МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Версия для печати

Занятие 16 (9 февраля 2013 года). Анализ с конца

1.

Из числа вычли сумму его цифр. Из полученного числа вновь вычли сумму его (полученного числа) цифр, и так делали снова и снова. После пяти таких вычитаний впервые получился ноль.

а)

Какое число было перед тем, как получился ноль?

б)

С какого числа начали?

2.

На доске нарисовали треугольник ABC с длинами сторон AB = 4 см, BC = 5 см, CA = 6 см так, что вершины A,B,C шли по часовой стрелке. Из вершины C провели высоту CH, а через вершину B — прямую \(\ell\), делящую угол B треугольника пополам. Далее отметили точку X пересечения отрезка CH и прямой \(\ell\), после чего стерли все, кроме этой точки X и полупрямой из нее в направлении точки B (сама точка B тоже была стерта). Как восстановить треугольник ABC?

3.

Внутри квадрата ABCD находится точка O, причем \(\angle OAB = \angle OBA = 15^\circ\!\). Верно ли, что треугольник OCD — равносторонний?

4.

В марсианском метро 100 станций. От любой станции до любой другой можно проехать. Забастовочный комитет хочет закрыть проезд через n станций, 0 ≤ n ≤ 100. Забастовка считается гуманной, если между всеми незакрытыми станциями остался проезд. Докажите, что при любом n возможна гуманная забастовка.

5.

Проведите через данную точку прямую так, чтобы на данной окружности высечь хорду данной длины.

Дополнительные задачи

6.

Улитка ползает по полоске 1×13. Сначала она из некоторой клетки переползает в соседнюю. Затем она поворачивается либо на 180, либо на 360 градусов и ползет в новом направлении до тех пор, пока не окажется в клетке, где еще не была. Там она снова поворачивается, и так далее. Прогулка считается законченной, когда улитка побывает во всех клетках.

а)

Сколько существует прогулок, начинающихся из центральной клетки?

б)

Сколько всего есть вариантов прогулок?

7.

За столом сидят 7 гномов, перед каждым — кружка, в некоторые налит эль (но, быть может, не поровну). Первый разлил весь свой эль поровну в кружки всем остальным. Затем второй разлил свой эль поровну всем остальным (включая первого), затем третий гном и т.д. до седьмого. Когда и седьмой гном разлил свой эль, у всех оказалось столько же эля, сколько было вначале. Сколько эля в каждой кружке, если всего его 3 литра?