МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Евгений Александрович Асташов
2014/2015 учебный год

Версия для печати

Занятие 23. По шагам

1.

а): Незнайка должен был разрезать квадрат на 100 квадратов (не обязательно равных). После тщательного подсчета оказалось, что он разрезал его не на 100, а только на 97 квадратов. Помогите Незнайке исправить положение и получить ровно 100 квадратов, не переделывая всю работу.
б): Теперь Незнайке нужно получить 130 квадратов. Как ему это сделать побыстрее?
в): Пока Незнайка резал квадрат, он задумался: а можно ли получить 131 или 132 квадрата (или еще какое-нибудь число квадратов)? Ответьте и вы на этот вопрос.

2.

В мешке 64 кг гвоздей. Как с помощью только чашечных весов без гирь отвесить:

а): 32 кг гвоздей;
б): 8 кг гвоздей;
в): 23 кг гвоздей;
г): n кг (1 ≤ n ≤64, n — целое)?

Пусть требуется доказать утверждение вида «Для каждого натурального n верно, что…». Это то же самое, что доказать бесконечную цепочку утверждений: «Для n = 1 верно, что…», «Для n = 2 верно, что…», «Для n = 3 верно, что…» и так далее. Чтобы доказать всю цепочку утверждений методом математической индукции, достаточно:
1) доказать первое утверждение: «Для n = 1 верно, что…» (база индукции);
2) для каждого натурального k доказать, что если «Для n = k верно, что…», то и «Для n = k + 1 верно, что…» (шаг индукции).

3.

Докажите равенства для любого натурального n:

а): 1 + 2 + 3 + … + n = ½ (n · (n + 1));
б): 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²;
в): 1² + 2² + 3² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6.

4.

У бородатого многоугольника во внешнюю сторону растет щетина. Его пересекает n прямых, на каждой из которых с одной из сторон тоже растет щетина (см. рисунок выше). В результате многоугольник оказался разбитым на некоторое число частей. Докажите, что хотя бы одна из частей окажется бородатой снаружи.

5.

Известно, что для любых трех точек A₁ ,A₂, A₃ выполнено неравенство треугольника: A₁A₂ + A₂A₃ ≥ A₁A₃.

а): Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для n точек (n ≥ 3).
б): При каком условии неравенство из пункта а) обращается в равенство?

6.

Бодрый студент на лекции записывал по 90 слов в минуту. Сонный студент сначала был совсем сонный и за первую минуту лекции записал только одно слово. Потом он начал понемногу просыпаться и за вторую минуту лекции записал уже три слова, за третью — пять, за четвертую — семь, и так далее.

а): Сколько времени длилась лекция, если в итоге оба студента записали слов поровну?
б): Сколько слов записал на лекции каждый студент?

7.

Вычислите суммы: сначала вычислите эти суммы для n = 1, 2, 3, 4, 5, а затем найдите закономерность и докажите ее по индукции.

а): 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2ⁿ;
б): 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + … + n · n!.

Вы видите ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter!