МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Версия для печати

Прожорливые козы (24 ноября 2012 года)

1.

Привяжите козу на лугу так, чтобы она съела круг.

Ответ

Ответ. Нужно привязать ее веревкой, длина которой равна радиусу этого круга, за колышек, стоящий в его центре. Тогда, чтобы выйти за пределы круга, козе не хватит длины веревки, потому что все точки вне круга удалены от его центра на расстояние, большее, чем его радиус (а значит, и чем длина веревки). И наоборот, все точки круга расположены на не большем расстоянии от его центра, чем его радиус, поэтому коза сможет съесть все внутри круга.

2.

Какой участок съест коза, если ее привязать между двумя колышками? (Веревка привязана к двум колышкам и продернута сквозь ошейник козы.)

Ответ

Ответ. Она съест ровно отрезок, концами которого являются колышки. Докажем, что это именно так. Действительно, траву в любой точке этого отрезка она съесть сможет; если же она смогла бы съесть траву в еще какой-нибудь точке, не лежащей на этом отрезке, то веревка, за которую она привязана, должна была бы прогнуться, однако по условию задачи она натянута, так что больше никуда добраться коза не сможет.

3.

Родион прогуливается по лугу, держа козу на поводке длиной 1м. Его путь имеет вид прямоугольника со сторонами 3 и 5м. Какой участок луга съест коза?

Указание Указание 2 Ответ

Указание. Если не получается сразу решить эту задачу, попробуйте порешать остальные, а затем вернуться к ней. Рекомендуется так же поступать всегда и в остальных случаях.

Указание 2. Решите сначала задачу ?5.

Ответ. В круге радиуса 1м вокруг любой точки любой стороны прямоугольника все будет съедено (на рисунке показаны примеры таких кругов). Внешняя граница фигуры будет представлять собой прямоугольник со скругленными углами (поглядев на рисунок внимательнее, вы поймете, почему радиус скругления равен 1м) и со сторонами 3 + 1 + 1 = 5 и 5 + 1 + 1 = 7 метров. Внутренняя граница — это уже обычный прямоугольник со сторонами 3 - 1 - 1 = 1 и 5 - 1 - 1 = 3 метров.

4.

Привяжите козу с помощью веревок и колышков так, чтобы она могла съесть траву только внутри участка такой формы:

Ответ

Ответ. Эта область — пересечение двух кругов. Привяжем козу как в первой задаче, чтобы она не могла выйти из первого круга, к центру первого круга на веревке, длина которой равна радиусу этого круга. Одновременно с этим привяжем козу другой веревкой, длина которой равна радиусу второго круга, к центру этого круга. В итоге коза не сможет выйти из первого круга, потому что привязана к его центру, и из второго круга, потому что привязана и к его центру. То есть, она всегда будет находится в пересечении этих двух кругов. (Определение и рисунок пересечения множеств можно найти тут.)
Примечание: вообще, чтобы коза не выходила из пересечения каких-либо двух множеств, достаточно (хотя и не обязательно, ведь могут быть способы добиться этого по-другому) привязать ее так, чтобы она не выходила из первого, и чтобы не выходила из второго, то есть решить две независимые задачи.

5.

Натянем на лугу веревку между двумя колышками. У второй веревки привяжем один конец к ошейнику козы, а на втором сделаем петлю, свободно скользящую по веревке. Какой участок выест коза?

Ответ

Ответ. На расстоянии, равном длине второй веревки, от каждой точки первой веревки, все будет съедено. Таким образом, будут выедены круги, центры которых находятся на отрезке между двумя колышками (на рисунке показаны примеры нескольких таких кругов). Их объединение образует фигуру, состоящую из прямоугольника и двух полукругов (ее также можно назвать прямоугольником со скругленными углами, радиус скругления которых равен ширине прямоугольника и равен длине второй веревки, а длина прямоугольника равна длине первой веревки плюс удвоенная длина второй веревки).

6.

Удержите козу с помощью веревок и колышков
а) в полукруге;
б) в квадрате;
в) в прямоугольнике (для прямоугольника решить двумя разными способами).

Указание Ответ

Указание. Представьте каждую из этих фигур как пересечения двух фигур, для которых подобная задача уже была решена раньше. Кроме того, для квадрата и прямоугольника можно придумать другое решение.

Ответ.

а)Сначала привяжем козу так, чтобы она не выходила из полного круга. Нужно добавить еще веревки, чтобы удержать ее в нужной половине. Эта часть границы полукруга является отрезком прямой, а такая граница была у нас до этого в задаче 5. Поэтому привяжем ее дополнительно таким же образом, как в той задаче. Итак, можно представить полукруг как пересечение круга и фигуры, получившейся в задаче 5. Еще можно заменить фигуру 5 прямоугольником.

б)Квадрат — пересечение двух фигур из задачи 5, для которых длины вторых веревок одинаковы.

в)Прямоугольник тоже можно представить как пересечение двух таких фигур, а можно придумать другую систему веревок, где одна веревка будет скользить на петлях по двум направляющим, а коза будет привязана к ней за ошейник так, что сможет ходить вдоль этой веревки.

7.

С помощью одной собаки удержите козу
а) в кольце;
б) в полукруге.

Ответ

Ответ.

Пусть А - область, доступная козе без учета собак, В - области, доступные собакам. Тогда заметим, что коза не сможет выйти из разности множеств А\В (по определению, точка принадлежит А\В тогда и только тогда, когда она принадлежит А, но не принадлежит В, что в точности повторяет определение действия собак на козу).

а) Кольцо представляет собой разность двух кругов, имеющих один и тот же центр. Значит, козу надо привязать так, чтобы она ходила по большему кругу, а собаку — по меньшему.

б) Полукруг можно представить как разность круга и прямоугольника или круга и фигуры из задачи 5. А можно решить эту задачу иначе, пустив собаку вдоль натянутой по диаметру круга веревки и разделив тем самым круг на две разные части. Тогда коза не сможет перейти в другую часть круга и останется в том полукруге, где была изначально. (Кстати, в этом примере видно, что коза не обязательно будет ходить по всей разности множеств, которая в данном случае представляет собой весь круг без отрезка, ведь она разделена на несколько не связанных между собой частей.)