|
Кружок 6 класса
Руководитель Дмитрий Александрович Коробицын 2011/2012 учебный год
Версия для печати
Занятие 5 (22.10.2011). Пары и чередования
- 1.
-
Барон Мюнхаузен, вернувшись из кругосветного путешествия,
рассказывает, что по пути он пересек границу Трапезундии ровно 7
раз. Стоит ли доверять его словам?
Ответ Решение
Решение.
Заметим, что после четного числа пересечений Мюнхаузен будет находиться с той же стороны от границы, что и до этого.
Поскольку 7 — нечетное число, такого быть не могло.
- 2.
-
В джунглях во время кругосветного путешествия на Мюнхаузена напали
пантеры. Когда он проскочил мимо двух из них, они бросились на
него, промахнулись и загрызли друг друга. Мюнхаузен повторял этот
маневр еще раз и еще, до тех пор, пока все они не загрызли друг
друга. По словам Мюнхаузена всего было 97 пантер. Правда ли
это?
Ответ Решение
Решение.
Так как каждый раз какие-то две пантеры загрызали друг друга, то после каждого маневра число пантер уменьшалось на 2. В конце пантер не осталось, значит,
их было четное число.
- 3.
-
Кузнечик прыгает по прямой — каждый раз на 1 метр влево или
вправо. Через некоторое время он оказался в исходной точке.
Докажите, что он сделал четное число прыжков.
Решение
Решение.
Пусть A — исходная точка. Заметим, что после каждого прыжка расстояние до точки A меняет четность. Изначально расстояние равно нулю. Значит, когда он вновь попадет
в исходную точку, он совершит четное число прыжков.
- 4.
-
Из комплекта домино выбросили все кости с «пустышками». Можно ли
оставшиеся кости по правилам выложить в ряд?
Ответ Решение
Решение.
Заметим, что число доминошек без пустышек равно 21. Если доминошки удастся выложить в ряд, то число доминошек с каждым числом точек, кроме быть может двух,
четно. А это неверно.
- 5.
-
За круглым столом сидят мальчики и девочки. Докажите, что количество
пар соседей мальчик–девочка и девочка–мальчик четно.
Решение
Решение.
Объединим каждую группу подряд сидящих мальчиков в одного мальчика, а каждую группу подряд сидящих девочек в одну девочку. Тогда поскольку дети одного пола рядом теперь не сидят,
между ними четное число мест, а, значит, и число требуемых пар четно.
- 6.
-
Улитка ползет по плоскости с постоянной скороостью, поворачивая на
90° каждые 30 минут. Докажите, что она может вернуться в
исходную точку только: а) через целое число часов; б)
через четное число часов.
Решение
Решение.
Заметим, что чтобы вернуться в исходную точку, нужно пройти одинаковое расстояние влево и вправо, а также вверх и вниз. Пусть улитка поднималась вверх
a раз, а влево — b раз. Тогда она ползла 2·30· a +
2·30· b = 60( a + b).
Отсюда следует, что она ползла четное число часов.
Поскольку после каждого движения по вертикали следует движение по горизонтали и наоборот, то числа a и b одной четности. Значит, улитка ползла
четное число часов.
- 7.
-
На шахматной доске стоят 8 ладей, из которых никакие две не бьют
друг друга. Докажите, что число ладей стоящих на черных полях четно.
Решение
Решение.
Пронумеруем числами от 1 до 8 вертикали слева направо и горизонтали сверху вниз соответственно.
Суммой координат клетки назовем сумму номеров ее
вертикали и горизонтали. Тогда пусть у черных клеток сумма координат четна, тогда у белых она нечетна. Заметим, что сумма координат клеток, на которых стоят
8 ладей, четна (она равна удвоенной сумме чисел от 1 до 8). Но тогда число ладей, стоящих не белых клетках, четно (сумма координат белой клетки нечетна), значит,
и число ладей на черных клетках четно.
- 8.
-
К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же
цифрами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра
полученной суммы четна.
Решение
Решение.
Предположим, что все цифры суммы нечетны. Разберем два случая.
1) Сумма первой и последней цифры числа меньше 10. Ясно, что в этом случае не будет
ни одного перехода через разряд. Действительно, допустим в предпоследнем разряде произошел переход через десяток, но тогда сумма первой и последней цифры четна, что неверно по предположению. Продолжая так далее получим треубемое. Но тогда, складывая средние цифры чисел, получим четную цифру.
2) Сумма первой и последней цифры числа не меньше 10. Тогда получим что переход через разряд чередуется с непереходом через разряд при движении справа налево.
Но тогда в десятом разряде не будет перехода, и в девятом разряде сложатся две одинаковые цифры, т.е. получится четная цифра.
|