МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Версия для печати

Занятие 4 (18.10.2014). Четность

0.

Что такое четные и что такое нечетные числа? Каким является число 0: четным или нечетным?

1.

Можно ли разменять 25 лир десятью монетами в 1, 3 и 5 лир?

2.

Если сложить все натуральные числа от 1 до 2014, то четной или нечетной будет сумма?

3.

Обозначим буквой Ч четные числа, а буквой Н — нечетные. Заполните пропуски так, чтобы получились верные соотношения:

Ч + Ч = ◯	Ч · Ч = ◯
Ч + Н = ◯	Ч · Н = ◯
Н + Ч = ◯	Н · Ч = ◯
Н + Н = ◯	Н · Н = ◯

4.

Можно ли разбить натуральные числа от 1 до 21 на несколько групп так, чтобы в каждой группе было число, равное сумме остальных?

5.

Существуют ли два таких натуральных числа, что если их сумму умножить на их произведение, то получится 20142015?

6.

На 99 карточках пишут числа 1, 2, ..., 99, причем каждое ровно один раз, перемешивают их и раскладывают чистыми сторонами вверх. Затем снова пишут числа 1, 2, ..., 99. Для каждой карточки складывают два ее числа, после чего, полученные 99 сумм перемножают. Докажите, что результат четен.

7.

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 2014. Каждую минуту стираются какие-то два числа и записывается вместо них разность этих чисел. Так происходит до тех пор, пока не останется одно число. Может ли оно равняться нулю?

Дополнительные задачи

8.

К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы четна.

9.

На шахматной доске стоят 8 ладей, никакие две из которых не бьют друг друга. Докажите, что число ладей, стоящих на черных полях, четно.

10.

Дано несколько магнитофонных лент, намотанных красными концами наружу, а зелеными внутрь. Их можно перемотать, пользуясь одной пустой катушкой. Сколько должно быть лент, чтобы их можно было перемотать так, чтобы они оказались на своих прежних местах, но зелеными концами наружу?