МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Версия для печати

Занятие 17 (12 марта 2016 года). Средние величины

1.

Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды — 22 года. Во время матча один из игроков получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 21 году. Сколько лет футболисту, получившему травму?

2.

В вершинах 100-угольника расставлены числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все они равны.

3.

В соревновании участвовали 50 стрелков. Первый выбил 60 очков; второй — 80; третий — среднее арифметическое очков первых двух; четвертый — среднее арифметическое очков первых трех. Каждый следующий выбил среднее арифметическое очков всех предыдущих. Сколько очков выбил 42-й стрелок? А 50-й?

4.

Кое-кто в классе смотрит футбол, кое-кто — мультики, но нет таких, кто не смотрит ни то, ни другое. У любителей мультиков средний балл по математике меньше 4, у любителей футбола — тоже меньше 4. Может ли средний балл всего класса по математике быть больше 4?

5.

Коля и Вася за январь получили по 20 оценок, причем Коля получил пятерок столько же, сколько Вася четверок, четверок столько же, сколько Вася троек, троек столько же, сколько Вася двоек, и двоек столько же, сколько Вася — пятерок. При этом средний балл за январь у них одинаковый. Сколько двоек за январь получил Коля?

6.

Среднее арифметическое четырех чисел равно 10. Если вычеркнуть одно из этих чисел, то среднее арифметическое оставшихся трех увеличится на 1, если вместо этого вычеркнуть другое число, то среднее арифметическое оставшихся чисел увеличится на 2, а если вычеркнуть третье число, то среднее арифметическое оставшихся увеличится на 3. Как изменится среднее арифметическое трех оставшихся чисел, если вычеркнуть четвертое число?

7.

Три пирата вечером поделили добытые за день бриллианты: по двенадцать Биллу и Сэму, а остальные — Джону, который считать не умел. Ночью Билл у Сэма, Сэм у Джона, а Джон у Билла украли по одному бриллианту. В результате средняя масса бриллиантов у Билла уменьшилась на один карат, у Сэма уменьшилась на два карата, зато у Джона увеличилась на четыре карата. Сколько бриллиантов досталось Джону?

8.

Люди заходят с улицы в метро равномерно. Пройдя через турникеты, они оказываются в небольшом зале перед эскалаторами. Двери на вход только что открылись, и сначала зал перед эскалаторами был пустой, а на спуск работал только один эскалатор. Один эскалатор не справлялся с толпой, так что за 6 минут зал наполовину заполнился. Тогда включили на спуск второй эскалатор, но толпа продолжала увеличиваться — еще через 15 минут зал был полон. За какое время зал опустеет, если включить третий эскалатор?