МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 4 класса

Версия для печати

Занятие 17 (14 марта 2015 года). Взвешивания

0.

а) Перед вами три монеты. Известно, что одна из них фальшивая, а остальные - настоящие. Фальшивая монета легче настоящие. Как с помощью чашечных весов выяснить, какая монета фальшивая? Можно ли обойтись одним взвешиванием?
б) Теперь перед вами 9 монет, одна из них фальшивая (легче настоящих). Сколько взвешиваний понадобится, чтобы выяснить, какая монета фальшивая?

1.

Перед вами 81 монета, одна из них фальшивая (легче настоящих). Как за четыре взвешивания выяснить, какая монета фальшивая?

2.

Есть четыре монеты, одна из них фальшивая (но нам неизвестно, легче она или тяжелее, чем настоящие). Как выяснить, какая монета фальшивая? Обойдитесь как можно меньшим количеством взвешиваний.

3.

а) Александра Ефремовна загадала число от 1 до 8. Ей можно задавать вопросы, на которые можно ответить 'да' или 'нет'. Придумайте, как действовать роботу, чтобы отгадать загаданное число. Как обойтись тремя вопросами?
б) А если было загадано число от 1 до 32, сколько вопросов понадобится?
в) А если число от 1 до 100?

4.

Среди шести одинаковых по виду монет есть две фальшивые (они легче настоящих). Найдите их за три взвешивания.

5.

Каждая монета весит целое число граммов. Имеется 10 настоящих монет и 11 фальшивых, которые на 1 г легче настоящих. Отметили одну монету. Как с помощью одного взвешивания на весах со стрелкой узнать, какая это монета, настоящая или фальшивая? (На вид монеты одинаковые, класть на весы можно любое число монет, в этой задаче весы не чашечные, а обычные: показывают общую массу в граммах).

6.

Есть 5 монет. Из них три настоящие, одна - фальшивая, которая весит больше настоящей, и одна - фальшивая, которая весит меньше настоящей. За три взвешивания определите обе фальшивые монеты.

7.

Имеются 64 монеты, все разные по весу. За не более, чем 94 взвешивания, определите самую легкую и самую тяжелую монеты.

8.

Расположите четыре арбуза разной массы в порядке возрастания массы за пять взвешиваний на чашечных весах без гирь.

9.

(*) Перед вами 10 монет, одна из них фальшивая (легче настоящих). Докажите, что нельзя придумать алгоритм, который не более чем за два взвешивания выясняет, какая монета фальшивая.

10.

(*) Из какого наибольшего числа монет удастся определить одну легкую фальшивую монету за три взвешивания?