МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Версия для печати

Занятие 20 (28.02.2015). Разные устройства

1.

Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — число, состоящее из семи цифр: двоек и троек. Сейф откроется, если двоек больше, чем троек, а код делится и на 3, и на 4. Придумайте код, открывающий сейф.

2.

Прожектор освещает угол 90°. Докажите, что прожекторы, поставленные в четырех точках прямоугольной комнаты, можно направить так, чтобы осветить всю комнату.

3.

Среди 30 внешне одинаковых шаров ровно 5 радиоактивные. Специальный аппарат, если поместить в него один или несколько шаров, сообщает, сколько среди них радиоактивных. Как, используя аппарат не более трех раз, найти хотя бы 5 нерадиоактивных шаров?

4.

Есть 30 камней различного веса и „специальные весы”. На эти весы можно класть только по 10 камней на каждую чашку, тогда весы показывают, на какой чашке груз больше. Как с помощью этих весов найти пару камней, про которые точно известно, что один тяжелее другого?

5.

У Кости есть фонарик и 13 аккумуляторов. Ему известно, что 7 аккумуляторов заряжены (но неизвестно, какие именно), а остальные разряжены. Костя может вставить в фонарик два аккумулятора, и если оба заряжены, то лампочка загорится, а иначе — нет. Верно ли, что за 8 таких проверок можно добиться, чтобы лампочка наверняка хотя бы раз загорелась?

6.

У нумизмата Пети есть три внешне неотличимые монеты, две из которых настоящие и имеют одинаковый вес, а третья, отличающаяся от них по весу, фальшивая. Его чашечные весы без гирь испортились и всегда показывают неправильный результат взвешивания (при взвешивании двух монет одинакового веса одна из них будет перевешивать другую, а при взвешивании двух монет разного веса эти весы или будут находиться в равновесии, или монета с меньшим весом будет перевешивать монету с большим весом). Может ли Петя с помощью таких весов наверняка определить среди этих трех монет хотя бы одну настоящую?

7.

Три автомата печатают на карточках пары натуральных чисел. Первый автомат, прочитав каточку с числами a и b, выдает карточку числами a + 1, b + 1 (т.е. увеличивает каждое число на 1). Второй автомат по карточке a, b — печатает карточку с числами a⁄2, b⁄2 (т.е. делит оба числа на 2, он работает только если числа четные). Третий — по двум карточкам a и b, b и c печатает карточку a и c (т.е. берет первое число первой карточки и второй — со второй). Кроме того, прочитанные карточки автоматы всегда возвращают. Изначально есть карточка с числами 5 и 19. Можно ли, используя эти автоматы, получить карточку с числами а) 1 и 50; б) 1 и 100?