МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Архив заочного отделения

Версия для печати

Вступительная работа в 2009 году

1.

Рабочий обрезал фанерный лист прямоугольной формы, уменьшив его размеры на 5% по вертикали и на 10% по горизонтали. На сколько процентов уменьшилась площадь листа?

2.

Решите неравенство (2x² − 1)⁴ − (x² + 8)⁴ ≥ 0.

3.

В треугольнике ABC проведена биссектриса BD. Докажите, что AB > AD.

4.

Решите в натуральных числах уравнение (натуральные числа — это целые положительные числа: 1, 2, 3, ...).

5.

Какое количество простых чисел может быть среди пяти подряд идущих пятизначных натуральных чисел (напомним, что простым называется натуральное число, большее 1 и не имеющее делителей, отличных от 1 и самого себя)? Укажите все возможные варианты и докажите, что другие варианты невозможны.

6.

Витя готовится к важной контрольной работе по теме «Параллельные прямые». За каждый из вопросов контрольной работы можно получить 0, 1, 2, 3 или 4 балла. Витя посчитал, что если за половину вопросов он получит 3 балла, а за оставшуюся половину 2 балла, то этого как раз хватит для того, чтобы успешно сдать тему «Параллельные прямые». Если же Витя за треть вопросов получит 4 балла, а за остальные вопросы 3 балла, то он наберет на 10 баллов больше, чем необходимо для сдачи этой темы. Сколько вопросов содержит контрольная работа? За какое количество баллов ставят зачет по теме «Параллельные прямые»?

7.

Катя и Миша играют в игру. Перед началом игры на доске написано число 1. За один ход разрешается умножить записанное число на любое натуральное число от 2 до 9. Первой ходит Катя, далее ходят по очереди. Выигрывает тот, кто первым получит число, большее 1000. Кто из ребят выиграет при правильной игре? Укажите выигрышную стратегию.

8.

В прямоугольной трапеции ABCD углы A и B — прямые. Известно, что BC = q, AD = r, CD = q + r. Пусть T — точка пересечения биссектрис углов C и D. Найдите длины всех высот треугольника TCD.

9.

Пусть S — сумма цифр числа a, T — сумма цифр числа b. Докажите, что если число S + T делится на 9, то число a + b также делится на 9.

10.

Несколько друзей устроили шахматный турнир по круговой системе (каждый сыграл с каждым по одному разу). За победу в шахматах дается 1 очко, за ничью — пол-очка, за поражение — 0 очков. Известно, что среди участников мальчиков было втрое больше, чем девочек. После завершения турнира оказалось, что ничьих не было, а число очков, набранных всеми мальчиками, равно числу очков, набранных всеми девочками. Кто победил в турнире: мальчик или девочка?

Условия вступительной работы также доступны в формате doc (Microsoft Word, OpenOffice.org Writer).

Наш адрес: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, мехмат, МММФ.
Электронная почта: zaoch.mmmf@gmail.com