МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Архив заочного отделения

Версия для печати

1. Один землекоп может вырыть яму за два часа, другой выроет такую же яму за три часа, третий - за шесть часов. За какое время три землекопа выроют яму, работая вместе?
2. Известно, что 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1. Докажите, что 1 − (1 − a)(1 − b)(1 − c) ≥ c.
3. Существует ли выпуклый четырехугольник, в котором каждая из сторон больше каждой из диагоналей?
4. В строку выписаны подряд все целые числа от 1 до 10000. Сколько из них содержат в своей записи цифру '3'?
5. Решите систему:
   
   (не забудьте указать все решения).
6. Сумма нескольких чисел равна 10. Может ли сумма их квадратов быть меньше ¹/₁₀₀₀?
7. Доля шахматистов среди математиков больше, чем доля шахматистов среди всех людей. Что больше: доля математиков среди шахматистов или доля математиков среди всех людей?
8. В прямоугольнике ABCD отмечены точка M - середина стороны BC, точка N - середина стороны CD, точка K - точка пересечения отрезков BN и MD (см. рис.). Докажите, что ∠MKB = ∠MAN.
9. Докажите равенство: 22..._n...2 + 33..._n...3² = 11..._2n...1 (первые два числа содержат n цифр, последнее - 2n цифр).
10. 20 футбольных команд провели первенство по круговой системе в один круг (это значит, что каждая команда сыграла с каждой по одному разу). Могло ли случиться так, что каждая команда выиграла столько же матчей, сколько и свела вничью?