МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководители Дмитрий Александрович Коробицын и Дмитрий Викторович Шелаев
2013/2014 учебный год

Занятие 10 (30 ноября 2013 года). Целая и дробная часть числа

Целой частью [x] числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x. Дробной частью числа x называется такое число {x}, что [x] + {x} = x.

1.: Какие числа по модулю меньше модуля своей целой части?
2.: Постройте графики функций: а) y = [x]; б) y = {x}.
3.: Найдите наименьшее неотрицательное число x, удовлетворяющее неравенству [x]{x} ≥ 3.
4.: Решить уравнение [x³] + [x²] + [x] = {x} − 1.
5.: Докажите равенство: [x + 1⁄2]=[2x] − [x].
6.: Докажите неравенства: а) 0 ≤ [2x] − 2[x] ≤ 1; б) [2x] + [2y] ≥ [x] + [y] + [x + y].
7.: Решите систему уравнений: \[ \left\{\begin{matrix} x+[y]+\{z\}=3,9 \\ y+[z]+\{x\}=3,5 \\ z+[x]+\{y\}=2 \end{matrix}\right. \]
8.: Найти число решений в натуральных числах уравнения [x⁄10] = [x⁄11] + 1.

Вы видите ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter!