МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Лекция 1 (20) 7.10.2000

Алексей Брониславович СОСИНСКИЙ,

старший научный сотрудник института проблем механики РАН, проректор по международным связям Независимого московского университета.

Узлы и косы

Узел можно представлять себе как тонкую запутанную веревку в пространстве, концы которой соединены. Простейший - тривиальный - узел вы видите на рисунке а). На рисунках б) и в) изображены нетривиальные узлы - соответственно, трилистник и восьмерка.

а)		б)		в)		г)		д)

Развязать узел - значит деформировать его, не разрывая, в тривиальный узел. Например, узел рисунка г) развязать можно, а восьмерку или трилистник - нельзя.

Косой из n нитей называют набор из n попарно непересекающихся 'восходящих' ломаных в пространстве, соединяющих точки A₁, ..., A_n с точками B₁, ..., B_n (в произвольном порядке). Пример косы из трех нитей показан на рисунке д).

Вышла брошюра: А.Б. Сосинский, 'Узлы и косы', выпуск 10 серии 'Библиотека "Математическое просвещение"'. (Zip-pdf-файл - 152463 байта; Djvu-файл - 95966 байт.)

Лекция 2 (21) 14.10.2000

Семеон Антонович БОГАТЫЙ,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей топологии и геометрии мехмата МГУ.

Теорема Шарковского

Пусть f(x) = 1 - x. Тогда f(f(x)) = 1 - (1 - x) = x, причем f(1/2) = 1/2, и равенство f (x) = x выполнено только при x = 1/2. Точку 1/2 называют неподвижной точкой отображения f (или точкой периода 1), а все остальные точки - точками периода 2.

Вообще, для функции f(x) можно рассмотреть ее итерации f(f(x)), f(f(f(x))), f(f(f(f(x)))),... и спросить себя, существует ли число x, для которого, например, f(f(f(x))) = x (точки периода 3). Теорема украинца Шарковского (1964) утверждает, что если упорядочить натуральный ряд некоторым специальным образом (как именно - объяснено ниже), то для любых натуральных чисел m и n, где m расположенного в рассматриваемом упорядочении правее, чем n, и для любого непрерывного отображения f прямой в себя, обладающего точкой периода n, отображение f будет обладать и точкой периода m.

Упорядочение натурального ряда, используемое в теореме Шарковского, устроено так:
сначала идут нечетные числа 3, 5, 7, 9, ...;
затем нечетные числа, умноженные на два: 6, 10, 14, 18, ...;
затем нечетные числа, умноженные на четыре: 12, 20, 28, 36, ...;
затем нечетные числа, умноженные на восемь: 24, 40, 56, 72, ...;
...,
наконец, степени двойки: ..., 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

Доказательство теоремы опирается на теорему о среднем значении непрерывной функции и состоит в поиске периодической точки замкнутых путей в ориентированном графе.

Лекция 3 (22) 21.10.2000

Борис Петрович ГЕЙДМАН,

заместитель директора гимназии ? 1543, автор учебников для начальной школы.

Площади многоугольников

Лекция посвящена вычислению площадей прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции и других многоугольников. Были рассмотрены решения двадцати задач, сгруппированных вокруг следующих вопросов:

• равновеликость и равносоставленность;
• медиана делит треугольник на две части равной площади;
• разрезания треугольника и выпуклого четырехугольника на равновеликие части.

Вышла брошюра: Б.П. Гейдман, 'Площади многоугольников', выпуск 9 серии 'Библиотека "Математическое просвещение"'. (Zip-pdf-файл - 223286 байт; Djvu-файл - 106274 байта.)

Лекция 4 (23) 28.10.2000

Эрнест Борисович ВИНБЕРГ,

профессор кафедры алгебры мехмата МГУ.

Симметрия многочленов

Как и плоские фигуры или пространственные тела, многочлены могут быть симметричны. Тип симметрии какого-либо объекта определяется набором (группой) преобразований, которые его сохраняют. Например, так называемые симметрические многочлены - это многочлены, не меняющиеся ни при какой перестановке переменных. Всякий симметрический многочлен от двух переменных x, y можно представить в виде многочлена от x + y и xy, а всякий симметрический многочлен от трех переменных x, y, z - в виде многочлена от x + y + z, xy + yz + zx и xyz.

Многочлен x² + y² + z² не меняется не только при перестановках переменных, но и при любых вращениях пространства. Можно доказать, что всякий многочлен с такой симметрией представим в виде многочлена от x² + y² + z².

Было рассказано о том, как описывать многочлены с данным типом симметрии, какие проблемы здесь возникают (например, 14-я проблема Гильберта).

Вышла брошюра: Э.Б. Винберг, 'Симметрия многочленов', выпуск 11 серии 'Библиотека "Математическое просвещение"'. (Zip-pdf-файл - 168643 байта; Djvu-файл - 127155 байт.)

Лекция 5 (24) 4.11.2000

Сабир Меджидович ГУСЕЙН-ЗАДЕ,

профессор мехмата МГУ.

Можно ли причесать ежа?

Можно ли сдвинуть блин на сковородке так, чтобы никакая его точка не осталась на месте? Почему нельзя причесать ежа? На эти и на многие другие вопросы можно ответить, пользуясь индексом вращения - одним из важных понятий топологии.

Любую определенную на отрезке непрерывную функцию можно непрерывно продеформировать в любую другую (определенную на том же отрезке) непрерывную функцию. Оказывается, если множество аргументов и множество значений отображения - окружности, то аналогичное утверждение ложно. Более того, непрерывному отображению окружности в окружность можно сопоставить целое число - индекс вращения. Если индексы вращения двух отображений различны, то отображения негомотопны, то есть их нельзя продеформировать одно в другое; если же индексы равны, то можно.

Лекция 6 (25) 11.11.2000

Владимир Георгиевич СУРДИН,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Государственного астрономического института имени П.К. Штернберга (ГАИШ МГУ).

Динамика звездных систем

Лекция состояла из двух частей. Первая посвящена изучению звездных систем, состоящих из математических (идеальных) звезд - точек, взаимодействующих по законам Ньютона и не меняющих свои массы. Вторая часть посвящена физическим (реальным) звездам, способным изменять форму, размер и массу. Эта задача более сложна и требует современных высокоскоростных компьютеров для изучения эволюции звездных систем.

План лекции:

1. Математические звезды: одна звезда и ее свита; двойные и кратные звезды; одна среди равных (звезда в галактике); звездные скопления; звездные ассоциации.
2. Физические звезды: звезда меняет массу (аккреция и звездный ветер); звезды обмениваются массой (тесные двойные системы); звезда меняет форму (приливные деформации); звезда, окруженная диском; звездный мир в компьютере.

Вышла брошюра: В.Г. Сурдин, 'Динамика звездных систем', выпуск 12 серии 'Библиотека "Математическое просвещение"'. (Zip-pdf-файл - 277713 байт; Djvu-файл - 117810 байт.)

Лекция 7 (26) 18.11.2000

Михаил Васильевич СМУРОВ,

доцент кафедры общей топологии и геометрии мехмата МГУ, член методической комиссии Всероссийской математической олимпиады.

Почему похожи теоремы о вписанном и описанном четырехугольниках?

Четырехугольник является вписанным (описанным) тогда и только тогда, когда суммы величин (длин) его противоположных углов (сторон) равны. Прояснить связь этих теорем евклидовой геометрии помогает сферическая геометрия. Оказывается, хотя сумма углов сферического четырехугольника больше 360°, признак вписанности в окружность тот же самый: суммы противоположных углов должны совпадать.

А теорема об описанном четырехугольнике в сферической геометрии является прямым следствием теоремы о вписанном четырехугольнике. Точнее, эти две теоремы двойственны. Что означает последнее слово, было рассказано на лекции. Были приведены и другие примеры двойственных утверждений.

Лекция 8 (27) 25.11.2000

Владимир Николаевич ЧУБАРИКОВ,

профессор кафедры математического анализа мехмата МГУ.

Простые числа

С простыми числами связаны многие теоремы и проблемы арифметики, столетиями не поддающиеся решению. В последнее время большие простые числа нашли неожиданные и разнообразные применения.

Были сформулированы некоторые критерии простоты чисел, рассказано о доказательстве постулата Бертрана. Лектор хотел сформулировать асимптотический закон распределения простых чисел, рассказать о методе решета и проблеме Гольдбаха.

Лекция 9 (28) 2.12.2000

Владимир Игоревич АРНОЛЬД,

академик РАН.

Цепные дроби

Цепная дробь - это выражение вида
a₀ + 1 / (a₁ + 1 / (a₂ + 1 / (a₃ + ... .
Теория цепных дробей связана с теорией приближения вещественных чисел рациональными числами, с теорией динамических систем, а также со многими другими разделами математики.

На лекции было рассказано о существовании связи цепных дробей с геометрией выпуклых многоугольников. Это связано с тем, что цепная дробь периодична в тех и только тех случаях, когда выражаемое ею число является корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами. Было рассказано также о том, что математики знают, насколько часто среди элементов a₁, a₂, a₃, ... цепной дроби, выражающей произвольное вещественное число, встречается единица (двойка, тройка, ...). Почти для всех вещественных чисел доля единиц больше доли двоек, которая больше доли троек, и так далее.

Вышла брошюра: В.И. Арнольд, 'Цепные дроби', выпуск 14 серии 'Библиотека "Математическое просвещение"'. (Zip-pdf-файл - 1740763 байта; Djvu-файл - 178255 байт.)

Лекция 10 (29) 9.12.2000

Александр Васильевич МИХАЛЕВ,

проректор МГУ, заведующий лабораторией вычислительных методов, профессор кафедры алгебры мехмата МГУ.

Теория групп в математике

Было рассказано о возникновении понятия группы в математике, об элементах теории групп и о применении теории групп в алгебре, теории чисел, геометрии и естествознании.

Лекция 11 (30) 16.12.2000

Иджад Хакович САБИТОВ,

доцент кафедры математического анализа мехмата МГУ, доктор физико-математических наук (доказавший постоянство объема многогранника при его изгибании), лауреат премии имени Н.И. Лобачевского.

Суммы углов, площади и деформации замкнутых ломаных

Многоугольниками называют замкнутые ломаные без самопересечений. Для многоугольников в школьном курсе геометрии изучают такие характеристики, как сумма углов и площадь. Было рассказано, как определить суммы углов и площади для замкнутых ломаных с произвольными самопересечениями, как их вычислять и как они меняются при деформации ломаной. Был рассмотрен и ряд других задач геометрии замкнутых ломаных.

Лекция 12 (31) 03.02.2001

Александр Рафаилович ЗИЛЬБЕРМАН,

учитель физики лицея 'Вторая школа', член редколлегии журнала 'Квант' (ведущий раздела физики 'Задачника "Кванта"'), составитель всех прошедших шести физических соросовских олимпиад, многолетний тренер команд СССР (ныне России) к Международным физическим олимпиадам.

Обращенная тепловая машина

Были обсуждены обратимые и необратимые процессы, проводимые с разреженными газами, циклические процессы и их использование в тепловых машинах. Далее разговор шел про 'обращенный' цикл - его часто называют 'холодильным'. Было рассказано, как можно затратить 100 джоулей работы и получить при этом 1000 джоулей тепла, обсужден вопрос о том, может ли тепло перетекать от холодного тела к горячему, выяснено, как этот сложный вопрос решает холодильник, рассказано теоремах Карно и о том, почему самый лучший на свете цикл Карно никто не применяет на практике, обсуждены многие другие вопросы.

Лекция 13 (32) 10.02.2001

Юлий Александрович ДАНИЛОВ,

старший научный сотрудник Российского научного центра 'Курчатовский институт', переводчик на русский язык книг Гарднера, Кеплера, Галилея, Эйнштейна, Пуанкаре, Паули, Кирхгофа, Гильберта, Тьюринга и Гейзенберга.

Квазикристаллы

Это новый класс твердых тел, полученный при поиске новых материалов в программе СОИ (стратегическая оборонная инициатива США). Экспериментаторам удалось попасть в очень узкую 'температурную щель' и получить материалы с необычными новыми свойствами. Квазикристаллы обладают парадоксальной с точки зрения классической кристаллографии структурой, предсказанной из теоретических соображений (мозаики Пенроуза).

Теория мозаик Пенроуза позволила отойти от привычных представлений о федоровских кристаллографических группах (основанных на периодических заполнениях пространства).

Лекция 14 (33) 17.02.2001

Валентин Анатольевич СКВОРЦОВ,

профессор кафедры теории функций и функционального анализа мехмата МГУ.

Примеры метрических пространств

Математики часто рассматривают множества, между элементами ('точками') которых определено расстояние (метрика). Такие множества называют метрическими пространствами, если выполнены следующие аксиомы: расстояние d(x, y) между любыми точками x и y неотрицательно, причем d(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y; метрика симметрична, то есть d(x, y) = d(y, x); наконец, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) для любых трех точек x, y, z (неравенство треугольника).

Существует много разных способов определить расстояние в разных множествах. Можно измерять расстояние между кривыми, множествами, функциями,... Например, расстоянием между двумя определенными на отрезке [0; 1] непрерывными функциями можно назвать максимум модуля разности этих функций (впрочем, иногда рассматривают и другие определения расстояния). В теории кодов рассматривают метрику на множестве слов и применяют ее для автоматического исправления ошибок при передаче информации.

Многие метрические пространства разительно отличаются от привычной евклидовской плоскости. Например, для любых точек x, y, z может выполняться неравенство d(x, y) ≤ max(d(x, z), d(z,y)). Такие пространства называют неархимедовыми. В них все треугольники равнобедренные, а любая внутренняя точка круга является его центром.

Пример неархимедовой метрики - p-адическая метрика d(x, y) = p^-k, где p - простое число, x, y - различные рациональные числа, k - такое целое число, что x - y = p^k ћ (m/n) и целые числа m и n не делятся на p. Числа тем ближе друг в смысле p-адической метрики, чем на большую степень числа p делится их разность. Подобно тому как снабженное обычной архимедовой метрикой множество рациональных чисел Q можно пополнить до множества вещественных чисел, его (Q) можно пополнить и по p-адической метрике, получив поле p-адических чисел, которое широко применяют в арифметике и алгебре.

Вышла брошюра: В.А. Скворцов, 'Примеры метрических пространств', выпуск 16 серии 'Библиотека "Математическое просвещение"'. (Zip-pdf-файл - 233149 байт; Djvu-файл - 95425 байт.)

Лекция 15 (34) 24.02.2001

Владимир Михайлович ТИХОМИРОВ,

профессор кафедры ОПУ мехмата МГУ, заместитель главного редактора журнала 'Квант', автор книги 'Рассказы о максимумах и минимумах'.

Экстремумы функций одной переменной

Есть много важных причин, которые побуждают людей довать задачи на максимум и минимум (экстремальные задачи). Первые задачи на экстремум были решены в античной древности Евклидом, Архимедом и другими. В XVII веке выяснилось, что большинство явлений природы могут быть объяснены с помощью рассмотрений задач на экстремум.

В том же столетии появились первые общие приемы решения таких задач. Было рассказано об этих приемах и на их основе решены некоторые задачи геометрии (Евклида, Кеплера, Ферма), объяснены некоторые механические и оптические явления, исследованы некоторые задачи, возникающие в технике.

Вышла брошюра: В.М. Тихомиров, 'Дифференциальное исчисление (теория и приложения)', выпуск 15 серии 'Библиотека "Математическое просвещение"'. (Zip-pdf-файл - 1840372 байта; Djvu-файл - 822476 байт.)

Лекция 16 (35) 3.03.2001

Виктор Иванович ГОЛУБЕВ,

cтарший научный сотрудник института микропроцессорных вычислительных систем (ИМВС РАН), соавтор книги 'Факультативный курс математики. Решение задач. 11 класс', автор брошюры 'Эффективные пути решения неравенств'.

Решение уравнений и неравенств

Были продемонстрированы малоизвестные, эффективные и доступные широкой аудитории школьников 9-11 классов приемы и методы решения уравнений и неравенств (в том числе с параметром). Овладение подобными приемами и методами позволяет школьнику сэкономить силы и время на вступительных экзаменах и тем самым повысить свои шансы.

Лекция 17 (36) 10.03.2001

Иджад Хакович САБИТОВ,

доктор физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа мехмата МГУ, лауреат международного конкурса им. Н.И. Лобачевского.

Объемы многогранников

С древних времен известна формула Герона S² = p(p - a)(p - b)(p - c), выражающая площадь треугольника S через длины его сторон. Лекция посвящена ее обобщению, позволяющему вычислять объем многогранника по ребрам и диагоналям граней. Отправной точкой послужила формула, выражающая объем тетраэдра через длины его ребер. Эту формулу можно найти во всех солидных справочниках по математике, но мало кто знает ее историю. Было рассказано об авторах этой формулы (Тарталья и Эйлере) и разобраны ее доказательства - как оригинальные, так и современные.

Был введен класс многогранников, объемы которых можно вычислять, опираясь только на формулу для объема тетраэдра. В заключение была сформулирована теорема, обобщающая формулу объема тетраэдра на любые многогранники и дающая, как простое следствие, неизменность объема изгибаемого многогранника (изгибанием называют такую непрерывную деформацию многогранника, в ходе которой меняется хотя бы один его двугранный угол, но грани перемещаются как твердые пластинки, то есть без какого бы ни было изменения их формы).

Вышла брошюра: И.Х. Сабитов, 'Объемы многогранников', выпуск 21 серии 'Библиотека "Математическое просвещение"'.

Лекция 18 (37) 17.03.2001

Александр Николаевич КАРПОВ,

кандидат физико-математических наук, заместитель директора Малого мехмата, учитель лицея 'Вторая школа'.

Канторово совершенное множество

Один из замечательных объектов, изучаемых в математическом анализе - совершенное множество Кантора. Оно получается выбрасыванием из отрезка [0; 1] бесконечного множества интервалов. На первом этапе выбрасываем один интервал: (1/3; 2/3). Затем - два интервала: (1/9; 2/9) и (7/9; 8/9). Далее выбрасываем четыре интервала: (1/27; 2/27), (7/27; 8/27), (19/27; 20/27) и (25/27; 26/27). Вообще, на каждом следующем этапе мы делим каждый отрезок, из которых состоит к этому моменту множество, на три равные части и выбрасываем средние из этих частей.

С помощью канторова множества удается строить удивительные примеры. Один из них - канторова лестница. Она является непрерывной функцией, обладающей на первый взгляд несовместимыми свойствами: эта функция непрерывна на отрезке [0; 1], постоянна почти во всех его точках, но не является постоянной функцией.

Другим примером, подробно разобранным на лекции, является следующая задача. Из точки 0 в точку 1 по числовой прямой движутся заяц и черепаха. Они одновременно выходят из нуля, никогда не стоят на месте (скорость в каких-то точках пути может быть равна нулю, но время пребывания в таких точках должно быть нулевым) и не поворачивают обратно. Могло ли так быть, чтобы для каждой точки пути скорость зайца в момент прохождения этой точки была не меньше, чем скорость черепахи в момент прохождения этой точки, но черепаха пришла в единицу раньше, чем заяц? Ответ: такое возможно!

Лекция 19 (38) 24.03.2001

Олег Рустумович МУСИН,

кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник географического факультета МГУ, автор многих олимпиадных задач, член жюри Всероссийской олимпиады.

Диаграммы Вороного и триангуляции Делоне

В последние десятилетия в научных и научно-популярных статьях и книгах все чаще стали появляться имена двух замечательных отечественных математиков: Г.Ф. Вороного (1868-1908) и Б.Н. Делоне (1890-1980). Вклад этих ученых в теорию чисел и геометрию значителен и хорошо известен специалистам. Их имена популярны не только среди математиков, но и среди исследователей, применяющих геометрию в самых различных областях науки и техники.

Было рассказано, что такое диаграмма Вороного и триангуляция Делоне, обсуждены их свойства и приложения к вычислительной геометрии. Практически все доказательства проводились в рамках школьной геометрии (редкий случай, когда можно получать серьезные результаты в современной науке, используя только элементарную математику!). Некоторые связанные с темой лекции задачи (например, о пустых и полных окружностях) появлялись на математических олимпиадах школьников.

Целый ряд теорем (о среднем радиусе, гармоническом индексе, минимальной поверхности) был впервые доказан лектором и опубликован в специальной литературе. Были формулированы некоторые нерешенные математические проблемы.

Лекция 20 (39) 31.03.2001

Геннадий Иванович ШИРМИН,

кандидат физико-математических наук, доцент физического факультета МГУ.

Динамическая астрономия

Динамическая астрономия - это раздел астрономии, занимающийся иссследованием движений небесных тел (поступательных, вращательных). Из методов динамической астрономии, которые позволяют определять орбиты небесных тел по даннным астрономических наблюдений, возникла почти вся прикладная и вычислительная математика.

Основные вопросы, которые были обсуждены на лекции, таковы: возникновение динамической астрономии, астрометрия как наблюдательно-экспериментальная база динамической астрономии, небесная механика как совокупность теоретических методов исследования движений небесных тел, определение орбит, вычисление эфемерид, прогнозирование движений небесных тел, устойчивость солнечной системы, астероидная опасность, проверка всемирности закона всемирного тяготения.

Лекция 21 (40) 7.04.2001

Александр Николаевич КАРПОВ,

кандидат физико-математических наук, заместитель директора Малого мехмата, учитель математики лицея 'Вторая школа'.

Избранные задачи

В первой части лекции были рассмотрены две классические задачи, использующие расходимость гармонического ряда, а во второй - две задачи А.В. Шаповалова о лабиринтах.

Лекция 22 (41) 14.04.2001

Сергей Владимирович КОНЯГИН,

профессор мехмата МГУ, один из авторов книг 'Зарубежные математические олимпиады' и 'Задачи студенческих математических олимпиад'.

Проверка простоты чисел и малая теорема Ферма

Задача определения того, является ли данное большое целое число простым, всегда привлекала внимание математиков. Долгое время считалось, что она имеет лишь теоретический интерес. Однако несколько десятков лет назад стало ясно, что построение больших простых чисел важно для защиты информации. Было рассказано,

• как можно проверить, что большое число является составным, не найдя при этом ни одного его собственного делителя;
• как проверить, что большое число является простым, затратив не слишком много времени;
• кому и зачем нужны большие простые числа.

Лекция 23 (42) 21.04.2001

Алексей Александрович ЗАСЛАВСКИЙ,

старший научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН, учитель гимназии ? 1543.

Теорема Понселе

Теорема Понселе - одна из самых сложных и красивых теорем элементарной геометрии. Она утверждает, что если некоторый n-угольник вписан в окружность и описан около другой окружности, то можно зафиксировать эти окружности и 'вращать' между ними многоугольник так, что его вершины будут все время лежать на одной окружности, а стороны касаться другой (форма многоугольника при этом может меняться и довольно существенно).

Оказывается, такой 'вращающийся' многоугольник Понселе обладает многими интересными свойствами: например, его центр тяжести описывает окружность, а центр тяжести точек касания его сторон со вписанной окружностью неподвижен.

Будут рассказаны результаты, полученные в соавторстве с Г.Р. Челноковым. Некоторые из них можно доказать элементарными средствами. Для доказательства других приходится привлекать значительно более мощный и сложный аппарат алгебраической геометрии.

Лекция 24 (43) 28.04.2001

Валерий Борисович АЛЕКСЕЕВ,

заведующий кафедрой математической кибернетики факультета ВМК МГУ, профессор.

Теорема Абеля

В 1976 году издательство 'Наука' выпустило книгу В.Б. Алексеева 'Теорема Абеля в задачах и решениях', рассказывающую о группах перестановок, комплексных числах, римановых поверхностях алгебраических функций. В ней выведены формула Кардано для решения уравнений третьей степени и формула Феррари для уравнений четвертой степени, а также доказано, что уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах.

В 2001 году издательство МЦНМО переиздало эту книгу - одну из лучших популярных книг по математике, созданных в XX веке. И хотя книга настолько содержательна, что трудно рекомендовать ее школьнику младше 9 класса, но любому, кто собирается сколько-нибудь серьезно заняться математикой, она в высшей степени полезна.