МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Версия для печати

Занятие 11 (5 декабря 2015 года). Подсчет двумя способами

1.

В сказочной стране Перра-Терра среди прочих обитателей проживают карабасы и барабасы. Каждый карабас знаком с шестью карабасами и девятью барабасами. Каждый барабас знаком с десятью карабасами и семью барабасами. Кого в этой стране больше — карабасов или барабасов?

2.

Имеется много одинаковых квадратов. В вершинах каждого из них в произвольном порядке написаны числа 1, 2, 3 и 4. Квадраты сложили в стопку и написали сумму чисел, попавших в каждый из четырех углов стопки. Может ли оказаться так, что

а)

в каждом углу стопки сумма равна 2014?

б)

в каждом углу стопки сумма равна 2015?

3.

Рита, Люба и Варя решали задачи. Чтобы дело шло быстрее, они купили конфет и условились, что за каждую решенную задачу девочка, решившая ее первой, получает четыре конфеты, решившая второй - две, а решившая последней - одну. Девочки говорят, что каждая из них решила все задачи и получила 20 конфет, причем одновременных решений не было. Докажите, что они ошибаются.

4.

Футбольный мяч сшит из 32 лоскутков: белых шестиугольников и черных пятиугольников. Каждый черный лоскут граничит только с белыми, а каждый белый - с тремя черными и тремя белыми. Сколько лоскутков белого цвета?

5.

По кругу расставлены цифры 1, 2, 3, ..., 9 в произвольном порядке. Каждые три цифры, стоящие подряд по часовой стрелке, образуют трехзначное число. Найдите сумму всех девяти таких чисел.

6.

На сторонах шестиугольника было записано шесть чисел, а в каждой вершине — число, равное сумме двух чисел на смежных с ней сторонах. Затем все числа на сторонах и одно число в вершине стерли. Можно ли восстановить число, стоявшее в вершине?

7.

10 друзей послали друг другу праздничные открытки, так что каждый послал 5 открыток. Докажите, что найдутся двое, которые послали открытки друг другу.

8.

На столе в виде треугольника выложены 28 монет одинакового размера, но, возможно, разного веса. Известно, что суммарная масса любой тройки монет, которые попарно касаются друг друга, равна 10 г. Найдите суммарную массу всех 18 монет на границе треугольника.

Дополнительные задачи

9.

В таблицу n × n записаны n² чисел, сумма которых неотрицательна. Докажите, что можно переставить столбцы таблицы так, что сумма n чисел, расположенных по диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний, будет неотрицательна.

10.

На шахматной доске расставлены 8 ладей так, что они не бьют друг друга. Докажите, что на полях черного цвета расположено четное число ладей.

11.

Какое наибольшее число клеток может пересечь прямая, проведенная на листе клетчатой бумаги размером m × n клеток?