Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mph.cmc.msu.ru/Home/Opus/a24.doc Дата изменения: Tue Apr 6 14:45:02 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:30:27 2012 Кодировка: koi8-r

Журнал физической химии . 1945, т.XIX, вып. 6.

А.А. Жуховицкий, Я.Л. Забежинский, А.Н. Тихонов

Поглощение газа из тока воздуха слоем

зернистого материала.


Задача поглощения газа из тока воздуха является одной из типичных задач
химической технологии. Через трубку, набитую зернами, пропускают
газовоздушную смесь (со скоростью [pic]), содержащую определенную
концентрацию [pic] вещества, способного поглощаться этими зернами. Заданы
все необходимые физические характеристики компонентов и процесса
(равновесия и кинетики), имеющего место при поглощении. Требуется
определить концентрацию [pic], количество поглощенного вещества a через
определенное время t после пуска газовоздушной смеси на любом расстоянии x
от начала слоя.
В этом сообщении мы рассмотрим случай, когда поглощение вводится к
физической адсорбции (в дальнейшем - случаи химического и каталитического
взаимодействия). Эта задача носит иногда название динамики сорбции [1].
Теории этого процесса были посвящены две группы работ. Работы Мекленбурга и
Кубелка [2] были ранее критически рассмотрены [3] . В последнее время
появилось несколько статей Викке [4], к которым мы вернемся ниже.
Искомые функции [pic] и [pic]должны удовлетворять системе уравнений.
Одно из этих уравнений должно передавать баланс поглощаемого вещества:
[pic] (1)
Первый член выражает перенос вещества, вследствие наличия скорости потока,
второй - продольную диффузию. Правая часть передает приращение концентрации
и прирост величины сорбированного вещества, с и a здесь средние величины
концентрации и сорбции, рассчитанные на единицу объема в данном месте
слоя; D - коэффициент диффузии; [pic]- доля свободного сечения. Усреднение
концентрации и величины сорбции проводятся вдоль плоскости,
перпендикулярной к оси x, поскольку мы приняли, что с зависит только от x,
[pic]будем считать постоянной величиной (средняя скорость).
Уравнение (1) отвечает закону сохранения материи и не связано какими-
либо специальными гипотезами. Второе уравнение должно передавать кинетику
процесса и может быть представлено в следующем виде:
[pic] (2)
Здесь [pic]выражает некоторый функционал от a и c, так как, вообще говоря,
скорость поглощения в данном месте слоя и в данный момент может зависеть от
значений а и с в точке не только в рассматриваемый момент, но и в
предыдущие.
Если при поглощении происходит изменение температуры T, существенно
влияющее на процесс, то
[pic]
Появляется третья функция [pic] и соответственно необходимо записать третье
уравнение, передающее баланс тепла в данном месте слоя.
Конкретизация уравнения (2) потребует приближений, основывающихся на
определенной физической картине.
В работах, посвященных кинетике процесса поглощения пористым
адсорбентом, рассматривались три физические картины явлений в зависимости
от главной причины, определяющей скорость процесса сорбции. В качестве
таких причин были рассмотрены: 1) самый акт сорбции; 2) диффузия внутрь
зерен, 3) диффузия к зернам.
Первые работы [5] в духе воззрений Ленгмюра [6] принимали, что
процессом, определяющим скорость поглощения, является самый акт сорбции.
Как правильно указал Дамкеллер [7] для случая поглощения пористым зернистым
адсорбентом, даже при малых давлениях скорость поглощения определяется
процессом диффузии внутрь зерен (кнудсеновского типа - внутрь пор и
фольмеровского - по стенкам пор). Эта внутренняя диффузия (при заданной
концентрации на поверхности) была предметом обсуждения в ряде работ [7, 8,
9]. Решения задач диффузии внутрь тел различной формы отличаются деталями.
Общим является быстрое падение скорости сорбции при малом времени.
Количество адсорбированного вещества при малом времени пропорционально
корню квадратному из времени.
В указанных работах этот закон дан для случая, когда изотерма отвечает
закону Генри, однако анализ решения аналогичных тепловых задач показывает,
что этот закон будет иметь место для случая любой изотермы и для тел любой
формы. Поэтому выполнение закона корня из времени может быть одним из
критериев применимости к явлению представления о «внутренней диффузии» как
о лимитирующей стадии процесса. Опыт показывает [4], что для поглощения
углем при малых давлениях (в вакууме) этот закон выполняется.
Викке в своем наиболее обоснованном варианте предложил уравнение
кинетики, исходя из представлений о внутренней диффузии, как определяющем
скорость факторе.
Однако поглощение из воздушной среды (в условиях, когда общее давление
не мало) существенно отличается от процесса, протекающего при малых
давлениях. Прежде всего, скорость процесса резко снижается при переходе от
вакуума к воздушной среде. Скорость процесса существенно зависит от природы
газоносителя. Существенно изменяется характер процесса, в частности не
выполняется закон корня. Для хорошо адсорбирующихся веществ в течение
довольно значительного времени имеет место практическое постоянство
скорости сорбции, что противоречит представлению об определяющей роли
внутренней диффузии. Целый ряд фактов показывает [10], что для случая
сорбции из газовоздушного потока внешняя диффузия имеет основное, а
внутренняя -лишь дополнительное значение.
Для случая, когда стадией, определяющей скорость процесса, является
внешняя диффузия, уравнение кинетики мы напишем следующим образом:
[pic] (3)
Здесь [pic]- постоянная, которую мы будем называть кинетическим
коэффициентом, c - средняя концентрация над зернами в данною месте слоя,
y - концентрация равновесия с количеством вещества, поглощенным в данном
месте слоя. Другими словами, связь между а и у определяется изотермой
адсорбции.
Таким образом, предполагается, что скорость поглощения в данный момент
времени целиком определяется концентрацией и величиной сорбции и не зависит
от того, как эта величина была достигнута.
Концентрация рассчитывается в предположении, что сорбированное
количество распределяется в угле равномерно.
Непосредственную проверку уравнения (3) особенно удобно произвести в
условиях кинетического опыта с одним зерном или со слоем, толщиной в одно
зерно. Это было исследовано одним из нас [10]. Измерения показали, что
уравнение (3) является хорошим приближением для описания наблюдаемой
кинетики сорбции.
Перерыв в работе слоя или одного зерна практически не сказывается на
скорости поглощения, которая определялась величиной адсорбированного
количества, что непосредственно показывает второстепенность эффектов
внутренней диффузии. Сравнение кинетики и изотермы показало, что уравнение
(3) соблюдается на опыте, хотя в цитируемой работе указывается на некоторое
уменьшение [pic] со временем.
Для одного зерна можно по формулам для внешней диффузии из потока
оценить абсолютное значение[pic]. Такой расчет, как и непосредственное
сравнение с данными по внешней теплопередаче, дает значение, весьма близкое
к наблюдаемому на опыте. Зависимость [pic] от скорости [pic] также отвечает
картине внешней диффузии. Наконец, изучение кинетики десорбции показало,
что скорость десорбции также определяется величиной сорбции, не зависит от
предыдущей «истории» и описывается формулами внешней диффузии[1].
Все изложенные факты показывают, что внешняя диффузия в рассматриваемой
области явления играет основную, а внутренняя - лишь дополнительную роль.
Физические причины, приводящие к этому, можно сформулировать следующим
образом.
На активном угле малым (сравнительно с подаваемыми на адсорбент)
концентрациям отвечает уже значительная величина сорбции (выпуклая
изотерма). Пока происходит сорбция, отвечающая малым равновесным давлениям,
наличие даже значительной неравномерности в распределении адсорбированного
вещества по зерну весьма мало скажется на скорости сорбции. Прежде всего, в
этой области у мало сравнительно с с, а, кроме того, у при малых нагрузках
мало зависит от a. Последнее означает, что большим градиентам в зерне
отвечают малые значения градиента у. Однако большие величины градиента а
приводят к быстрой диффузии фольмеровского типа внутрь зерна.
Таким образом, кнудсеновская диффузия по макропорам внутрь зерна как
медленный, параллельный с фольмеровской диффузией процесс не играет
существенной роли.
Фольмеровская диффузия обеспечивает быструю подачу вещества внутрь зерна
и, следовательно, делает внешнюю диффузию процессом, определяющим скорость.

Это положение может быть проиллюстрировано следующим расчетом. Скорость
диффузии пропорциональна произведению коэффициента диффузии на градиент
концентрации. По данным Дамкеллера[7], коэффициент фольмеровской диффузии
на угле равен [pic] и, следовательно, в сотни раз меньше коэффициента
внешней диффузии. Однако, поскольку постоянная Генри Г (в уравнении а=Гу)
имеет обычно значение порядка 10 000, градиент концентрации в зерне угля в
тысячи раз больше градиента концентрации над поверхностью зерна.
Следовательно, лишь для весьма плохо адсорбирующихся веществ скорость
фольмеровской диффузии может быть меньше скорости внешней диффузии. В
результате всего этого влияние внутренней диффузии сводится к минимуму [2].

Все сказанное относится к случаю физической сорбции на активных углях,
описывающейся за редкими исключениями выпуклыми изотермами. Для случая
химического взаимодействия ( мы рассмотрим этот случай в одном из
последующих сообщений) и для S-образных изотерм, которые весьма часто имеют
место на ряде адсорбентов, роль внутренней диффузии может резко возрасти.
Для случая, когда определяющую роль играет внешняя диффузия, уравнение
(3) также не является вполне строгим. Однако оно представляется нам
наиболее целесообразным реальным приближением для трактовки рассматриваемой
группы вопросов.
Приближенность уравнения (3), прежде всего, заключается в том, что оно
отвечает стационарному процессу и вместо значения градиента концентрации у
поверхности зерен содержит разницу среднего значения концентрации между
зернами и равновесной концентрацией.
Стационарное состояние для поглощения устанавливается не сразу и вообще
не устанавливается, если концентрация над зерном будет слишком быстро
меняться. Если мы обозначим путь диффузии через [pic], то время
установления стационарного состояния будет порядка [pic](см., например,
[11]), здесь [pic]коэффициент диффузии. Для того чтобы стационарность
имела место, надо, чтобы за все время порядка [pic] концентрацию над зерном
можно было считать постоянной.
Для интересующей нас области явлений [pic] порядка [pic], [pic] по
порядку величины отвечает 'радиусу зерен, т. е. обычно порядка 0.1 см.
Поэтому [pic] - порядка 0.1 сек. Эта величина очень мала в сравнении с
продолжительностью рассматриваемого опыта, что обосновывает применение
уравнения (З) 1
Целесообразность применения приближения, передаваемого уравнением (3),
подтверждается целым рядом аналогичных расчетов для теплопередачи, и в
рассматриваемой задаче по своей природе носит статистический характер.
Поток в зернистом теле весьма сложен даже в ламинарной области; здесь имеет
место нерегулярное резкое изменение радиуса каналов, по которым течет
газовоздушная смесь, имеются мало продуваемые места и пр. В рамках картины
внутреннего обтекания (каналов) можно сказать, что явление характеризуется
большим числом маленьких каналов, т. е. большим числом входов и выходов. В
рамках картины внешнего обтекания явление осложняется тем фактом, что
обтекаемые зерна близки друг к другу.
Для случая кинетики сорбции одним зерном представляется, как мы
указывали, возможным дать абсолютный расчет величины [pic]. Для внутреннего
слоя зерен такой абсолютный расчет весьма затруднителен. Можно, однако,
написать в общем виде:
[pic] (4)
где [pic] - постоянная.
Если мы будем рассматривать слой как совокупность отдельных зерен
(картина внешнего обтекания), то согласно формуле Буссинека [12]:
[pic]
Для картины ламинарного потока внутри каналов между зернами:
[pic].
В условиях[pic], поток в слое зерен [pic] практически ламинарен [13],
однако опыт показывает, что [pic]Это доказывает, что картина «внутреннего
обтекания» не отвечает действительности (см. также [4] ).
Из соображений теории размерность можно получить
[pic]
здесь [pic].
Отсюда
[pic]
где m и n - любые числа.
Другими словами 1
[pic]
y и z - должны быть определены эмпирически. Следует ожидать, что их сумма
будет близка к двум.
Для случая, когда поглощение сводится к физической сорбции у когда
концентрации не слишком велики (порядка 1мг/л), тепловые явления не играют
сколько-нибудь существенной роли.. Действительно, теплота физической
адсорбции составляет обычно величину порядка 0,1 кал/мг. Если предположить,
что теплоотдача воздуху велика и все тепло уходит на разогревание
поступающего воздуха, то в результате выделившейся теплоты он нагревается
всего на десятые доли градуса. Если, наоборот, предположить, что
теплоотдача отсутствует и все тепло уходит на равномерное разогревание
угля, то за 30 мин, на [pic] слоя поступит 1.5кал. Если длина слоя равна 6
см, то теплоемкость слоя будет порядка 1кал/град и уголь нагреется на
1.5(. Для хемсорбционных и каталитических процессов тепловые явления играют
весьма существенную роль. Для случая физической сорбции при не слишком
больших концентрациях можно не учитывать изменения температуры и
ограничиться уравнениями (1) и (2).
Таким образом, задача сводится к решению следующей системы уравнений:
[pic] (5)
Третье уравнение передает изотерму сорбции [pic].
Мы приняли в качестве таковой изотерму Ленгмюра.
[pic] (6)
где постоянные [pic] - коэффициент Генри и [pic]- концентрация, при которой
достигается половина от насыщения (величина насыщения равна [pic] ).
Мы остановились на изотерме Ленгмюра, поскольку она охватывает, как
частный случай, закон Генри и явления насыщения и достаточно хорошо
передает опытный материал.
Система (5) переписывается следующим образом:
[pic]
Введем вместо времени и длины безразмерные величины:
[pic] (7)
Тогда система перепишется следующим образом:
[pic] (8)
Здесь
[pic]
Для ряда практических задач в системе (8) можно пренебречь продольной
диффузией. Действительно,
[pic].
[pic] - величина порядка нескольких десятых, следовательно А - порядка
сотых.
Все же при малых значениях рассматриваемый член может играть
существенную роль. В последующем мы вернемся к этому вопросу.
Поскольку [pic]величина порядка [pic]можно пренебречь и
членом 1 [pic] .
Тогда система (8) перепишется следующим образом:
[pic] (9)
Эта система решена 2 и решения представлены в виде графиков и
асимптотических уравнений (для больших значений времен) для следующих
случаев:
1. [pic]- закон Генри;
2. [pic]- равновесная сорбция, отвечает [pic]от насыщения.
3. [pic]- равновесная сорбция отвечает [pic]от насыщения.
Ранее [3] был рассмотрен случай, когда р имело очень большое значение,
т. е. опыт осуществлялся при столь больших концентрациях, что изотерма
могла быть принятой прямоугольной [pic]. Вся эта совокупность решений дает
возможность в ряде случаев с практически достаточной точностью рассчитать
динамику процесса при любой концентрации. В следующем сообщении будут даны
все графики, указаны методы их использования и приведено сравнение их с
опытным материалом.
В настоящем сообщении мы ограничимся изложением решения для случая,
когда изотерма отвечает закону Генри. Аналогичная задача для теплопередачи
была решена в работе Фернеса [14]. Независимость теплоемкости твердого
материала от температуры отвечает в нашей задаче выполнению закона Генри.
Решение дано в работе Чилтона и Кольбурна в виде графиков. Можно указать
другое выражение для решения, которое позволяет найти удобное для
практических целей аналитическое приближение. Решение для системы (9) при
p=0 может быть записано следующим образом:
[pic] (10)
где [pic]- функция Бесселя нулевого порядка первого рода. Решение в данном
случае не представляет трудностей 1.
Если для функции Бесселя принять асимптотическое выражение
[pic]
то можно, преобразуя (10), получить следующие приближенные выражения для
[pic]
и для не слишком малых значений [pic]и [pic] можно принять для и во всем
интервале его изменения
[pic] (11)
Здесь
[pic] - функция Крампа.
Непосредственное сравнение приближения (11) с точным решением показывает,
что почти всюду отклонения меньше 10%. Зависимость времени работы слоя от
его длины при постоянных значениях и передается, следовательно, следующим
образом:
[pic]
( b - постоянная, зависящая лишь от u):
[pic] (12)
где [pic]- функция, обратная функции[pic]. Переходя от безмерных величин к
размерным, получим:
[pic]
Здесь [pic]- так называемый коэффициент защитного действия [1]. Если,
следовательно, откладывать на осях корни из длины слоя и времени, через
которое на этой длине будет осуществляться некоторая постоянная
концентрация, точки должны укладываться на прямую. Угловой коэффициент этой
прямой определяется равновесными характеристиками -корнем из коэффициента
защитного действия, а начальная координата зависит от кинетического
коэффициента [pic]. Таким образом, угловой коэффициент не должен зависеть
от величины зерна и от концентрации и чувствительности индикации.
Опыт [10] показывает, что для [pic] может быть принято следующее
выражение:
[pic],
тогда
[pic] (13)
Эта формула содержит лишь одну неизвестную величину [pic], зависящую
согласно формуле (12) лишь от отношения концентраций на концах слоя (11).
Таким образом, следует, помимо изотермы (2), знать значение t для одного
лишь опыта (данные значения [pic]) и тогда возможно предсказать любой
другой опыт. Уравнение (12) отвечает закону Генри. Однако уравнения (11) и
(12) являются хорошим приближением и для других изотерм. Это приближение
означает замену изотермы на участке концентраций от нуля до некоторой
начальной линейной функции.
Ясно, что постоянная [pic]в этом случае будет зависеть от концентрации и
уравнение (11) хорошо передаст зависимость t от всех переменных, кроме
концентраций.
Сравнение уравнений (11) и (12) с опытом и решениями для [pic] будет
дано в следующем сообщении.

Москва
Физико-химический институт имени Л.Я. Карпова

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
[pic]- скорость воздуха [pic]
[pic]- диаметр зерен см
[pic]- диаметр трубки см
[pic]- длина слоя см
[pic]- время сек.
[pic]- кинетический коэффициент 1/сек.
[pic]- коэффициент Генри, безразмерный
[pic]- концентрация мг/л
[pic]- начальная концентрация мг/л
[pic]- количество адсорбированного вещества мг/л
[pic]- коэффициент диффузии [pic]
[pic]- плотность [pic]
[pic] - вязкость [pic]
[pic]- равновесная концентрация мг/л
[pic]- концентрация, отвечающая половине насыщения мг/л
[pic]- безразмерный
[pic]- безразмерный
[pic]- безразмерный
[pic]- безразмерный
[pic]- безразмерный
[pic]- критерий Рейнольдса безразмерный
[pic]- критерий Стантона безразмерный
[pic]- путь диффузии см
[pic]- температура градусы

Литература

1. М.М. Дубинин, Физико-химические основы сорбционной техники, ОНТИ, 1935.
2. Mecklenburg u. Kubelka, Z. Electr.,31,488, 1925.
3. Жуxовицкий, 3абежинский, Саминский, Жури. физ. хим., 13, 303, 1939.
4. Wicke, Kolloid Zeit., 86, 295. 167, 1939; 93, 129, 1940.
5. Лыков, Теплопроводности и диффузия в производстве кож, Гизлегпром, 1941.

6. Lamgmuir, J. Am. Chem. Soc., 40, 1361, 1918.
7. Damkeller , Z. phys. Chem, А, 174, 222, 1935.
8. Word, Proc. Roy. Soc., А, 133, 522, 1931.
9. Дубинин и Чмутов, Физико-химические основы противогазового дела, ВАХЗ,
1939.
10. 3абежинский, Журн. физ. хим., 17, 32,1943. Smolushovski, Z. phys.
Chem., 92, 129, 1918.
11. Франк и Мизес, Дифференциальные уравнения математической физики, ОНТИ,
1936.
12. 3абежинский, Жури. физ. хим., 13, 1858,1939.
13. Furnas, Ind. Eng. Chem., 22, 721, 1930.

.



-----------------------
[1] В работе отмечено, однако, что кинетический коэффициент для десорбции
несколько меньше такового для адсорбции.

[2] Отметим, что с известным приближением уравнение (3) может быть
применимо и для случая внутренней диффузии. Так, например, решение задачи
поглощения в области Генри по уравнению (3) дает весьма близкие результаты
к точному решению задач о внутренней диффузии для не слишком малых времен.
Однако в этом случае уравнение (3) получает характер эмпирической
аппроксимации. В частности, в этом случае нельзя было бы объяснить ряд
явлений (зависимость кинетического коэффициента от различных параметров а,
d и др.).
1 Мы провели это рассуждение без учета наличия скорости газа. Учитывая
скорость, следует рассмотреть другое характеристическое время [pic], время
прохождения расстояния, отвечающего радиусу зерна. Это время в нашем случае
того же порядка, что и выше рассмотренное ([pic], [pic]- обычно порядка 5
см/сек, [pic]порядка 0,03 сек.).
1 Опыт (см. [10]) дает для у+г значения, отличные от двух. Это, по-
видимому, связано с так называемым стеночным эффектом. В рамках
проведенного анализа следует ввести зависимость от безразмерного
соотношения [pic]( [pic] - радиус трубки).


1 Впрочем, отбрасывание этого члена не является пренебрежением им. Учет
этого члена эквивалентен изменению отсчета времени, даваемого формулой
[pic] , как это показывает простое преобразование.

2 Математическая часть осуществлялась А.Н. Тихоновны. В оформлении решения
принимали участие сотрудники Института теоретической геофизики.
1 При р=0 система (9) представляет систему линейных уравнений с частными
производными. По исключении одной из функций мы приходим к уравнению
гиперболического типа с постоянными коэффициентами (задача Гурса), решение
которого легко получается путем использования функции Римана.