Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mmmf.msu.ru/zaoch/archive/2007/task2007.doc Дата изменения: Thu Mar 17 14:13:23 2011 Дата индексирования: Mon Oct 1 21:13:10 2012 Кодировка: koi8-r

Вступительная работа - 2007

1. Один землекоп может вырыть яму за два часа, другой выроет такую же яму
за три часа, третий - за шесть часов. За какое время три землекопа
выроют яму, работая вместе?
2. Известно, что [pic]. Докажите, что [pic].
3. Существует ли выпуклый четырехугольник, в котором каждая из сторон
больше каждой из диагоналей?
4. В строку выписаны подряд все целые числа от 1 до 10000. Сколько из них
содержат в своей записи цифру «3»?
5. Решите систему:
[pic]
(не забудьте указать все решения).
6. Сумма нескольких чисел равна 10. Может ли сумма их квадратов быть
меньше [pic] ?
7. Доля шахматистов среди математиков больше, чем доля шахматистов среди
всех людей. Что больше: доля математиков среди шахматистов или доля
математиков среди всех людей?
8. В прямоугольнике ABCD отмечены точка M - середина стороны BC, точка N
- середина стороны CD, точка K - точка пересечения отрезков BN и MD
(см. рис.). Докажите, что [pic].
9. Докажите равенство:
[pic].
10. 20 футбольных команд провели первенство по круговой системе в один
круг (это значит, что каждая команда сыграла с каждой по одному разу).
Могло ли случиться так, что каждая команда выиграла столько же матчей,
сколько и свела вничью?
-----------------------

K

M

C

N

D

A

B