Занятие 24 | 6 класс | Кружки | Малый мехмат МГУ

(2 балла) Четыре охотника племени Мумба-Ямба вышли на охоту на мамонта. Всего они выпустили 306 стрел, но в мамонта не попали. Первый охотник выстрелил на один раз больше, чем второй, второй — на один раз больше, чем третий, а третий — на один раз больше, чем четвертый. Сколько стрел выпустил четвертый охотник?

(3 балла) У вождя Оуыыы 30 шкур — медвежьих и оленьих. Известно, что среди любых 12 шкур имеется хотя бы одна медвежья, а среди любых 20 шкур — хотя бы одна оленья. Сколько оленьих шкур у вождя?

(3 балла) Мамонт, мамонтиха и мамонтенок пришли к озеру, чтобы напиться воды. Мамонт может выпить озеро за 3 ч, мамонтиха — за 5 ч, а мамонтенок — за 6 ч. За сколько времени они все вместе выпьют озеро?

(4 балла) Пещерный человек Ы собирается последовательно подружиться с четырьмя соседями: Ау, Оу, Уу и Ыу. Каким числом способов он может это сделать, если с Ыу можно подружиться только после Оу?

(4 балла) Для удачи в охоте на мамонтов в клеточки магической фигуры (см. рисунок) нужно вписать числа 1, 4, 7, 10 и 13. При этом сумма чисел в трех клеточках, расположенных по вертикали, должна равняться сумме чисел в трех клеточках, расположенных по горизонтали. Какое самое большое значение может иметь эта сумма?

Древняя Индия

(2 балла) Абхай, Бхарат и Нараян — богатые погонщики, вместе у них 111 слонов. Если Абхай отдаст Бхарату двух слонов, а Нараяну пять слонов, то слонов у них станет поровну. Скажи, о друг, сколько слонов у Абхая?

(2 балла) В долине реки Инда 214 деревень. Некоторые из них соединены дорогами. При этом для любой пары деревень существует ровно один «маршрут», по которому можно пройти из одной в другую. Сколько всего дорог в долине реки Инда?

(3 балла) Мудрец Ариабхата изобрел новый вид шахмат. В них играют на квадратной доске с шахматной раскраской, на которой 25 черных клеток. А сколько на этой доске белых клеток?

(4 балла) Написали 2013-значное число. Каждое двузначное число, образованное его соседними цифрами, делится на 17 или на 23. Последняя цифра числа 1. Какая первая?

(5 баллов) Двузначные числа, у которых при умножении на 2 не меняется сумма цифр, называются магическими. Найди все магические числа.

Дикий Запад

(2 балла) Назови, о храбрый ковбой, сколько из чисел 2010, 20100, 2010020, 201002010, 2010020100 можно нацело разделить на 12?

(2 балла) Конструкция (см. рисунок) весит 112 граммов и находится в равновесии (вес горизонтальных планок и вертикальных нитей не учитывается). Сколько весит звездочка?

(3 балла) «А это вам видеть пока рано», — сказал вождь краснокожих своим 33 юным ученикам и приказал: «Закройте глаза!» Правый глаз закрыли все мальчики и треть девочек. Левый глаз закрыли все девочки и треть мальчиков. Сколько учеников все-таки увидели то, что видеть пока рановато?

(4 балла) Газету «Выстрел» из 60 страниц печатают на 15 листах бумаги (по две страницы на каждой стороне листа). Листы складывают в стопку, затем вместе сгибают пополам и нумеруют полученные страницы подряд числами от 1 до 60. Если из такой газеты потерялся лист со страницей номер 7, каких еще страниц в ней не окажется?

(4 балла) В салуне 'Мрачный пони' играют в кости. На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 12, во второй — 15. Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 3?

Малый мехмат

(2 балла) В одной из аудиторий малого мехмата объявили день вежливости: каждый мальчик поздоровался за руку с каждой девочкой. Всего при этом было 33 рукопожатия. Сколько учеников могло быть в аудитории? Укажите все возможные варианты!

(3 балла) В аудитории 21 школьник. Какое может быть максимальное число девочек, если ни у каких двух девочек количество друзей-мальчиков из этой аудитории не совпадает?

(3 балла)
На автобусе ездил Андрей
На кружок и обратно домой,
Заплатив 115 рублей,
Покупал он себе проездной.

В январе он его не достал,
И поэтому несколько дней
У шофера билет покупал
Он себе за 15 рублей.

А в иной день кондуктор с него
Брал 11 только рублей.
Возвращаясь с кружка своего
Всякий раз шел пешком наш Андрей.

За январь сколько денег ушло,
Посчитал бережливый Андрей:
С удивлением он получил
Аккурат 115 рублей!

Сосчитайте теперь поскорей,
Сколько раз был кружок в январе?

(4 балла) Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живет в 10-м подъезде в квартире ?333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На какой этаж ему следует подняться? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

(5 баллов) Натуральные числа от 1 до 2013 написаны на доске. Очень старательный преподаватель подчеркнул все числа, делящиеся на 2, затем все числа, делящиеся на 3, а затем все числа, делящиеся на 4. Сколько чисел подчеркнуто ровно два раза?

Космическое будущее

(2 балла) Космические близнецы Кастор и Поллукс купили на Марсе оптом плоских котов, а теперь продают их в поясе астероидов. Они предлагают покупателям либо одного кота за 5 кредиток, либо трех котов за 10 кредиток. От каждого покупателя близнецы получают одинаковую прибыль. Какова оптовая цена плоского кота?

(2 балла) На батоне плутонианской колбасы нарисованы тонкие поперечные кольца. Если разрезать колбасу по красным кольцам, получится 5 кусков, если по желтым — 7 кусков, а если по зеленым — 11 кусков. Сколько кусков колбасы получится, если разрезать по кольцам всех трех цветов?

(3 балла) В трех играх футбольная команда Земли забила 3 мяча и пропустила 1. При этом она один раз выиграла, один раз проиграла и один раз сыграла вничью. Какой был счет в той игре, где она выиграла?

(4 балла) На спутнике Юпитера Ио живут шестиногие, семиногие и восьминогие кальмары. Семиногие кальмары всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. Однажды встретились 4 кальмара. Синий кальмар сказал: «Вместе у нас 28 ног», зеленый сказал: «Вместе у нас 27 ног», желтый сказал «Вместе у нас 26 ног», а красный сказал: «Вместе у нас 25 ног». Какой из кальмаров сказал правду?