МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Версия для печати

Занятие 19 (21 марта 2015 года). Игра «Расскажи другу»

Правила игры

Играют команды по 3–5 человек. Сначала командам предлагаются первые 7 задач, примерно через 30–40 минут — остальные задачи.

Задачи в игре бывают двух типов.

• Есть задачи типа «только ответ». Ответ команды на такую задачу сдается на листочке и оценивается по системе «+5, если верно, и −2, если неверно».
• Есть задачи типа «решение устно». Их нужно сдавать устно, причем сдавать задачу обязательно должна прийти вся команда. Из состава команды случайным образом выбирается, кто будет сдавать задачу. Остальные игроки уходят на свои места и не имеют права подсказывать сдающему. Решение также оценивается по системе «+5 / −2» Таким образом, знать и понимать решение задачи требуется не только от решившего ее игрока, но и от всех остальных членов команды.

Задачи

1.

(Только ответ) В каких из следующих примеров ответ четен, а в каких — нечетен? Ответ нужно дать сразу про все примеры.

а)

\((20152015-999\cdot 12345)\cdot 54321 +337\cdot 529\);

б)

\(1+2+3+\ldots+1999\);

в)

\(1000-131313\cdot 7+ 76111+2015-2016+444\cdot 3737\);

г)

\(373737:7+127127127127127127:13+201520152015201520152015:3\) (автор задачи гарантирует, что все делится без остатка).

Ответ

Ответ. а) Н; б) Ч; в) Н; г) Н.

2.

(Только ответ) На поляну прилетело 35 ворон. Неожиданно вороны взлетели и разделились на две стаи: одна стая уселась на ветви старой березы, а другая — на ольху. Через некоторое время с березы на ольху перелетело 5 ворон, столько же ворон совсем улетело с березы, после чего на березе осталось вдвое больше ворон, чем на ольхе. Сколько ворон было в каждой из двух стай первоначально?

Ответ

Ответ. 30 на березе, 5 на ольхе.

3.

(Решение устно) Знайка пришел в гости к братьям-близнецам Винтику и Шпунтику, зная, что один из них никогда не говорит правду, и спросил одного из них: «Ты Винтик?» «Да,» — ответил тот. Когда Знайка спросил об этом же второго, то также получил ответ «да» или «нет». После этого Знайка сразу понял, кто Винтик, а кто Шпунтик. Кого же — первого или второго — звали Винтиком?

Решение

Решение. Второго звали Винтиком. Если второй ответил «да», отличить их нельзя. Значит, второй ответил «нет». Осталось перебрать два случая: первый В., второй Ш., или наоборот. В первом случае оба близнеца сказали правду — это противоречит условию. Во втором случае оба солгали — а вот это не противоречит условию!

4.

(Только ответ) Сколько всего существует трехзначных чисел?

Ответ

Ответ. 900.

5.

(Только ответ) Бурундуки Чип и Дейл должны запасти одинаковое количество орехов на зиму. После того, как Чип принес 120, а Дейл — 147 орехов, Чипу осталось запасти орехов в четыре раза больше, чем Дейлу. Сколько орехов должен запасти каждый из них?

Ответ

Ответ. 156.

6.

(Решение устно) На вечеринке собрались только лжецы и стали спорить, сколько же их собралось. Первый сказал: «Нас больше десяти!» Второй сказал: «Нас четное число!» Третий сказал: «Слово, обозначающее наше количество, состоит меньше, чем из шести букв». Сколько же лжецов на вечеринке?

Ответ Решение

Ответ. 9.

Решение. По условию, все высказывания ложны, то есть: их десять или меньше; их нечетно; и в слове, обозначающем их количество, шесть букв или больше. Из первых двух условий подходят «три», «пять», «семь», «девять», и только «девять» удовлетворяет также третьему условию.

7.

(Решение устно) На позапрошлом занятии каждый шестиклассник принес с собой одну или несколько тетрадей в клеточку (в тетради либо 12, либо 18, либо 48 листов) и так случилось, что внутри каждой тетради все страницы одинаковые, хотя в разных тетрадках они могут быть и разными. Кирилл решил посчитать все клеточки, какие только есть у шестиклассников, и у него получилось 12072015 клеточек. Шестиклассники на том же позапрошлом занятии с помощью четности объяснили Кириллу, что он ошибся. Но Кирилл, поразмышляв две недели, возразил, что он не ошибся, а дело в том, что некоторые шестиклассники вырывали из своих тетрадей листы, в том числе одинарные. Мог ли Кирилл все-таки быть прав?

Ответ Решение

Ответ. Не мог.

Решение. Поскольку на каждом листе две одинаковых страницы, вырвали тоже четное число клеток.

8.

(Только ответ) Охотник рассказал приятелю, что видел в лесу волка с метровым хвостом. Тот рассказал другому приятелю, что в лесу видели волка с двухметровым хвостом. Передавая новость дальше, простые люди увеличивали длину хвоста вдвое, а творческие — втрое. В результате по телевизору сообщили о волке с хвостом длиной 648 метров. Сколько простых и сколько творческих людей «отрастили» волку хвост?

Ответ

Ответ. 4 творческих и 3 простых.

9.

(Только ответ) Второклассники Коля, Вася, Миша, Степа и Гриша по очереди верно решили пять примеров из таблицы умножения. Каждый следующий мальчик получил ответ в полтора раза больше предыдущего. Какие числа умножал Степа?

Ответ

Ответ. 6 и 9.

10.

(Только ответ) На острове 7 озер, из каждого вытекает 3 реки и в каждое впадает 2 реки. Кроме того, пять рек берут начало в леднике на вершине горы. Реки впадают только в другое озеро или океан. Сколько рек впадает в океан?

Ответ

Ответ. 12 рек.

11.

(Решение устно) В однокруговом футбольном турнире участвовали 32 команды, причем каждая сыграла с каждой по 1 матчу. Сколько всего матчей было сыграно?

Ответ

Ответ. 16·31 = 496.

12.

(Только ответ) У Юры есть калькулятор, который позволяет умножать число на 3, прибавлять к числу 3 или (если число делится на 3 нацело) делить на 3. Как на этом калькуляторе получить из числа 1 число 11?

13.

(Решение устно) Сумма двух целых чисел нечетна. Может ли частное от деления одного из них на другое быть нечетным числом?

Ответ Решение

Ответ. Не может.

Решение. Предположим, что так получилось. Раз сумма нечетна, то складывали четное и нечетное числа. Нечетное разделить на четное --- нецелое, четное разделить на нечетное --- четное. Противоречие.

14.

(Только ответ) На клетчатой бумаге нарисован квадрат со стороной 5 клеток. Разбейте его на 5 частей одинаковой площади, проводя отрезки внутри квадрата только по линиям сетки так, что суммарная длина проведенных отрезков не превосходит 16 клеток.

15.

(Только ответ) На карточках были написаны числа 1, 2, 3, ..., 111. Ваня взял себя карточки с четными номерами, а Таня — с нечетными. У кого из них сумма чисел на карточках получилась больше и на сколько?

Ответ

Ответ. У Тани больше на 56.

16.

(Решение устно) В комнате 12 человек; некоторые из них честные, то есть всегда говорят правду, остальные всегда лгут. «Здесь нет ни одного честного человека,» — сказал первый. «Здесь не более одного честного человека,» — сказал второй. Третий сказал, что честных не более двух, четвертый — что не более трех, и так далее до двенадцатого, который сказал, что честных людей не более одиннадцати. Сколько честных людей в комнате на самом деле?

Ответ

Ответ. 6. %- \vfill } \newpage \Large \ \bigskip \bigskip \bigskip \begin{center} \textbf{ Игра <<Расскажи другу>> плюс 5 минус 2 } \end{center} \end{document}