
где [pic] - функция, выражаемая формулой (6).
Фиксируем некоторую точку наблюдения [pic]и рассмотрим контурный
интеграл:
[pic]
Интеграл
[pic]
для всех значений t, так как всегда справедливо неравенство
[pic]
Интеграл
[pic]
принимает различные значения для каждого из случаев: [pic] или [pic].
Нетрудно видеть, что
[pic] при [pic]
Для вычисления [pic] при [pic] замкнем прямую L другой [pic], расположенной
в области [pic], т. е. в левой полуплоскости, и применим теорему вычетов. В
результате найдем:
[pic]
так как интеграл по дуге [pic] при [pic] стремится к нулю.
Возвращаясь снова к функции [pic] и учитывая полученный выше результат,
будем иметь:
[pic]
для [pic] , где [pic] причем [pic].
Таким образом, существует предел
[pic]
что и требовалось доказать.

Московский государственный университет



Литература


1. А. Zommerfield. Jahresber. d. D.Math. Vereinigung, 21, 309, 1912
2. В.Д. Купрадзе. Основные задачи математической теории дифракции, ОНТИ Л.-
М., 1935
3. В.И. Смирнов. Курс высшей математики, ГТТИ, т. 3, 429, 1939






[pic]

-----------------------
[1] В дальнейшем будем принимать это значение равным нулю.
[2] Как нам стало известно, в период подготовки настоящей работы к печати,
аналогичным вопросом занимался А.А. Соколов, следуя методам, изложенным в
его монографии «Дельта-функция и ее применение к решению некоторых
математических задач геофизики» (Свердловск, 1946 г.)

-----------------------
[pic]