|
Кружок 6 класса
Руководитель Дмитрий Александрович Коробицын 2011/2012 учебный год
Версия для печати
Занятие 12 (10.12.2011). Дроби
- 1.
-
Что больше
или
?
Ответ Решение
Решение.
Заметим, что первая дробь меньше числа 1 на
,
а вторая — на
.
Поскольку
то вторая дробь больше.
- 2.
-
Юра хочет тратить 1/3 своего времени на игру в футбол,
1/5 — на учебу в школе, 1/6 — на просмотр
фильмов, 1/70 — на решение олимпиадных задач и
1/3 — на сон. Возможно ли это?
Ответ Решение
Решение.
Сложим все дроби из условия. Получим:
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
= |
2 |
+ |
11 |
+ |
1 |
= |
31 |
+ |
1 |
> |
1, |
3 | 5 | 6 | 70 | 3 |
3 | 30 | 70 | 30 | 70 |
что невозможно.
- 3.
-
Из спичек сложено неверное равенство. Переложите одну спичку так,
чтобы равенство стало верным.
Решение
- 4.
-
Волк с тремя поросятами написал детектив «Три поросенка — 2», а
потом вместе с Красной Шапочкой и ее бабушкой кулинарную книгу
«Красная Шапочка — 2». В издательстве выдали гонорар за обе книжки
поросенку Наф-Нафу. Он забрал свою долю и передал оставшиеся 2100
золотых монет Волку. Гонорар за каждую книгу делится поровну между
ее авторами. Сколько денег Волк должен взять себе?
Ответ Решение
Решение.
За книгу «Три поросенка — 2» каждый автор должен получить четверть гонорара.
Но так как Наф-Наф свою долю уже забрал, Волку причитается
1/ 3 остатка. За книгу «Красная шапочка — 2»
ему также полагается
1/ 3 гонорара. Поэтому всего он должен получить треть переданной ему суммы.
- 5.
-
Какое число нужно вычесть из числителя дроби 537/463 и
прибавить к знаменателю, чтобы после сокращения получить
1/9?
Ответ Решение
Решение.
Пусть искомое число — это a. Тогда
537 − a |
= |
1 |
, 537·9 − 9a = 463 + a, 4370 = 10a, a = 437. |
463 + a | 9 |
- 6.
-
На острове 2/3 всех мужчин женаты и 3/5 всех
женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в браке?
Ответ Решение
Решение.
Пусть 2 m человек состоят в браке, тогда мужчин
,
а женщин
.
Т.к. всего жителей острова
,
и из них 2 m состоят в браке, то в браке состоит 12/ 19 жителей острова.
- 7.
-
Докажите, что дробь 1/n можно представить в виде
конечной десятичной дроби только в том случае, если n
в разложении на простые множители содержит только двойки и пятерки.
Решение
Решение.
Если число n в разложении на простые содержит только двойки и пятерки, то числитель и знаменатель можно
домножить на натуральное число так, чтобы знаменатель стал степенью десятки. Тогда такая дробь, очевидно, представляется в виде конечной десятичной.
Предположим, что дробь из условия можно представить в виде конечной десятичной. Тогда
Тогда 10 k = na, а, значит, n содержит только двойки и пятерки.
- 8.
-
На доске написали 100 дробей, у которых в числителях стоят все числа
от 1 до 100 по одному разу, и в знаменателях стоят все числа от 1 до
100 по одному разу. Оказалось, что сумма этих дробей есть
несократимая дробь со знаменателем 2. Докажите, что можно поменять
местами числители двух дробей так, чтобы сумма стала несократимой
дробью с нечетным знаменателем.
Решение
Решение.
Возьмем дробь со знаменателем, содержащей двойку в наибольшей степени: a/ 64. Тогда одно из чисел
a − 32, a + 32 попадает в интервал от 1 до 100. Обозначим его за b, а дробь b/ c. Посмотрим, что произойдет, если поменять числители b и a местами. Сумма изменится на
.
Но тогда прибавив (или вычтя) к дроби со знаменателем 2 дробь
1/ 2, после сокращения получим дробь с нечетным знаменателем. Ну, а вычтя (или прибавив) дробь 32/ c, которая после сокращения является дробью с нечетным знаменателем,
получим снова дробь с нечетным знаменателем.
|